电路第三章复习.docx
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电路第三章复习
第三章电阻电路的一般分析
电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓扑
约束特性（KCL,KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。
方程分析法的特点是：
（1）具有普遍适
用性，即无论线性和非线性电路都适用；
（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCLKVL，元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。
3-1在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数
（1）每个元件作
为一条支路处理；⑵电压源（独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。
解:
（1）每个元件作为一条支路处理时，图（a）和（b）所示电路的图分别为题解3-1图（a1）和（b1）。
图（a1）中节点数n=6,支路数b=11
图（b1）中节点数n=7,支路数b=12
⑵电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图（a）
和图（b）所示电路的图分别为题解图（a2）和（b2）。
图（a2）中节点数n=4,支路数b二8
图（b2）中节点数n=15，支路数b=9
3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？
解：
题3-1中的图（a）电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为
（1）n—1=6—1=5
（2）n—1=4—1=3
独立的KVL方程数分别为
（1）b—n1=11—61=6
（2）b—n1=8—41=5
图（b）电路在两种情况下，独立的KCL方程数为
⑴n-1=7-1二6
（2）n-1=5-1=4
独立的KVL方程数分别为
（1）b-n1=12-71=6
（2）b-n1=9-51=5
3-3对题图（a）和（b）所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？
%
⑥
Cb）
解：
一个连通图G的树T是这样定义的：
（1）T包含G的全部结点和部分支路；
（2）
T本身是连通的且又不包含回路。
根据定义，画出图（a）和（b）所示图G的4个树如题解
3-3图（a）和（b）所示。
树支数为结点数减一。
故图（a）的数有树支，图（b）的树有树支
3-4图示桥形电路共可画出16个不同的树，试一一列出（由于节点树为4，故树支为3,
可按支路号递减的方法列出所有可能的组合，如123,124，,，126,134,135，,等，
从中选出树）。
解：
图示电路，16个不同的树的支路组合为：
（123），（124），（125），（136），（145），
（146），（156），（234），（235），（236），（246），
（256），（345），（346），（456）
3-5对题图3-3所示的G和G2，任选一树并确认其基本回路组，同时指出独立回路数
和网孔数各为多少?
（b）
题斛3巧图
解：
在连通图G中，由树支和一个连支组成的回路称为G的基本回路（或单连支回路），基本回路是独立回路，网孔也是独立回路，因此，基本回路数二独立回路数+网孔数。
对一个节点数为n,支路数为b的连通网，其独立回路数丨=（b-n•1）。
从题图
3-3所示的G和G2中任选一树，（见题解3-5图（a）和（b）中粗线所示），对应于这一树
的基本回路分别为I,=5,|2=63-6对图示非平面图，设：
（1）选择支路（1，2,3，4）为树；
（2）选择支路（5,6,
7,8）为树，问独立回路各有多少？
求其基本回路组。
解：
图中有结点数n=5,支路数b=10，故独立回路树为b-n，1=10-5•仁6
（1）选择支路（1,2,3,4）为树，对应的基本回路组为：
（1,2,3,4,5）,（1,
2,3,7）,（1,2,6）,（2,3,4,8）,（2,3,9）,（3,4,10）
（2）选择支路（5,6,7,8）为树,对应的基本回路组为：
（1,5,8）,（2,5,6,
8）,（3,6,7）,（4,5,7）,（5,7,8,9）,（5,6,10）
3-7图示电路中R<|=R2=10〔】,R3=4〔】，R4=&=8i】，Rg=21】，us3=20V,uS6=40V,用支路电流法求解电流i5
解：
本题电路有4个节点，6条支路，独立回路数为6-4+仁3。
设各支路电流和独立回路绕行方向如图所示，由KCL列方程，设流出节点的电流取正号。
节点①i!
i2i6=0
节点②_i2*i3*i4=0
节点③-i4•i5-i6=0
由KVL列方程
回路I2i6-8i4-10i2二-40
回路U-10i!
