《中考面对面》中考数学训练第24课时 湖南三年中考.docx
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《中考面对面》中考数学训练第24课时湖南三年中考
第六单元圆
第24课时与圆有关的位置关系
湖南三年中考
命题点1直线与圆的位置关系（2015年考查2次，2014年考查1次）
1.（’15湘西州15题4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）
A.点A在圆上B.点A在圆内
C.点A在圆外D.无法确定
2.（’15张家界2题3分）如图，∠O＝30°,C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）
A.相离B.相交
C.相切D.以上三种情况均有可能
3.（’14益阳8题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（－3,0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）
A.1B.1或5C.3D.5
命题点2切线的证明及相关计算（2015年考查7次，2014年考查9次，2013年考查7次）
1.（’14邵阳8题3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A=30°，则∠C的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.40°
2.（’15岳阳8题3分）如图，在△ABC中，AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D.过点C作CF∥AB,在CF上取一点E,使DE=CD,连接AE.对于下列结论：
①AD=DC②△CBA∽△CDE③
④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）
A.①②B.①②③C.①④D.①②④
3.（’13永州13题3分）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B=度.
4.（’15娄底24题9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A,交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.
（1）求证：
△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？
请给予证明.
5.（’15怀化21题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE.
（1）求证：
△ABC∽△CBD；
（2）求证：
直线DE是⊙O的切线.
6.（’15衡阳26题8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
（1）求证：
CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？
并说明理由.
7.（’15常德24题8分）如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
（1）求证：
EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长.
8.（’14长沙24题9分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.
（1）求证：
DE⊥AC；
（2）若AB=3DE,求tan∠ACB的值.
【答案】
命题点1点与圆、直线与圆的位置关系
1.B【解析】∵点到圆心的距离3cm小于圆的半径5cm，∴点A在圆的内部.
2.C【解析】过点C作CD⊥OA于点D，在Rt△OCD中，OC=6，∠DOC=30°，∴CD=
OC＝3，∵⊙C的半径为3，∴⊙C与OA相切.
3.Ｂ【解析】∵⊙P的半径为2，圆心P的坐标为（-3，0），当⊙P沿x轴正方向平移相切于y轴左侧时，只需平移一个单位长度；当⊙P沿x轴正方向平移相切于y轴右侧时需要平移5个单位长度.故选B.
命题点2切线的证明及相关计算
1.
A【解析】如解图，连接OB，∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，
∴∠C=
∠AOB=30°.
2.D【解析】
序号
逐项分析
正误
①
∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵在△ABC中，AB=BC，∴AD=CD
√
②
∵CF∥AB，∴∠DCE=∠BAC，∵AB=BC，DC=DE，∴∠ACB=∠BAC，∠DEC=∠DCE，∴∠ACB=∠DEC，∴△CAB∽△ECD
√
③
连接OD，当且仅当∠BOD=90°时点D是
的中点，∴
不一定正确
×
④
在△ACE中，∵AD=CD，DE=CD，∴△ACE是直角三角形，且∠AEC=90°，∵AB∥CE，∴AB⊥AE，∴AE是圆O的切线
√
3.60【解析】∵MN与⊙O相切，∠MAB=30°，∴∠C=∠MAB=30°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠C=60°.
4.解：
（1）∵AB∥EF，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
又AE=AF，
∴∠E=∠EFA，∴∠CAB=∠FAB，……………………………………………（2分）
在△ABC和△ABF中，
AF=AC
∠CAB=∠FAB，
AB=AB
∴△ABC≌△ABF.………………………………………………………………（4分）
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，
证明：
∵∠CAB=60°，
又AB∥EF，∴∠E=60°，
又AE=AF，∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=AF，…………………………………………………………………（7分）
同理可证△ADF为等边三角形，
∴AD=DF=AF，∴AD=DF=EF=AE，
∴四边形ADFE为菱形.………………………………………………………（9分）
5.证明：
（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°=∠ACB，………………………………………………………（2分）
又∠ABC=∠DBC，
∴△ABC∽△CBD.……………………………………………………………（3分）
（2）如解图，连接OD，∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵E为BC中点，∠BDC=90°，
∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，……………………（6分）
又∵∠OCD+∠ECD=90°，
∴∠EDC+∠CDO=90°，
即∠EDO=90°，
∴DE为⊙O的切线.…………………………………………………………（8分）
6.
（1）证明：
如解图，连接BD.
∵C、D是半圆的三等分点，
∴C是弧
的中点，
∴OC⊥BD，………………………………………（1分）
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O半径，
∴EC是圆O的切线.…………………………………………………………（4分）
（2）解：
是.理由如下：
连接OD，
∵C、D是半圆的三等分点，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，AD=CD.………………………………（5分）
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA，
∴AD=CD=OC=OA，………………………………………………………（8分）
∴四边形AOCD是菱形.
7.
（1）证明：
如解图，连接OF，∵OA=OC，BF=CF，
∴OF∥AB，
∵AC是圆O的直径，∴AE⊥CE，
∴OF⊥CE，且OF平分CE，
∴FE=FC.…………………………………（2分）
在△FEO和△FCO中，
EF=FC
OE=OC，
OF=OF
∴△FEO≌△FCO，
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴EF是圆O的切线；…………………………………………………………（4分）
（2）解：
在△AOE中，OE=OA，∠EAO=60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠COD=∠AOE=60°，
在Rt△COD中，CO=3，
∴CD=OC·tan∠COD=
，………………………………………………（6分）
在Rt△ACD中，AC=6，CD=
，
∴AD=
.…………………………………（8分）
8.
（1）证明:
连接OD，如解图，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵点O是AB的中点，点D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC.…………………………………………（4分）
（2）解:
连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵AD=AD,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），
∴AC=AB，……………………………………………………………………（5分）
∵AB=3DE,
∴AC=3DE，
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=∠DEA=90°，
∵∠CAD+∠C=∠EDC+∠C=90°，
∴∠CAD=∠EDC，
∴△ADE∽△DCE，
∴
即DE2=AE·EC，…………………………………………（7分）
设DE=nEC,AC=3DE,
∴AC=3nEC.
∴AE=AC-EC=（3n-1）EC,
∴（nEC）2=（3n-1）EC·EC，
∴n2-3n+1＝0，
解得n=
，
又∵
与
都是正数，∴均符合题意.
又∵在Rt△DEC中，tan∠DCE=
=n,
∴tan∠ACB=n=
.………………………………………………………（9分）
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