小学教育六年级数学数学所有奥数细节公式.docx
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小学教育六年级数学数学所有奥数细节公式
小学奥数公式
一、和差问题和倍问题差倍问题
已知条件：
几个数的和与差，几个数的和与倍数，几个数的差与倍数；
公式适用范围：
已知两个数的和、差、倍数关系；
公式：
（和－差）÷2＝较小数较小数＋差＝较大数和－较小数＝较大数
（和＋差）÷2＝较大数较大数－差＝较小数和－较大数＝较小数
和÷（倍数＋1）＝小数小数×倍数＝大数和－小数＝大数
差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数小数＋差＝大数
关键问题：
求出同一条件下的和与差，和与倍数，差与倍数
二、植树问题
1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴两端都要植树,那么：
点比段多一
株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1全长＝株距×（株数－1）株距＝全长÷（株数－1）
⑵一端要植树,另一端不要植树,那么：
点等于段
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
⑶两端都不植树,那么：
段比点多一
株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）
2、封闭线路上的植树问题那么：
点等于段
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
3、盈亏问题
基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组产生一种结果，按照另一种标准分组，又产生另一种结果，由于分组标准不同造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
1、一盈一亏：
（盈＋亏）÷两次分配量之差＝组数
2、两盈：
（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝组数
3、两亏：
（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝组数
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
4、数列求和
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
首项：
等差数列的第一个数；项数：
等差数列所有数的个数；
公差：
数列中任意相邻两个数的差；数列的和：
一个数列全部数字的和；
公式：
末项＝首项＋（项数一1）×公差；1乘公差看首项，多就减少就加；
数列求和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数=（末项-首项）÷公差＋1； 公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式；
5、鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。
总数量的差 ÷单位差=某个个数
基本公式：
①假设全是兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②假设全是鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6、定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义；
注意事项：
1、新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序；
2、每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
7、容斥问题
基本概念：
包容与排斥分为二类容斥和三类容斥
做题方法：
找东东，画圈圈，记公式
找大圈，找小圈（二类没有小圈），照中间，找总数（总和+笨蛋），找总和（所有区域加在一起），照笨蛋（什么都没有，什么都没干）
公式；二类容斥：
总和=两个大圈的和－中间的
三类容斥：
总和=（三个大圈的和）－（三个小圈的和）+中间的
8、找规律
1、基本概念：
3个以上才是找规律；
2、做题方法；前小后大用“+”或“×”；前大后小用“－”或“÷”；
有些要跳着看；兔子数列。
3、兔子数列：
从第3个数字开始每一个数都是前2个数的和
如：
1.上楼梯每次可以上1~2个台阶.........
2.蜜蜂过房子..........
3.十根木条最短的是1厘米,最长的是89厘米..........
4.
................
9、年龄问题
三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
解题方法：
几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄
几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差
10、还原问题
基本概念：
还原问题又叫逆推问题，已知一个数的结果，再经过逆运算反求原数。
做题方法：
从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。
类型：
1、一般还原（从后往前做）
2、特殊还原：
a、线段还原b、表格还原（给来给去，总数不变）
11、一笔画和多笔画
1、图形中没有奇数点的一定可以一笔化成；
2、图形中有两个奇数点一定可以一笔化成，以一个奇数点为起点，另一个奇数点为终点；
3、图形中奇数点的个数多于两个时，肯定不能一笔画成。
12、周期问题
基本概念：
按照某种周期性的变化规律依次不断的重复出现，把连续两次出现所经过的时间叫做周期。
关键问题：
确定循环周期
闰年：
一年有366天：
1、年份能被4整除；2、如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：
一年有365天：
1、年份不能被4整除；2、如果年份能被100整除，但不能被400整除；
十三、平均数（必须知道总数和份数）
基本公式：
1、平均数=总数量÷总份数2、平均速度=总路程÷总时间
十四、归一问题
基本概念：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量。
十五、牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差，再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量；
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
新草量=（多天×相应牛头数-少天×相应牛头数）÷（多天-少天）；
原草量=多天×相应牛头数-多天×新草；
给牛问天：
原草÷（给牛数-新草）
给天问牛：
（原草+给天数×新草）÷给天数
十六、抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉中至少有：
1、有n/m个物体，当n能被m整除时；
2、有【n/m】+1个物体，当n不能被m整除时。
关键问题：
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
说明：
应用抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考。
十七、行程问题
基本概念：
走路、行车等匀速运动中的速度、时间和路程三者关系的应用题叫行程问题。