10i24i320
回路川-4i38i48i5=20
联立求解以上方程组，得电流i5工「0.956A
注：
由本题的求解过程可以归纳出用支路电流法分析电路的步骤如下：
（1）选定各支路电流的参考方向；
（2）任取（n-1）个结点，依KCL列独立结点电流方程；
（3）选定（b-n+1）个独立回路（平面回路可选网孔），指定回路的绕行方向，根据KVL列写独立回路电压方程；
（4）求解联立方程组，得到个支路电流，
需要明确：
以上支路电流法求解电路的步骤只适用于电路中每一条支路电压都能用支路电
流表示的情况，若电路中含有独立电流源或受控电流源，因其电压不能用支路电流表示，故不能直接使用上述步骤。
此外，若电路中含有受控源，还应将控制量用支路电流表示，即要多加一个辅助方程。
3-8用网孔电流法求解题图3-7中电流i5
解：
设网孔电流为iu,ii2,ii3，其绕行方向如题图3-7中所标。
列写网孔方程
20^—10^2—8il3=70
*—10"+24心-4L=-20
i—8咕一4il2+20il3=20
应用行列式法解上面方程组
20
-10
-8
20
-10
-40
A=
-10
24
-4
=5104,也3—
-10
24
-20
=-4880
-8
-4
20
-8
-4
20
所以-…亠帮n
注:
网孔电流法是以假想的网孔电流作为求解量，它仅适用于平面电路。
从本题的求解可以归
纳出用网孔电流法求解电路的步骤是:
（1）选取网孔电流吐咕，咕，如网孔电流方向即认为是列网孔kvl方程的绕行方向。
（2）列网孔电流方程。
观察电路求自电阻Rm,R2…（一个网孔中所有电阻之和称该网孔的自
电阻，如本题中^^20\R2^24\R3^201,自电阻总为正值）；互电阻尺2，尺3，只23…（两
网孔公共支路上的电阻之和，如本题中R|2--10,Ri3--8,甩--4，当流过互电阻的两网孔电流
方向一致，互电阻为正值，否则为负值），等效电压源数值（方程右方为各回路中电压源的代数和，
与网孔电流方向一致的电压源前取负号，否则取正号）。
3-9用回路电流法求解题图3-7中电流i3。
解法一：
取回路电流为网孔电流，如题图3-7中所示。
回路方程同题3-8中方程故有
所以
解法二：
取回路电流如题解3-9图所示。
仅让U号回路电流流经I3所在的支路。
列
写回路方程。
20in—10ii2一18ii3=「40
«—10ii1+24d+20ii3=—20
、-18ii1+20ii2+36L=0
用行列式法求上面方程组
20
-10
-18
20
—40
-18
A=
—10
24
20
=5104,
6=
-10
-20
20
=-7920
—18
20
36
—18
0
36
所以i3=ii227920--1.5517A
3i2也5104
显然解法二中回路电流的选取法使计算量减小。
注:
回路电流法适用于平面或非平面电路，比网孔法更具灵活性。
回路法分析电路时，首先要
确定一组基本回路，表定回路电流的绕行方向，其余步骤与网孔法类似。
需要指出的是回路电流法
中两回路的共有支路有时会有多条，因而互有电阻的确定要特别细心。
否则会发生遗漏互有电阻的错误。
解：
选取网孔为基本回路，回路电流的绕行方向如图中所示。
列回路方程
-6iM17d-8心=48
-8i1216心二0
应用行列式法
解：
回路电流如图中所标。
因3A电流源仅与回路I相关，即有，i1^3A其余两回
路的方程为
-8i11-50ii21%=136
-18iM10ii220ii3=136—50=86
把iM=3A带入两个方程中，加以整理得
：
50i12+10i13=160
JO"+20咕=140
解得
ii2=2A
电压
Uo=40i|2=402=80V
3-12用回路电流法求解图示电路中电压U
解：
按图示设网孔电流为回路电流。
因受控电流源仅和川号回路相关，故有n—1=6-1=5,对回路I和U列方程，并代入咕O.liii有
