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数学模型课程论文
广西大学男女生人均日用水量预测线性回归模型
广西大学男女生人均日用水量预测的线性回归模型
摘要:
本文就广西大学随机抽查男女生宿舍记录每日用水情况，并发放调查问卷，调查男女生用水习惯，建立层次分析模型，分别计算出男女生的用水能力,分析影响人均日用水量大小的主要因素，建立具有普遍意义的人均日生活用水量预测多元线性回归模型,利用最大似然估计法，最后通过matlab软件解出相关系数，得出回归模型。
关键词：
层次分析，人均日用水量，最大似然估计法，多元线性回归：
引言
高校用水量大、集中，引起了节水管理部门的关注。
部分学者对高校用水及管理现状进行了相关研究分析，认为建立水资源定额管理制度是完善我国水资源管理体系，提高水资源管理水平的核心环节。
在水资源规划中,满足生活用水量是首要目标。
而科学的需水预测是水资源规划的重要依据。
过去，我国水资源规划部门对需水量的预测普遍偏高，造成对水资源规划在不同程度上的误导。
所以如何准确估计生活用水量大小,一直还是一个难题。
目前,在水资源规划中最常用的方法仍然是定额法,但在定额估计上存在很大的人为因素,甚至导致计算结果差异很大。
因此,急需要从大量的变化规律中寻找可靠的生活用水量预测模型。
关于生活用水量,已有大量的研究成果,也提出了很多种方法。
比如,用水定额法、灰色预测法、人工神经网络预测法[4,5]以及指数平滑法、三角函数预测法、计量经济学方法等。
这些方法在实际应用上各有优缺点,在方法选择上也存在很大随意性。
特别是针对水资源规划工作,存在的人为因素很大。
另外,在评价节水型社会时,人均生活用水量到底控制到多少才算是节约,也不能给出一个确定的统一标准。
实际上,并不能仅用一个值或一个区间值来简单表达,还需要考虑当地的自然条件、社会经济发展水平等因素。
1 人均生活用水量影响因素分析
一般来说,宿舍日用水量受到学生活动（如节假日与平常日的区别）、气象条件及突发事件等因素的影响,并与这些因素间存在某种相关性,表现出一定的变化特征。
日用水量的回归预测模型正是基于这种相关性和变化特征建立起来的,但由于个人用水结构差别，预测精度要求不一,最终建立的回归模型就会有所差别。
下面就影响宿舍日用水量变化的相关因素作一简要分析:
1.1 气象因素
气象因素是影响日用水量变化的诸因素中最主要的一个,是影响日用水量变化的“控制”因素。
气象因素主要包括日最高温度、日平均温度及天气阴晴状况（特别是降雨情况）,它们对日用水量变化都有极大影响。
通常随着日最高温度、日平均温度的升高,日用水量明显增大;同时,同一温度下晴天用水明显多于雨天。
至于其它气象影响因素,如日最低温度、空气湿度、气压值等,对日用水量的影响不是很显著,甚至包含或部分包含在上述因素中,可不予考虑。
本模型中主要考虑了每日的平均温度及阴晴量。
其中阴晴量根据天气情况可将其分为5级,1为晴、2为阴、3为小雨、4为中雨、5为暴雨；
1.2 节假日
从用水量历史数据的对比分析和温度—用水量拟合分析中可以得出:
同条件下,节假日用水比平常日用水低,而且重大节假日（如五一、国庆等）比一般节假日用水量低。
因此,节假日量（节假日重要性的量化）与日用水量存在一定的相关性,为简便起见,一般可当作线性相关考虑。
本模型中,根据节假日影响程度可取0～2,0为平常日、1为普通节假日、2为重要节假日；
1.3 特殊用水
特殊用水目前主要是指校园绿化用水。
这部分用水一般能较为准确地预测,可当作常量考虑，在本模型中，考虑到是学生宿舍，短期内不考虑特殊用水情况。
1.4男女生的节水意识和用水习惯差异
生活用水量与人们的用水习惯、社会习俗、节水意识等有关。
有些学生习惯多洗澡、洗衣等;有些学生因为水很珍贵而重复利用水、不浪费一点水,节水意识和用水习惯的差异,导致用水态度和用水量的不同。
同时,学校采取必要的水价政策、建立完善的规章制度,也可以影响学生用水。
1.5 其它因素
除上述主要影响因素外,其它因素如宿舍人数增长、突发事件（包括消防、管网维修）等也会对日用水造成影响,但它们对日用水量的影响要么是微弱的,要么是暂时的,在学生宿舍中都不具有显著性,在考虑影响因素时可忽略不计。
2模型建立
2.1构建回归模型
