版数学浙江省学业水平考试专题复习必修44.docx
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版数学浙江省学业水平考试专题复习必修44
知识点一 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
知识点二 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
（1）交换律：
a＋b＝b＋a；
（2）结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb
知识点三 共线向量定理及平面向量基本定理
1．共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点四 平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），
λa＝（λx1，λy1），|a|＝
.
2．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
＝（x2－x1，y2－y1），
|
|＝
.
3．向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
题型一 向量有关概念辨析
例1 下面关于向量的叙述，正确的是________．（填序号）
①任一向量与它的相反向量不相等；
②四边形ABCD是平行四边形当且仅当
＝
；
③一个向量方向不确定当且仅当模为0；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
答案 ②③
解析 ①不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．②③正确．
④不正确．如图
与
共线，虽然起点不同，但其终点却相同．
感悟与点拨 向量是既有大小又有方向的量，且平移不变，所以在判断有关向量的命题时，一定要紧扣三点：
（1）大小，
（2）方向，（3）可平移．
跟踪训练1
（1）如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1
（2）给出下列命题：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若
＝
，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的命题是________．（填序号）
答案
（1）D
（2）③④
解析
（1）选项A中，设e1＋e2＝λe1，
则
无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ（e1＋2e2），则
无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ（e1－e2），则
无解；
选项D中，e1＋3e2＝
（6e2＋2e1），
所以两向量是共线向量．
（2）①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
②
＝
，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③零向量的方向是任意的，与任一向量平行，③正确；④a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，④正确；⑤若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立，故⑤不正确．
题型二 平面向量线性运算
例2
（1）在△ABC中，
＝c，
＝b，若点D满足
＝2
，则
等于（ ）
A.
b＋
cB.
c－
b
C.
b－
cD.
b＋
c
（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝
BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设
＝a，
＝b，则
＝________，
＝________，
＝________.（用向量a，b表示）
答案
（1）A
（2）
b－a
b－a a－
b
解析
（1）∵
＝2
，
∴
－
＝
＝2
＝2（
－
），
∴3
＝2
＋
，
∴
＝
＋
＝
b＋
c.
（2）
＝
＋
＋
＝－
b－a＋
b＝
b－a，
＝
＋
＝－
b＋
＝
b－a，
＝
＋
＝－
b－
＝a－
b.
感悟与点拨
（1）解此类题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
跟踪训练2
（1）如图所示，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么
等于（ ）
A.
－
B.
＋
C.
＋
D.
－
（2）设D为△ABC所在平面内一点，
＝－
＋
，若
＝λ
（λ∈R），则λ等于（ ）
A．2B．3
C．－2D．－3
答案
（1）D
（2）D
解析
（1）在△CEF中，有
＝
＋
.
∵点E为DC的中点，∴
＝
.
∵点F为BC的一个三等分点，∴
＝
.
∴
＝
＋
＝
＋
＝
－
.
（2）∵D为△ABC所在平面内一点，
＝－
＋
，
∴
－
＝－
（
－
），即
＝－
，
∴
＝－3
，则λ＝－3.
题型三 共线向量定理的应用
例3 设a，b是两个不共线的非零向量．
（1）若
＝－a＋b，
＝2a＋tb，
＝2018a－2b，且A，B，D三点共线，则t＝________；
（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.
答案
（1）－2018
（2）±4
解析
（1）
＝
＋
＋
＝（－a＋b）＋（2a＋tb）＋（2018a－2b）＝2019a＋（t－1）b，
因为A，B，D三点共线，所以
与
共线．
所以
＝μ
（μ为实数），
即2019a＋（t－1）b＝μ（－a＋b），
解得μ＝－2019，t＝－2018.
（2）因为8a＋kb与ka＋2b共线，
所以存在实数λ使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），
即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.
因为a与b是两个不共线的非零向量，
所以
解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.
感悟与点拨
（1）三点共线问题，可用向量共线来解决，应注意向量共线与三点共线的区别和联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
（2）当两向量共线时，要注意待定系数法和方程思想的运用．
跟踪训练3
（1）已知平面向量a＝（1，x），b＝（y,1），若a∥b，则实数x，y一定满足（ ）
A．xy－1＝0B．xy＋1＝0
C．x－y＝0D．x＋y＝0
（2）已知向量
＝（1，－3），
＝（2，－1），
＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
答案
（1）A
（2）k≠1
解析
（1）平面向量a＝（1，x），b＝（y,1）．
若a∥b，则xy＝1，即xy－1＝0.
（2）若点A，B，C能构成三角形，
则向量
，
不共线．
因为
＝
－
＝（2，－1）－（1，－3）＝（1,2），
＝
－
＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），
所以1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1.
一、选择题
1．给出下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b的方向一定不相同；②若向量
，
满足|
|>|
|，且
与
同向，则
>
；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 A
解析 ②两向量不能比较大小，故不正确；③a与b长度相等，但方向不定，故不正确；④规定0与任意向量平行，故不正确．
2．已知D是△ABC的边AB的中点，则向量
等于（ ）
A．－
＋
B．－
＋
C.
－
D.
＋
答案 A
解析 因为
＝
＋
，
＝－
，
＝
，
所以
＝－
＋
.
3．已知向量a＝（－2,3），b＝（2，－3），则下列结论正确的是（ ）
A．向量a的终点坐标为（－2,3）
B．向量a的起点坐标为（－2,3）
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
答案 C
4．（2018年6月学考）已知向量a＝（x,1），b＝（2，－3），若a∥b，则实数x的值是（ ）
A．－
B.
C．－
D.
答案 A
5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则
＋
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
6．下列式子中，不能化简为
的是（ ）
A．（
＋
）＋
B．（
＋
）＋（
＋
）
C.
－
＋
D.
＋
－
答案 D
解析 A中，（
＋
）＋
＝
＋
＝
；
B中，（
＋
）＋（
＋
）
＝
＋（
＋
＋
）
＝
＋（
＋
）＝
；
C中，
－
＋
＝
＋
＝
；
D中，
＋
－
＝
＋2
，故选D.
7．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，
＝a，
＝b，则
等于（ ）
A．－
a－bB．－
a＋b
C.
a－bD.
a＋b
答案 B
解析 由题意可得
＝
＋
＋
＝－a＋b＋
a
＝b－
a.
8．已知点A
，B
，则与向量
同方向的单位向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵
＝
，
∴|
|＝
＝
.
∴与向量
同方向的单位向量为
＝
＝
.
答：
可以，馒头中也含有淀粉，淀粉在咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。
9．若向量a＝（3,4），且存在实数x，y，使得a＝xe1＋ye2，则e1，e2可以是（ ）
4、填埋场在填满垃圾以后，可以在上面修建公园、体育场、但是不能用来建筑房屋和种植庄稼。
A．e1＝（0,0），e2＝（－1,2）
B．e1＝（－1,3），e2＝（2，－6）
13、以太阳为中心，包括围绕它转动
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