il3=—0.1"一0.1（-5）=0.5A
选外层回路列KVL方程20il11il2，420-U=0
从中解出
U=20（-5）1（-43.75）420=276.25V
3-13用回路电流法求解题图（a）,（b）两电路中每个元件的功率，并做功率平衡检验
解（a）:
选取（a）图中网孔为基本回路，回路电流方向如图中所标，列回路方程
in=15
（1）
-1iM-3ii22%=10
（2）
ii3⑶
式中U「为受控电流源的控制量，需要用回路电流加以表示，所以增补一个方程
U：
=2（i|2ii3）=4i|3
1|2=1|3
从中解得
把方程
（1）和（4）代入方程⑵中，有-153ii22ii2=10
三个电阻消耗的功率
・・2・・・・
P吸=1（hi~'ii2）'2U12'ii3）3（hiii3）
222
=110210320=1500W
电路共发出功率
满足
pp1p2p3=501050400=1500W
发
p发二p吸
解（b）:
解法一：
取网孔为基本回路，电路电流如图（b）中所标。
由于回路电流法列的是回路上的KVL方程，所以对6A理想电流源之路要假设一个电压，把电流源看做是电压为U的理想电压源来列写方程。
这样回路方程为
‘15^—10^3=-U
』il2=U+3Ucp
-10iM+25il^-3Uq）
由于有受控源和引入了电流源两端电压，所以需要增补如下方程
增补方程结合回路方程，加以整理，消去U得方程
”15.+il2+35il3=0
<-in-2ii3=0
厂in+il2=6
应用行列式法
15035
151
也2=
-10-2
=—30,亠=
-10
-160
-11
0
0=6
6
各回路电流为
电阻消耗的功率为
2222
pi=（32）iii1ii215ii310（i
2222
=5411015（-2）10（-6）=600W
由于U=-15i|3=-15（_2）=30V
则6A电流源吸收功率》=806=480W
受控源发出功率P发=3U.：
（i—i）=9012=1080W
故电路满足卩吸=P1*P2=600■480=1080=p发
解法二：
选取回路如题解3-13图（c）所示。
回路方程为
16il1il2—10il3=3U/
*ii2=6
—105+25%=-3Ucp
合并以上方程有
1弘+35l3=-6
厂⑺一2扁=0
计算结果与解法一中相同
注：
题3-11至3-13中含有的独立电流源或受控电流源支路，列含有电流源支路的回路方程时，
有两种处理方法，一是假设电流源两端的电压U，如3-3题（b）图的解法一，由于引入了变量U,
is已知这一条件,
方程式中的未知数多于方程式的个数，所以需增补一个方程，利用电流源的电流
把is表示成回路电流的代数和，如3-13题（b）解法一中的方程-咕=6。
另一种列写回路电流方程的方法是将电流源支路电流定为某一回路的回路电流，使电流源支路只与一个回路相关，如题
3-11，3-12和3-13中的（a）图解法和（b）图解法二。
这种方法的特点是利用电流源电流已知这
一条件，使求解方程减少一个，从而计算工作量大大减少。
当电路中含有理想受控源支路时，还需
再多加一个辅助方程，把控制量用回路电流量表示出来，见3-12和3-13题解。
3-14列出图（a），（b）中电路的结点电压方程。
G33=G3G6
G23=0
is33-Is7-is5
题3-14®
解（a）:
图中共有4个结点，选结点④为参考结点，设结点①，②，③的电位分别为Un1，Un2，Un3。
观察电路可得各结点的自电导为
G11-G2G3G2^=G2G4
互电导为G2二G2G3二G3
流入结点的等效电流源数值为
is11-is2-is1心2-Is5_ls2
故可列出结点电压方程
（G2G3）un1—G2un2-G3Un^is^is1
-G2Un1（G2G4）Un2丸5一is2
_G3Un1（G3■G6）Un3=is7-is5
解（b）:
（b）图中共有3个结点，选结点③为参考结点，观察电路直接列写方程
1—1—+丄語-丄u=i-i
人（R2+R3）民.户1R4Un2is1is5
—-1+1u=Hi
kR4（R4+ROn2
由于有受控源，所以控制量的存在使方程数少于未知量数，需增补一个方程，把控制量
i用结点电压表示有iUn1-
尽2+R3
注：
结点电压法是以各结点与参考结点之间的电压为待求量，列写各结点的KCL方程。
本题的
求解说明列写结点电压方程的一般步骤为：
（1）选定参考结点，往往选多条支路的汇集点。
给出其余结点的编号。
（2）观察电路，求出各结点的自电导（与某结点相连各支路的电导之和为该结点的自电导，自电
导总为正值）、互电导（两结点之间公共支路上的电导之和，互电导总为负值）和等效电流源数值（流
入结点的电流源的代数之和，以流入结点的电流源为正，流处为负）。
（3）当电路中有受控电流源时，需增补方程，把控制量用结点电压表示。
需要特别指出：
（1）对于电阻和电流源串联的支路可以等效为一个电流源支路，所以在列方程时
与电流源串联的电阻不计入自电导和互电导中，女口（b）图中的电阻R。
（2）对有多个电阻串接的
支路，应算出其总电阻，再计算其电导，如图（b）中R2,R3所在的支路其电导为1-1'
R2+&R2R3
对于结点数少于网孔数的支路，采用结点电压法可以减少计算量。
3-15列出图（a），（b）中电路的结点电压方程。
2口@
-^7
②2&
1G
寸$-°+川2疔
①=
②
仇4卫3Qe
|2Q
3S6S
5Q
5G10^
\¥
2G
.
③③
题3-15D
解（a）:
图（a）中有3个结点，选③号结点为参考结点。
图中电阻的单位不同，列写方程时注意自电导和互电导的计算。
列写结点方程
（；+312）Un1—2仏=4-10一卅（23亡叽=10
L26
整理方程组得
'0.7Unl_0.5Un2=-6
—0.5Un1+5山2=10
注意与4A电流源串联的电阻不计入自电导中。
20
解（b）:
图（b）中有3个结点。
选③号结点为参考结点。
列写结点电压方程
n2
n2
（1555）uni-（-55）u
-（51）uni（55制
整理以上方程组得
1.6un1—0.4un2=6
—0.4un1+0.5un2=6
3-16图示为电压源和电阻组成的一个独立结点的电路，用结点电压法证明其结点电压为
—Gkuskun1
此式又称为弥尔曼定理
证：
结点①的自电导为
GkUsk
k3
n
'Gk
kT
3-17列出图（a）,（b）电路的结点电压方程。
⑹题3-170血）
解（a）:
结点编号和参考结点的选取如图（a）所示，电路的结点电压方程为
0+1坞+1）比1-（1+1）片2-山3=2+彳+纟
T+1）比1+（1+1+2山一舟山3=3一舟
-Un1-珈2+（2+^+1）Un33-彳
整理以上方程，有
3.5Un1—1.5Un2—Un3=7
*一1.5山1+2Un2一0.5叫3=2
厂山1—0.5Un2+2Un3=一7
解（b）:
结点编号如图（b）所示。
本问题中①，②结点间有一理想电压源支路（也称无伴电压源支路），列写结点电压方程时可按下列方法处理。
解法一：
若电路没有指定参考结点可选择理想电压源支路所连的两个结点之一作参
考点，如本题选结点①作为参考点。
这时结点②的电位Un2=1V，为已知量，因而可少
列一个方程，电路的结点电压方程为
增补方程
把Un2=1V和U2Un4代入方程组，整理得
2un3*山4=2
厂Un3+9Un4=—3
解法二：
若电路参考点已给定，设本题给定结点④为参考点。
在这种情况下，对理
想电压源支路需设一支路电流i，把电压源支路看成是电流为i的电流源，由于i是未知
量，因此，在列写方程时需要增补一个辅助方程。
现以结点④为参考点，列写结点电压方程为
利用①，②结点间理想电压源电压已知这一条件列辅助方程山2-山“=1V
对受控源的控制量列辅助方程
U2-Un1
把以上方程加以整理得