从上述分析可以看出影响广西大学男女生宿舍日用水量的因素主要包括日平均温度、天气阴晴状况及节假日等（特殊用水可单独考虑）,以及学生的节水意识和习惯，且它们与日用水量间均近似呈线性相关。
因此,可分别
以上述各主要影响因素为解释变量,建立关于日用水量预测的回归模型,日实际用水量模型形式为:
Y=S+b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q。
式中:
Y——日实际用水；
S——特殊的大量集中用水量；
Taver——日平均温度；
A——用水能力;
W——阴晴量,根据天气情况可将其分为5级,1为晴、2为阴、3为小雨、4为中雨、5为暴雨；
H——节假日量,根据影响程度可取H=0～2,0为平常日、1为普通节假日、2为重要节假日；
b0...b6———回归系数；
Q———回归残差项。
2.2收集相关数据
模型就12月初，以网络为主要媒介的、得到有关平均温度，阴晴量，节假日量的相关数据：
日期号
星期
最高温度（℃）
最低温度（℃）
平均温度（℃）
气候
气候量
节日量
1
星期四
17
7
12
小雨
3
0
2
星期五
16
5
10.5
阴
2
0
3
星期六
21
5
13
晴
1
1
4
星期天
22
9
15.5
晴
1
1
5
星期一
23
12
17.5
阴
2
0
6
星期二
15
4
9.5
小雨
3
0
同时我们以宿舍为单位一共调查了240名女生，96名男生每人每日的平均用水量，如下表：
女生总人数24012月初部分
部分女生宿舍用水情况统计表
宿舍号
1
2
3
4
5
6
301
0.6316
0.6083
0.3559
0.4626
1.3230
0.8917
302
0.4437
0.7231
0.7530
1.0492
1.3531
0.2114
303
1.5364
1.6037
2.6352
1.2053
1.6192
4.6507
304
0.4837
0.9936
0.9971
1.7187
0.4941
0.5620
306
3.0614
1.1651
2.2434
1.1028
1.0138
1.0148
307
0.3069
1.0540
0.9469
0.6124
0.6360
0.4722
308
0.5488
0.2436
1.9087
0.6558
0.7683
0.8592
309
0.6087
0.4052
1.6889
1.6089
2.4764
1.3721
310
0.3083
0.8593
0.9716
0.4207
0.4530
0.4607
311
1.7456
1.9135
1.0076
2.0889
0.9737
0.8691
312
0.5712
0.3906
0.5492
0.5102
0.5447
0.5030
212
0.5810
0.4530
0.6420
0.5460
0.1090
0.6560
401
0.3030
0.4760
0.4250
0.4000
0.6980
0.5320
405
0.9290
0.6410
0.6490
0.6260
0.4740
0.6450
408
0.3438
0.3625
0.2395
0.4102
0.6185
0.5856
409
1.3831
2.3473
3.1416
5.0261
5.5242
4.8280
410
0.2412
0.6598
0.3606
0.5366
0.7741
0.3360
502
0.3238
0.4408
0.5958
0.4673
0.6525
0.4901
503
0.5710
0.3099
0.3928
0.4738
0.6086
0.4930
504
0.5184
0.2951
0.4479
0.5464
0.6003
0.6165
505
0.2881
0.4609
0.3319
0.4509
0.3411
0.4316
507
0.4532
0.3167
0.5864
0.4181
0.5096
0.4881
510
0.9033
0.5016
2.7181
4.0016
0.9324
1.2313
512
1.1582
0.5822
0.6049
0.5033
0.8966
0.4851
601
0.6522
0.3786
0.3416
0.7792
0.1603
0.5127
605
0.9393
0.8161
1.7725
0.5829
0.0713
0.7417
606
1.0668
