最新高考数学文第八章 立体几何 83习题及答案.docx

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最新高考数学文第八章立体几何83习题及答案

1.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

点击观看解答视频

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

答案　D

解析　A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．

2．如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.

（1）证明：

AB⊥平面PFE；

（2）若四棱锥P－DFBC的体积为7，求线段BC的长．

解　

（1）证明：

如图，由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE⊂平面PAC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.

因∠ABC＝，EF∥BC，故AB⊥EF.

从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PFE.

（2）设BC＝x，则在Rt△ABC中，

AB＝＝，

从而S△ABC＝AB·BC＝x.

由EF∥BC知，＝＝，

得△AFE∽△ABC，故＝2＝，

即S△AFE＝S△ABC.

由AD＝AE，得S△AFD＝S△AFE＝·S△ABC＝S△ABC＝x，

从而四边形DFBC的面积为

SDFBC＝S△ABC－S△AFD＝x－x＝x.

由

（1）知，PE⊥平面ABC，

所以PE为四棱锥P－DFBC的高．

在Rt△PEC中，PE＝＝＝2.

体积VP－DFBC＝·SDFBC·PE＝·x·2＝7，

故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3.

所以，BC＝3或BC＝3.

3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

4．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；

（3）证明：

直线DF⊥平面BEG.

解　

（1）点F，G，H的位置如图所示．

（2）平面BEG∥平面ACH，证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，

所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，

所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四边形BCHE为平行四边形，

所以BE∥CH.

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH.

同BG∥平面ACH.

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

（3）证明：

连接FH.

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.

因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.

又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.

又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.

同DF⊥BG.

又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.

5．如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（1）求证：

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

证明　

（1）证法一：

连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形，

则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.

又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.

证法二：

在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.

因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.

（2）连接HE，GE.

因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，

由AB⊥BC，得GH⊥BC.

又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，

因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.

又CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，

所以BC⊥平面EGH.

又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.

6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

（1）证明：

B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．

解　

（1）证明：

连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.

又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，AO∩BC1＝0，故B1C⊥平面ABO.

由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.

（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.

由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.

又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝.

由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.

由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.

又O为B1C的中点，

所以点B1到平面ABC的距离为，

故三棱柱ABC－A1B1C1的高为.

7．如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

BE⊥平面PAC.

证明　

（1）设AC∩BE＝O，连接OF，EC.

由于E为AD的中点，

AB＝BC＝AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，

因此四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点．

又F为PC的中点，

因此在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

（2）由题意知ED∥BC，ED＝BC，

所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，

所以BE⊥平面PAC.

8．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

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求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

证明　

（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.

又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.

（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，

所以DE∥PA，DE＝PA＝3，

EF＝BC＝4.

又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.

又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.

因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC.

又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.