行程问题根据题目的内容、性质所需要解答案的问题，又分为相遇问题、追及问题、火车过桥问题等。
解答各类行程问题的基础，要掌握速度、时间和路程三种量之间的关系：
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
十八、相遇问题
相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：
速度和×相遇时间=路程
路程÷速度和=相遇时间
速度÷相遇时间=速度和
速度和－速度甲=速度乙
十九、追及问题
运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。
追及问题的基本数量关系是：
追及时间=追及路程÷速度差
追及路程=速度差×追及时间
速度差=追及路程÷追及时间
二十、流水问题
船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。
船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题）。
船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：
顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速
由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。
船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。
顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速度×时间
二十一、火车过桥问题
过桥问题的数量关系是：
路程=桥长＋车长
车速=（桥长＋车长）÷通过时间
通过时间=（桥长＋车长）÷车速
车长=车速×通过时间－桥长
桥长=车速×通过时间－车长
二十二、火车行程问题
火车过桥路程是一个火车的长度加一个桥的长度
火车和人：
1.人不动火车遇到人并且离开人火车走了一个火车长
2.人活动A.火车和人反向而行，火车遇到人并且离开人火车和人
共同走了一个火车长（速度和）
B.火车和人同向而行，火车遇到人并且离开人火车比人
多走了一个火车长（速度差）
火车和火车：
1.A火车和B火车反向而行，A火车遇到B火车并且两火车车尾离
开，两个火车合走两个火车的长度。
（速度和）
2.A火车和B火车同向而行，A火车遇到B火车并且A火车超过B
火车，A火车比B火车多走两个火车的长度。
（速度和）
二十三、多次相遇问题
基本概念：
相遇了两次或两次以上的都是多次相遇问题；
重点：
考虑两个人合走全程的个数。
相遇一次合走一个全程相遇两次和走三个全程
相遇三次合走五个全程相遇四次和走七个全程
相遇n次合走n×2-1个全程
多次相遇公式：
全程个数=相遇次数×2-1
二十四、在环形跑道上跑步
1、同时同地背向而行是直线上的相遇问题
2、同时同地同向而行当快的追上慢的.快的比慢的多跑一圈
二十五、图形计算公式：
1、长方形周长公式=（长+宽）×2面积公式=长×宽
2、正方形周长公式=边长×4面积公式=边长×边长=对角线×对角线÷2
3、梯形面积公式=（上底+下底）×高÷2=中位线×高÷2
4、等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。
（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
5、梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
这点是蝴蝶定理
6、三角形图形中看到45度就想正方形。
7、三角形图形中看到四边形第一反应就是把它分成两个三角形，然后利用三角形的等底或等高来想
8、直角三角形30°角所对的边是斜边的一半
9、多边形内角和边数×2－1所有多边形外角和都是360°
10、正方形的边长比等于它的周长比边长的平方比等于它的面积比
11、圆形S=面积C=周长d=直径r=半径
（1）周长=直径×π=2×π×半径C=πd=2πr
（2）面积=半径×半径×πs=πr²
12、圆柱体v=体积h=高s=底面积r=底面半径c=底面周长
（1）侧面积=底面周长×高
（2）表面积=侧面积+底面积×2
（3）体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径
13、圆锥体v=体积h=高s=底面积r=底面半径体积=底面积×高÷3
14、圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
15、外切正方形，圆，内接正方形的比例是：
200:
157:
100
16、半圆周长：
C=πr+2r=r（2+π）=5.14r
17、扇形弧长：
n是扇形角度扇形面积：
πr²×
18、环形的面积大圆的面积-小圆的面积
环形面积=
19、格点公式
格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
20、正方形里面套一个最大的圆，圆里面套一个最大的正方形三个面积之比是：
200:
157:
100
21、将一个大正方体切成好多小正方体然后刷油漆
问：
三个面被涂有红油漆的有几个小正方形（考虑顶点）答：
8个
两个面被涂有红油漆的有几个小正方形（考虑边数）
每条边上小正方体的个数减2乘以12
一个面被涂有红油漆的有几个小正方形（考虑面数）
边长减2乘以边长减2乘以6
没有面被涂有红油漆的有几个小正方形
边长减2乘以边长减2乘以边长减2
22、将一个大长方体切成好多小正方体然后刷油漆
问：
三个面被涂有红油漆的有几个小正方形（考虑顶点）答：
8个
两个面被涂有红油漆的有几个小正方形（考虑边数）
长边个数减2乘以4加上宽边个数减2乘以4加上高边个数减2乘以4一个面被涂有红油漆的有几个小正方形（考虑面数）
长边个数减2乘以宽边个数减2乘以2加上长边个数减2乘以高边个数减2乘以2加上宽边个数减2乘以高边个数减2乘以2
（A-2）（B-2）×2＋（A-2）（C-2）×2＋（B-2）（C-2）×2
没有面被涂有红油漆的有几个小正方形
长边个数减2乘以宽边个数减2乘以高边个数减2
（A-2）（B-2）（C-2）
二十六、单位换算问题
1、长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米
2、面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
3、体（容）积单位换算
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
4、重量单位换算
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
5、人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
6、时间单位换算
1世纪=100年1年=12月大月（31天）有:
1\3\5\7\8\10\12月
小月（30天）的有：
4\6\9\11月平年2月28天,闰年2月29天
平年全年365天,闰年全年366天
1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒
二十七、方阵问题
很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。
在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。
要开动脑筋，可用多种方法来解题。
基本特点是：
（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。
（2）每层人数=（每边人数－1）×4
（3）每边人数=每层人数÷4＋1（4）实心方阵人数=每边人数×每边人数