0.2858
1.1559
0.5345
1.8796
0.7770
607
0.5281
0.4263
0.2297
0.4230
0.6504
0.4958
610
1.3576
0.1129
0.9697
0.8708
1.2207
0.4819
611
1.1110
0.9723
0.8604
0.9448
1.1263
1.1865
总和
23.8984
20.7988
30.5228
29.9770
29.5028
27.8808
人均日用水量
.0995********
0.086661666667
0.12717833333
0.12490416667
0.12292833333
0.11617
男生总人数9612月初部分
部分男生宿舍用水情况统计表
1
2
3
4
5
6
105
0.657
0.753
0.415
0.423
0.571
0.441
106
1.23
0.845
0.8007
0.6433
0.834
0.712
202
0.6570
0.7460
0.4280
0.576
0.811
0.324
203
0.834
0.750
0.660
0.860
0.421
0.320
204
0.823
0.654
0.980
0.781
0.763
0.842
205
0.677
0.724
0.960
0.767
0.808
0.834
206
0.841
0.530
0.615
0.770
0.900
0.885
207
0.747
0.854
0.653
0.948
0.921
0.742
208
0.843
0.646
0.86
0.444
0.611
0.284
209
0.732
0.722
0.894
0.865
0.735
0.427
210
1.171
1.021
1.402
1.382
1.084
1.112
406
0.407
0.656
0.78
0.444
0.494
0.431
日用水总量
7.732
7.303
8.232
7.837
7.548
6.201
人均日用水量
0.080541666667
.0760********
0.08575
.0816********
0.078625
0.06459375
根据对数据的统计我们得到了有关男女生人均实际日用水量图（横坐标为日期，纵坐标为人均实际日用水量，以立方米为单位），如下图
同时，为了更准确的评估出男女生的用水能力的差异，我们用层次分析法量化一下男女生的用水能力：
（1）、构建不完全层次结构模型
根据层次结构图确定每一层的各因素的相对重要性的权数，直至计算出措施层各因素的相对权数。
利用这些权数，计算男女生用水能力的大小。
（2）、收集相关数据
考虑到男女用水能力与是否有节水意识，和个人的生活用水习惯，为了得到有关男女生节水意识和用水能力的数据,我们设计了如下调查问卷，并共发放及收集了100份问卷，其中女生60份，男生40份，进行了相关调查。
1您的性别（）
A男B女
2您是否关心关于节水方面的知识？
（ ）
Ａ 是 Ｂ否
3您在日常生活中是否有采取节水措施？
（）
A是B否
4您在用水时是否有节水意识？
（）
A是B否
5您每天的刷牙次数是（）
A一次B至少两次
6目前您的洗澡频率是（）
A每天一次B隔一天或几天一次
7您目前洗衣服的频率是（）
A每天都洗B隔一天或几天一次
经过对数据的收集和统计，我们得出了下表数据：
男
女
关心节水知识
60%
80%
采取节水措施
50%
78%
有节水意识
70%
92%
每天只刷一次牙
43.3%
14%
隔天洗澡
54.3%
14%
隔天洗衣服
96.7%
28%
（3）构建判断矩阵
我们采取对因子进行两两比较的办法，建立成对比较矩阵。
设aij表示因子pi和pj对因素O的影响大小之比，再设矩阵
，建立正互反矩阵。
通过判断及问卷调查，根据层次结构图以及Saaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9
尺度aij
123456789
Ci:
Cj的重要性
相同稍强强明显强绝对强
确定每一层的各因素的相对重要性的权数，直至计算出措施层各因素的相对权数。
首先，构造O-C层的判断矩阵，没有节水观念，不可能很好地减少用水量·，但光有观念，没有一定的生活用水习惯，也达不到影响用水量的目的。
C2比C1略重要，为2:
1。
则有下面判断矩阵.