解法三：
把理想电压源跨接的两个结点，看作是一个广义结点，对这两个结点只列写一个广义结点方程。
这样得到的方程如下
（1+焉山+詮SW3）+詮心弋-饥
哦“仏（0511）53523
把U2=Um代入以上方程，整理可得
11Un13片2一恥3二2
一5Un1一Un24U3=3
辅助方程un2-un1=1V
这组方程中第一方程，实际上是解法二中第一与第二个方程缩并的结果，而第二个方程是结点③的方程。
注：
本题说明对包含有理想电压源支路的电路应用结点电压法分析时的处理方法是：
（1）选取
理想电压源支路跨接的两结点中的一个结点作参考点，即得另一结点电位，从而减少一个未知量，
也就减少了一个方程，如题解一。
（2）设理想电压源支路电流i，把理想电压源看作是电流为i的电
流源，然后利用两结点间理想电压源电压已知这一条件写出增补方程，从而得到充分必要的方程式，
如解法二。
对于电路中有多个理想电压源支路的情形，往往以上两种处理方法并用。
（3）把连有理
想电压源的结点部分，看作是扩大了的广义结点，对广义结点列KCL方程，这样可以少列结点方程
和少设附加电流变量，如解法三。
3-18用结点电压法求解图示电路中各支路电流
解（a）:
结点编号如图（a）所示，选结点③接地，列写结点方程
（1+丄+1）口lu-I0
（I25）Un12Un21
-凯+^+和山厂2
列写方程时，与2A电流源串接的2"电阻不计入。
整理以上方程得
1.7un1-0.5un2=10
-0.5un10.6un2=2
应用行列式法解得
1.7
-0.5
=0.77
-0.5
0.6
10-0.5
\==7
20.6
1.710
=8.4
-0.52
Un1V二需2°9°9V
15
10
解（b）:
结点编号如图（b）所示，选结点为参考结点。
列写结点电压方程
（441）un1-山2
46
11
一叫1十（1十3+3）^2
整理得
；17Un1—12%=45
—6Un1+11比2=30
应用行列式法解得
所以
各支路电流分别为
15一un
15；435"891A
Un1Un2
』四二7.435-6.783二0.652A
id
2261A
3-19图示电路中电流为无伴电压源，用结点电压法求解电流Is和Io
解法一：
结点编号如图所示，选结点④为参考结点，结点电压方程为
把Un1=48V代入后两个方程中，整理得
26Un2-15Un3=288-6Un213Un3二48
应用行列式法解得
所以结点电压为
2
4464
=18
V
△
248
3
2976
=12
V
248
Un2
Un3
支路电流
.Un1一Un3=48-18.48一12二63=9A
39512
解法二：
选结点③为参考结点。
列结点方程为
（1）
⑵
⑶
d11
（5+3l9）Un^5Un^IS
—gunl+（暫+暫+暫）山2-6山4
55626
一1%+尹缶）%—S
把以上第
（1）和第（3）个方程合并加以整理得如下方程组
17un1-22un24°Un4=0
«—6un1+26un2—5un4=0
Uni—Un4=48
应用行列式法解得
所以结点电压为
故支路电流
两种计算方法所得计算结果是一致的，但显然解法二比解法一要复杂一些
3-20用结点电压法求解图示电路中电压U
IDG
5G②4Q
15/<>
+
（）5吵
解：
结点编号如图所示。
选结点④为参考结点，贝U结点电压方程为
Un<|=50A
Un3=151
增补一个用结点电压表示受控源控制量的辅助方程
20
合并以上方程，解得0.5Un2-丁15器二普
电压
U=un2=32V
注：
本题的求解说明，若电路中含有单独的理想受控电压源支路，列结点电压方程时处理的方法与独立电压源相同，但应多加一个用结点电压表示控制量的辅助方程。
3-21用结点电压法求解图示电路后，求各元件的功率并检验功率是
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