3稳定性分析方法简介
判断一个系统稳定性可以通过以下三个方面来判定：
首先是根据求系统的特征根；其次是如果系统的阶次比较高（高于4次），就用劳斯判据来判断系统的稳定性；最后是根据系统的输入输出。
3.1时域分析方法
时域分析方法是根据系统的微分方程模型，在时间域上对系统的性能进行分析的方法-。
因为工程中的控制系统总是在时间域中运行，当系统输入某个信号（这个输入信号总是可以分解为几种典型型号之和，这几种典型型号是为便于用统一的方法研究和比较控制系统的性能而确定的基本的输入函数，在工程上具有很好的代表性），根据系统的传递函数，利用拉普拉斯变换作为数学工具，总可以求系统当t趋近于无穷时的输出情况，测定系统的性能，进而通过时域性能指标评价系统运动过程是否是我们希望的稳、准、快。
3.1.1利用充要条件判断系统的稳定性
控制系统稳定性的充要条件，判别系统的稳定性，需要求出系统全部的根，并检验所求的根是否具有负实部。
系统瞬态响应所对应的闭环极点全部在复数根平面的左半平面，即所有闭环特征根均具有复实部。
若闭环特征根中有一个落在根平面的右半平面，即特征根具有正实部，该系统是不稳定的；若特征根具有零实部，即根落在虚轴上，则系统处于临界稳定状态。
（1）人工分析
传递函数是经典控制理论中最常用的一种数学模型，它比微分方程更简单明了、运算更方便，是控制系统的复域数学模型。
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数，一般用G（s）表示。
例3-1已知一个单位负反馈系统的开环传递函数为G（s）=
（K>0），试说明系统是否稳定。
解：
系统的闭环传递函数为：
φ（s）=
=
=
D（s）=2s^2+s+k=0
S=
判断出系统稳定。
（2）利用MATLAB分析
例3-2已知系统的闭环传递函数为,试分析系统的稳定性:
G（S）=
s^3+7s^2+24s+24
s^8+2s^7+3s^6+4s^5+5s^4+6s^3+7s^2+8s+9
以下是系统的程序和运行结果：
由上面运行结果可知，闭环特征根中有正实部和负实部，根据闭环系统稳定性的充要条件可判断系统不稳定。
3.1.2利用劳斯判据判断系统的稳定性
根据控制系统稳定的充要条件，判别系统的稳定性，需要求出系统的全部特征根，并检验所求的根是否都具有负实部。
当系统阶次高于4时，求解特征根的计算工作将很难。
于是人们非常希望能寻求一种不必求解特征根，就能直接判定系统稳定与否的方法，这样就产生了劳斯判据。
例3-3已知一调速系统的特征方程为S4+2S3+3S2+4S+5=0，试用劳斯判据判别该系统的稳定性。
解：
依据系统闭环特征方程式的各项系数列劳斯表，得
S4135
S32
（1）4
（2）0
S2150
S1-6
S05
因此，在劳斯表中，第一列系数出现了由1变化为-6，又由-6变化为5的两次符号变化，故该系统不稳定，且有两个正实部的特征根。
3.1.3利用系统的输出响应曲线判断系统的稳定性
在自动控制中控制系统除了要求满足稳态性能指标外，还必须具有良好的动态性能指标，如反映相对稳定性的超调量Mp,反映控制系统的控制快速性的调节时间ts，反映控制系统的控制作用施加之初响应快慢的上升时间tr、和峰值时间tp等。
（1）人工分析
a一阶系统的单位阶跃响应
当输入信号时r（t）=1（t）时，一阶系统的输出c（t）称为单位阶跃响应，记作h（t）。
下面，利用拉普拉斯反变换求取一阶系统的单位阶跃响应h（t）:
h（t）=L-1[C（s）]=L-1[R（s）·Φ（s）]=L-1[1/s·1/（Ts+1）]=1-e-t/T（3-1）
根据（3-1），可得出表3-1的数据
表3-1
t
0
T
2T
3T
4T
5T
……
∞
h（t）
0
0.632
0.865
0.950
0.982
0.993
……
1
由表3-1中的数据可以看出：
一阶系统的单位阶跃响应是一个由零开始、以指数规律单调上升、无振荡的非周期变化，并且起点变化速度最大，其变化速度可由响应曲线的导数在t=0时刻的值求出，即：