O
C1
C2
C1
1
2
C2
1/2
1
对应下面的矩阵
类似的，可构造C-P层的判断阵
对应下面的矩阵
（4）判断矩阵的一致性检验：
根据一致性指标
和随机一致性指标表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
利用matlab求解正互反矩阵A,A1，A2的特征值D和特征向量V
A=[1,2;1/2,1];
A1=[1,5,3;1/5,1,1/4;1/3,4,1];
A2=[1,7,3,7;1/7,1,1/3,1;1/3,3,1,3;1/7,1,1/3,1];
[V,D]=eig（A）;
[V1,D1]=eig（A1）;
[V2,D2]=eig（A2）;
D
V
D1
V1
D2
V2
D=20
00
V=0.8944-0.8944
0.44720.4472
D1=3.085800
0-0.0429+0.5127i0
00-0.0429-0.5127i
V1=0.9048-0.9048-0.9048
0.13520.0676+0.1171i0.0676-0.1171i
0.40380.2019-0.3497i0.2019+0.3497i
D2=4.0079000
0-0.0040+0.1780i00
00-0.0040-0.1780i0
0000.0000
V2=-0.9211-0.9330-0.93300.0000
-0.12330.0422+0.0579i0.0422-0.0579i-0.7071
-0.34810.1154-0.3254i0.1154+0.3254i-0.0000
-0.12330.0422+0.0579i0.0422-0.0579i0.7071
根据所得到的特征值，先进行一致性和检验，判断A，A1，A2的不一致范围是否在允许范围之内
所以
通过计算可以得出A,A1，A2一致性检验通过，V,V1，V2的归一化权向量可以使用。
（5）求权向量
通过权向量的计算我们可以的到组合权向量表
C层P层
P1
P2
P3
P4
P5
P6
C1
0.6667
0.6267
0.0936
0.2797
0
0
0
C2
0.3333
0
0
0.6077
0.0813
0.2296
0.0813
P层对于目标的权重
0.4138
0.0624
0.3890
0.0271
0.0765
0.0271
由上表我们可以得出男女生用水能力的计算公式为
O=0.4183×P1+0.0624×P2+0.3890×P3+0.0271×P4+0.0765×P5+0.0271×P6
O－－男女生用水能力
P1－－关心用水知识
P2－－采取节水措施
P3－－有节水习惯
P4－－隔天洗澡
P5－－每天只刷一次牙
P6－－隔天洗衣服
结合我们的调查问卷调查的数据我们可以得到
男生
O=0.4183×P1+0.0624×P2+0.3890×P3+0.0271×P4+0.0765×P5+0.0271×P6
=0.4183×0.6+0.0624×0.5+0.3890×0.7+0.0271×0.433+0.0765×0.543+0.0271×0.967
=0.6368
女生
O=0.4183×P1+0.0624×P2+0.3890×P3+0.0271×P4+0.0765×P5+0.0271×P6
=0.4183×0.8+0.0624×0.78+0.3890×0.92+0.0271×0.14+0.0765×0.14+0.0271×0.28
=0.8279
2.3模型的求解
多元线性回归模型为
Y=S+b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
其中b0，b1，b2，b3，b4是未知参数，Y，S，Taver，A，W，H是6个可测量并可控制的非随机变量，R是随机误差。
不考虑特殊用水情况，则S=0。
设（Taver1，A1，W1，H1，Y1）,......,（Tavern，An，Wn，Hn，Yn）
是一个样本,我们用最大似然数估计法来估计参数
即取
使当时
，
达到最小，
求Q分别关于b0，b1，b2，b3，b4的偏导数，并令它们等于零，得
化简得
为了求解方便，可以写成矩阵的形式，为此引人矩阵
，
，
所以
等式两边同时乘以
，可得
2.4将数据代入回归模型求出回归系数
为了估计模型参数,对变量进行了观测,得到了6组观测数据,
令S=0，则有
Y1=b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
Y2=b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
Y3=b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
Y4=b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
Y5=b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
Y6=b0+b1Taver+b2A+b3W+b4H+Q
用matlab来进行计算
女生：
X=[1120.827930;110.50.827920;1130.827911;115.50.827911;117.50.827920;19.50.827930];
Y=[0.099576666667;0.086661666667;0.12717833333;0.12490416667;0.12292833333;0.11617];
T=X';
B=inv（T*X）*T*Y;
B
B=-0.0747
-0.0092
0.0136
0.0210
0.0173
男生
X=[1120.636830;110.50.636820;1130.636811;115.50.636811;117.50.636820;19.50.636830];
Y=[0.080541666667;0.076072916667;0.08575;0.081635416667;0.078625;0.0645935];
T=X';
B=inv（T*X）*T*Y;
B
由matlab的数据我们可以得到下表：
女生：
日期
实际用水量
用水能力
平均温度
气候量
节日量
回归预测量
回归残差量
1
0.099576
0.8279
12
3
0
0.1091
-0.009524
2
0.086661
0.8279
10.5
2
0
0.0883
-0.001639
3
0.127178
0.8279
13
1
1
0.1296
-0.002422
4
0.124904
0.8279
15.5
1
1
0.1202
0.004704
5
0.122928
0.8279
17.5
2
0
0.1191
0.003828
6
0.11617
0.8279
9.5
3
0
0.1049
0.01127
男生：
日期号
实际用水量
用水能力
平均温度
气候量
节日量
回归预测量
回归残差量
1
0.0805416
0.6368
12
3
0
0.0790
0.0015416
2
0.0760729
0.6368
10.5
2
0
0.0734
0.0026729
3
0.08575
0.6368
13
1
1
0.0841
0.00165
4
0.0816354
0.6368
15.5
1
1
0.0831
-0.0014646
5
0.078625
0.6368
17.5
2
0
0.0792
-0.000575
6
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