1、最新高考数学文第八章 立体几何 83习题及答案1.已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()点击观看解答视频A若,垂直于同一平面,则与平行B若m,n平行于同一平面,则m与n平行C若,不平行,则在内不存在与平行的直线D若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;B中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故B错误;C中,若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故C错误;D中,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平
2、面,故D正确2如图,三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,ABC,点D,E在线段AC上,且ADDEEC2,PDPC4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥PDFBC的体积为7,求线段BC的长解(1)证明:如图,由DEEC,PDPC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABCAC,PE平面PAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因ABC,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)设BCx,则在RtABC中,AB,从而SABCABBCx.由EFBC知,得A
3、FEABC,故2,即SAFESABC.由ADAE,得SAFDSAFESABCSABCx,从而四边形DFBC的面积为SDFBCSABCSAFDxxx.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥PDFBC的高在RtPEC中,PE2.体积VPDFBCSDFBCPEx27, 故得x436x22430,解得x29或x227,由于x0,可得x3或x3.所以,BC3或BC3.3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知ACBC,BCCC1.设AB1的中点为D,B1CBC1E.求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.证明(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DEAC.又因为
4、DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACCC1.又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1C,所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因为BCCC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因为AC,B1C平面B1AC,ACB1CC,所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.4一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点
5、处(不需说明由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.解(1)点F,G,H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH,证明如下:因为ABCDEFGH为正方体,所以BCFG,BCFG,又FGEH,FGEH,所以BCEH,BCEH,于是四边形BCHE为平行四边形,所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同BG平面ACH.又BEBGB,所以平面BEG平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCDEFGH为正方体,所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,DHFHH,所以EG平面BFHD.又D
6、F平面BFHD,所以DFEG.同DFBG.又EGBGG,所以DF平面BEG.5如图,三棱台DEFABC中,AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明(1)证法一:连接DG,CD,设CDGFM,连接MH.在三棱台DEFABC中,AB2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DFGC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD.又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEFABC中,由BC2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BHEF,所以四边形HB
7、EF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHFH,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE,GE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB,由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EFHC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CFHE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGHH,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.6. 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:
8、B1CAB;(2)若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高解(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,AOBC10,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB160,所以CBB1为等边三角形,又BC1,可得OD.由于ACAB1,所以OAB1C.由OHADODOA,且AD,得OH.又O为B1C的中点,所以点B1
9、到平面ABC的距离为,故三棱柱ABCA1B1C1的高为.7如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,ABBCAD,E,F分别为线段AD,PC的中点(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.证明(1)设ACBEO,连接OF,EC.由于E为AD的中点,ABBCAD,ADBC,所以AEBC,AEABBC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,EDBC,所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为
10、四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APACA,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.8如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点已知PAAC,PA6,BC8,DF5.点击观看解答视频求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA6,BC8,所以DEPA,DEPA3,EFBC4.又因为DF5,故DF2DE2EF2,所以DEF90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEFE,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.
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