dh（t）/dt︳t=0=1/T·e-t/T︳t=0=1/T,随着时间的推移，变化速度渐缓，当t→∞时h（∞）→1的动态过渡过程；这个过程的起点和终点实际是系统的初始稳态和终止稳态，很显然，系统的输出最终能准确跟随输入，使得系统稳态误差exx=0；在系统的过渡过程中，系统的输出无振荡无超调，故超调量Mp=0；系统经过3T～4T的时间，响应曲线已经可以达到稳态值的95%～98%，根据调节时间的定义，一阶系统的调节时间应为ts=3T（允许误差±5%）或ts=4T（允许误差±2%）。
由调节时间的取值可以看出，一阶系统的快速性完全取决于时间常数T，时间常数T反映了系统的惯性。
一阶系统的惯性越小，T越小，系统的调节时间越小，响应过程的快速性越好，过渡过程越短。
由表3-1和式
（1）可以绘制出图3-1所示的一阶系统的单位阶跃响应曲线。
h（t）
1/T
10.8650.950.982
0.632
0
T2T3T4Tt
图3-1
b一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号r（t）=δ（t）时（单位脉冲输入），一阶系统的输出c（t）称为系统的单位脉冲响应，常记作g（t）。
下面利用拉普拉斯反变换求取一阶系统的单位脉冲响应g（t）为
g（t）=L-1[C（s）]=L-1[R（s）·Φ（s）]=L-1[1·1/（TS+1）]=1/T·e-t/T（3-2）
根据（3-2），令t分别等于0、T、2T、3T、4T…,确定g（t）的值分别为1/T、0.368/T、0.135/T、0.050/T、0.018/T…，可以绘制出一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-2所示。
g（t）
k（t）
1（曲线初始斜率）
1/T
0T2T3T4Tt0T2T3T4Tt
图3-2图3-3
c一阶系统的单位斜坡响应
当输入信号r（t）=t·1（t）时（单位斜坡输入），一阶系统的输出c（t）称为单位斜坡响应，常记作k（t）。
下面利用拉普拉斯反变换求取一阶系统的单位斜坡响应k（t）为
k（t）=L-1[C（s）]=L-1[R（s）·Φ（s）]=L-1[1/S2·1/（TS+1）]=t-T+Te-t/T（3-3）
根据（3-3）令t分别等于0、T、2T、3T、4T…,确定k（t）的值分别为0、0.368T、1.135T、2.050T、3.018T…，可以绘制出一阶系统的单位斜坡响应曲线如图3-3所示。
（2）利用MATLAB分析
利用命令step（）函数绘制输出响应曲线判断
例3-5已知系统的闭环传递函数为
绘制系统单位阶跃响应曲线，利用damp函数求系统闭环根、阻尼比ε、无阻尼振荡频率Wn，求超调量Mp、峰值时间Tp、上升时间Tr、调节时间Ts。
首先打开MATLAB，在命令窗口输入程序，如下图所示：
图3-4
当使用step（num,den,t）命令时，系统自动产生阶跃响应曲线，并且右击鼠标时出现性能指标选项（Characteristics）,其中包括峰值响应（PeakResponse）、调节时间（SettingTime）、上升时间RiseTime）四项性能指标。
需要分析某项指标，就选中该项，即可在响应曲线上自动出现响应的点，知道具体的值，对该点单击即可。
如下图所示：
图3-5
从阶跃响应曲线和结果得到以下数据：
系统闭环根：
-1.0±2.0j；
阻尼比ε：
ε=0.4472；
无阻尼振荡频率Wn：
Wn=2.2361；
超调量Mp（OverShoot）：
Mp=20.8%；
峰值时间Tp：
Tp=1.57s；峰值=1.21；
上升到稳态的90%的时间Tr：
Tr=0.689；
调节时间Ts：
Ts=3.74s（2%的误差标准）。
利用示波器观察输出响应曲线
图3-6
鼠标点击示波器，得到下图曲线
图3-7
例3-5已知系统的结构框图如下图所示，判断系统的稳定性
图3-8
在MATLAB中利用Simulink建立如图所示的仿真模型,
图3-9
当Kc=1时，双击示波器Scope，得到如图所示的阶跃响应波形图
图3-10
当Kc=30时，双击示波器Scope，得到如图所示的阶跃响应波形图
图3-11
由以上波形图可以看出，阶跃响应曲线随Kc值的大小产生不同的曲线图Kc值越大时系统越来越不稳定，因此可以判定系统的稳定性与Kc有关，当系统在Kc的某个范围内系统才能稳定。
3.2频域分析方法