=4×（最外层一边人数－层数）×层数
幻方与数阵
幻方的特点：
一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这相相等的和叫“幻和”。
数阵有三种基本类型：
（1）封闭型，
（2）辐射型（3）综合型
解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。
有时，数阵问题的答案不是唯一的。
二十八、奇数和偶数问题
加法：
偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数
减法：
偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数
乘法：
偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数
二十九、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
三十、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）
利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
三十一、经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定； 定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：
储蓄的金额； 利率：
利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
三十二、浓度与配比
经验总结：
在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
溶质：
溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：
溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：
溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量； 溶质重量=溶液重量×浓度；
三十三、时钟问题—钟面追及
基本思路：
封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置； ②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。
分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5度。
三十四、数的整除
整除判断方法：
1. 能被2、5整除：
末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
三十五、循环小数化成分数
①纯循环小数小数部分化成分数：
将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：
分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数
三十六、二进制问题
1、十进制：
用0—9十个数字表示，逢10进1，不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
2、二进制：
用0和1两个数字表示，逢2进1，不同数位上的数字表示不同的含义。
3、十进制化成二进制：
根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
三十七、列方程解应用题问题
列方程解应用题的一般步骤是：
1、根据据题意设某一个示知数为；2、依题意找出题中相等的数量关系；
3、根据相等的数量关系列出方程；4、解方程；5、检验并写出答案。
三十八、分解因式问题
把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
一个自然数的约数的个数，恰为质因数的指数加1后的乘积。
一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。
一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。
三十九、最大公约数与最小公倍数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
求两个数的最大公约数一般有三种方法：
（1）分解质因数法
（2）短除法（3）辗转相除法
求几个数的最小公倍数的方法有两种：
（1）分解质因数法
（2）短除法
四十、看到最小公倍数和最大公约数第一反应就是用最小公倍数除以最大公约数，然后将商分解成1×商和其他两个互质数的乘积然后用这几个数分别去乘以最大公约数如两个数的最小公倍数180，最大公约数是12
180÷12=1515=1×1515=3×5
第一个数是：
12×1=15或2×15=180
第二个数是：
3×12=36或5×12=60
四十一、计算公式
1+2+3+4+·········+N+（N-1）+（N_2）+·······+1=N²
1²+2+²3²+4²+5²+6²+7²+8²+·········+N²=
1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+········+N³=（1+2+3+·······+n）²
2²+4²+6²+8²+·····+n²=4
（1²+2²+3²+·····+n²）=4
等比数列公式
平方差公式：
a²—b²=（a+b）
（a—b）
完全平方公式：
（A+B）²=A²+2AB+B²（A—B）²=A²—2AB+B²
拆项：
将
公式1
公式2
1×2+2×3+3×4+····+n×（n+1）=
裂项1.先看分子，分子一样。
分子是谁就提谁
2.再看分母，每个比每个多几，就提几分之一。
3.消中间留两头
直线分平面：
直线的交点
圆的交点
100以内的质数23571113171923293137414753596167717379838997
内项之积等于外项之积交叉相乘积不变
四十二、加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第一类方法中有m2种不同方法……第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m2+……+mn种不同的方法。
关键问题，确定工作的分类方法；
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第一步有m1方法，不管第一步用哪种方法，第二步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn中方法，那么完成这件任务共有：
m1×m2×……×mn种不同方法。
关键问题，确定工作的完成步骤；
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
没有端点，没有长度；
线段：
由两个端点，有长度，直线上任意两点间的距离；
射线：
只有一个端点，没有长度，把直线的一端无限延长。
1、数线段规律：
总数=1+2+3+……+（点数—1）；
2、数角规律：
总数=1+2+3+……+（射线数—1）；
3、数长方形规律：
个数=长的线段数×宽的线段数
4、数正方形规律：
个数=1×1+2×2+3×3+……+行数×列数
四十三、分数的比较
分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。
分子相同的分数比较大小，分母大的分数反而小。
分子和分
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