频域分析法是以线性系统的频率性作为数学模型来研究线性系统性能的一种经典方法。
该方法是对系统输入不同频率的正弦信号，并以输入信号的频率作为自变量，研究输出信号与输入信号的关系，并分析系统性能的一种方法。
使用该方法不必求解微分方程，而是作出系统频率特性图形，通过时域与频域之间的关系来分析系统的性能。
3.2.1利用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性
反馈控制系统稳定的充要条件是：
当系统的开环传递函数G（s）H（s）在S平面原点及虚轴上无极点时，ω由由-∞→+∞变化，开环幅相频率特性曲线绕（-1，j0）点。
逆时针转动的圈数为N，等于系统开环传递函数位于S平面右半部的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定，
对于开环系统稳定的系统，即开环传递函数G（s）H（s）的极点均位于S平面左半部，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围（-1，j0）点。
为简单起见，通常只画系统ω由0→+∞变化时的奈氏曲线，而ω由-∞→0变化时的奈氏曲线可以实轴为对称轴镜像画出。
因此判别闭环系统稳定的充要条件为N=P/2，此时的N是ω由0→+∞变化时的奈氏曲线逆时针围绕（-1，j0）的圈数。
例3-6已知控制系统的开环传递函数为：
G（s）=
，式绘制系统奈氏曲线，并用奈氏稳定判据判定开环放大系数K为10和50时，闭环系统的稳定性。
首先打开MATLAB，在程序窗口输入程序如图：
图3-12
（1）当K=10时，运行上面输好的程序，运行结果如下图所示
图3-13
由图可知，当K=10时，奈氏图不包围（-1，j0）点，则开环幅相频率特性曲线围绕（-1，j0）点逆时针转动的圈数N=0，而开环传递函数在右半平面的极点数P=0，因为N=P，所以闭环系统是稳定的。
（2）当K=50时，将上面程序中K值修改为50，运行后结果如下图所示
图3-14
由图可知，当K=50时，奈氏图顺时针包围（-1，j0）点，则开环幅相频率特性曲线围绕（-1，j0）点逆时针转动的圈数N=-1，而开环传递函数在右半平面的极点数P=0，因为N≠P，所以闭环系统是不稳定的。
3.2.2利用对数稳定判据判断
在对数幅频特性曲线L（ω）>0dB的范围内，系统开环对数相频特性曲线正、负穿越次数之差等于P/2，即N=N+-N-=P/2，其中，P为开环传递函数在右半平面的极点个数。
应注意，当开环传递函数存在积分环节时，同样应在开环相频特性曲线w=0+处增补v.π/2角度。
极坐标（a）与对数坐标（b）频率特性对照图如下
例3-7已知系统的开环传递函数G（s）=
，试用对数稳定判据判断系统的稳定性。
解：
由系统开环传递函数可以作出系统的对数频率特性曲线如图3-18所示。
图中在ω=0+处相频曲线增补π/2角度，如虚线所示，该虚线没有穿越-π线，所以不影响穿越次数。
可以看出正负穿越次数均为零。
又由于右半平面开环极点数为0。
所以系统稳定。
图3-15
3.2.3利用稳定裕量判断
稳定欲量是衡量系统稳定程度的指标，常用的有相位欲度
和幅值欲度
，两副相曲线具有相同幅值裕度，而相位裕度不同，相位裕度较大的系统更加稳定，ωc<ωg时系统稳定，ωc>ωg时系统不稳定。
（1）幅值裕度
——频率为
时对应的幅值A（
）的倒数。
（2）相位裕度
——令幅频特性过零分贝时的频率为
。
（3）幅值穿越频率
——令幅频特性过零分贝时的频率。
（4）相位穿越频率
——令相位为
时对应的频率。
例3-8已知控制系统的开环传递函数为
，分别判定开环放大倍数K为5和20时闭环系统的稳定性，并求相位裕度和幅值裕度。
首先打开MATLAB，在程序窗口中输入程序如下图
图3-16
当K=5时，运行结果如下图所示
图3-17
当K=20时，运行结果如下图所示
图3-18
由图分析可知：
当K=5时，
=
，
=6.85dB，
>0、
>0、
<
，闭环系统稳定；当K=20时，
=
，
=-5.19dB，
<0、
<0、
>
系统不稳定。
4时域分析和频域分析的比较
4.1频域特性与系统性能的关系
4.1.1系统稳态误差和开环频率特性的关系
低频段的卸率愈小，位置愈高，对应系统积分环节的数目愈多，开环增益愈大。
故闭环系统在满足稳定的条件下，其稳态误差愈小。
4.1.2系统的瞬态性能和开环频率特性中频段的关系
系统近似为零阻尼的二阶系统，为临界稳定系统，动态过程持续振荡。
因此中频段的斜率为—40db/dec时，所占的范围不宜过宽，否则会使得振荡加剧，调节时间增加。
如果中断频率更陡，则闭环系统难以稳定。
故通常选择截止频率ωc附近的斜率为—20db/dec，以期望系统有较好的平稳性，通过调高截止频率ωc来提高系统的快速性。
4.1.3开环频率特性的高频段对系统性能的影响
闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。
因此，开环对数幅频特性高频段的幅值，直接反映了闭环系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低，系统抗干扰能力越强。
4.2频域性能指标与时域性能指标之间的关系
用开环频率特性分析系统的瞬态性能时，一般采用开环频率特性的两个特征量，相位裕度r和幅值创业频率wc作为性能指标。
频域指标是表征系统稳态性能的间接指标。
时域中系统的瞬态性能由超调量Mp和调节时间ts来描述，具有直观和准确的优点，可以找出开环频域指标r和wc与时域指标Mp和ts的关系。
4.2.1二阶系统
设单位反馈二阶系统的开环传递函数为：
（0<ε<1）
（1）
与
之间的关系：
二阶系统的频率特性为
由
，计算开环截止
频率
有
解得
为：
则相位裕度
为
所以
从而得到
和
的关系，其关
系曲线如下所示。
在时域分析中，有
图4-1
由图4-1可知：
越小，
越小，超调量越大；
越大，
越大，超调量越小。
为使二阶系统不致于振荡太厉害以及调节时间太长，一般希望
。
（2）
、
与
之间的关系
在时域分析中，知
则
其关系曲线如下图所示
图4-2
由图4-2可以看出，调节时间与相角裕度γ和幅值穿越频率ωc都有关系。
如果两个二阶系统的γ相同，则它们的超调量也相同，这时ωc比较大的系统，调节时间ts较短。
4.3时域分析方法适用范围与优缺点
适用范围：
时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应，来分析控制系统的稳定性和控制系统的动态性能及问题性能。
工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标评价系统的优劣。
优点：
时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法。
随着计算机技术的不断发展，很多复杂系统都可以用时域法直接分析，时域法直观、准确，全面的优点在现代控制理论中也得到充分体现。
缺点：
在控制理论发展初期，时域分析只限于较低阶次的简单系统。
4.4频域分析方法适用范围与优缺点
适用范围：
是对系统输入不同频率的正弦信号，并以输入信号的频率作为自变量，研究输出信号与输入信号的关系，并分析系统性能的一种方法。
常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能
优点：
使用该方法不必求解微分方程，而是作出系统频率特性图形，通过时域与频域之间的关系来分析系统的性能。
从频率特性图不仅可以反映系统的性能，还可以反映系统结构和参数与系统性能的关系，而且还可以改变系统的参数和结构从而改变系统的性能。
缺点：
频域分析法是以线性系统的频率性作为数学模型来研究线性系统性能的一种经典方法。
频域分析没有时域分析精确，但频域分析更容易判别系统的稳定性。
总结
通过自动控制原理课程设计，加强了我们动手、思考和解决问题的能力。
这个方案使用了Matlab软件，使我们有掌握了一个软件的应用。
我觉得做课程设计同时也是对课本知识的巩固和加强，由于课本上的知识太多，平时课间的学习并不能很好的理解和运用各个原理的功能，而且考试内容有限，所以在这次课程设计过程中，我们了解了很多原理的功能。
平时看课本时，有时问题老是弄不懂，做完课程设计，那些问题就迎刃而解了。
而且还可以记住很多东西。
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