解 分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1,0，由分步乘法计数原理，凸数的个数为1×2＝2；
当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，凸数的个数为2×3＝6；同理可得：
当中间数为4时，凸数的个数为3×4＝12；
当中间数为5时，凸数的个数为4×5＝20；
当中间数为6时，凸数的个数为5×6＝30；
当中间数为7时，凸数的个数为6×7＝42；
当中间数为8时，凸数的个数为7×8＝56；
当中间数为9时，凸数的个数为8×9＝72.
故所有凸数的个数为2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240.
探究
选取问题
例2 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
[解]
（1）从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；
（2）从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；
（3）从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；
（4）从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．
根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同选法．
拓展提升
对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树图法、框图法及表格法进行枚举；当数目较大符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数，但一般根据选（抽）顺序分步或根据选（抽）元素特点分类．
甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？
解 解法一：
（枚举法）
（1）甲取得乙卡，此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲，则丙取丁、丁取丙；若乙取丙，则丙取丁，丁取甲；若乙取丁，则丙取甲，丁取丙，故有3种分配方案．
（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：
丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．
（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：
丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲．
由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9种．
解法二：
（间接法）
4个人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24种．
4个人都取自己写的贺卡有1种方法；
2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡方法有6种（即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）；
1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种（从4个人中选出自己写贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法）．
因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有
24－（1＋6＋8）＝9种．
解法三：
（分步法）
第一步，甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；
第二步，由甲取的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；
第三步，由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；
第四步，最后1个人取，只有1种取法．
由分步乘法计数原理，共有3×3×1×1＝9种．
探究
涂色问题
例3 如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
[解] 解法一：
按A→B→C→D的顺序分步涂色．
第一步，涂A区域，有4种不同的涂法；
第二步，涂B区域，从剩下的三种颜色中任选一种颜色，有3种不同的涂法；
第三步，涂C区域，再从剩下的2种不同颜色中任选一种颜色，有2种不同的涂法；
第四步，涂D区域，可分两类，一类D区域与A区域同色；另一类D区域与A区域不同色，共有1＋1＝2种涂法．
根据分步乘法计数原理共有4×3×2×2＝48种不同的涂法．
解法二：
按所用颜色的多少分类涂色．
第一类，用三种颜色，有4×（3×2×1×1）＝24种不同涂法；
第二类，用四种颜色，有4×3×2×1＝24种不同涂法；
根据分类加法计数原理，共有24＋24＝48种不同涂法．
拓展提升
求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
（3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有（ ）
A．180种B．240种
C．360种D．420种
答案 D
解析 区域2,3,4,5地位相同（都与其他4个区域中的3个区域相邻），故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时应注意：
区域2与区域4同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法，区域2与区域4不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×（1×3＋2×2）＝420种栽种方案，故选D.
将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有________种.
答案 42
解析 从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48种方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6种方法，所以有48－6＝42种不同的种植方法．
1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有（ ）
A．512个B．192个C．240个D．108个
答案 D
解析 能被5整除的四位数，可分为两类
一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60（个）．
二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48（个）．由分类加法计数原理得60＋48＝108（个）．
2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为（ ）
A．18B．20C．25D．10
答案 A
解析 第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：
5×4＝20（种）．
又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线．A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线．
∴形成不同的直线最多的条数为20－2＝18.
3．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
答案 2880
解析 分两步安排这8名运动员．
第一步：
安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，
所以共有4×3×2＝24种方法；
第二步：
安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120（种）．
所以安排这8人的方式共有24×120＝2880（种）．
4．将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有________种．
答案 12
解析 先填第一行，有3×2×1＝6种填法，再填第二行第一列，有2种填法，该位置确定后，其余位置也就唯一确定了，故共有6×2＝12种填法．
5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？
解 解法一：
（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18（种）．
解法二：
（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18（种）.
A级：
基础巩固练
一、选择题
1．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ）
A．8个B．10个C．18个D．24个
答案 A
解析 要组成奇数，因此末位只能取1或3.
当末位取1时，首位不取0和1，故有：
2×2＝4个．
当末位取3时，首位不取0和3，故有：
2×2＝4个．
所以可以组成4＋4＝8个奇数．故选A.
2．某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员．规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方法有（ ）
A．10种B．11种C．12种D．13种
答案 B
解析 分丁入选与不入选两类，当丁不入选时，则由甲、乙、丙三人担任，甲有2种选择，余下的乙和丙只有一种结果；当丁入选时，有3种结果，丁若担任三个人中没有入选的人的职务，则只有一种结果，丁若担任入选的两个人的职务，则有2种结果，共有3×（2＋1）＝9（种），综上可知共有2＋9＝11（种）．
3．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有（ ）
A．10个B．14个C．15个D．21个
答案 A
解析 当b＝1时，c＝4，当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4，5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．
4．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）
A．36个B．18个C．9个D．6个
答案 B
解析 分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次．第1步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．
5．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数为（ ）
A．6B．8C．36D．48
答案 D
解析 如图，在A点可以先参观区域1，也可先参观区域2或3，共有3种不同选法．每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观一个区域后，选择下一步走法有4种结果，只剩最后一个区域有2种走法，根据分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48（种）．
二、填空题
6．5只不同的球，放入2个不同的箱子中，每箱不空，共有________种不同的放法．
答案 30
解析 第1只球有2种放法，第2只球有2种放法，…，第5只球有2种放法，总共有25＝32种放法，但要每箱不空，故有2种情况不合要求，因此，符合要求的共有25－2＝30种不同的放法．
7．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种．
答案 12
解析 设并排10垄分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，选择2垄分别种植A，B两种作物，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则序号差不小于6，共有6种情况，如表：
A选
B选
1
8,9,10
2
9,10
3
10
A，B交换，共有2×6＝12种，故答案为12.
8．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．
答案 17
解析
（1）当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.
（2）不取1时，分两步：
①取底数，5种；
②取真数，4种．
其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.
∴N＝1＋5×4－4＝17.
三、解答题
9．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的九个小正方形（如图），使得任意有公共边的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有多少种？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解 第一步，涂标号为1,5,9的三个小正方形，有3种涂法．
第二步，涂标号为2,3,6的三个小正方形：
若标号为2,6的小正方形颜色相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形也有2种涂法，共有2×2＝4种涂法；
若标号为2,6的小正方形颜色不相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形只有1种涂法，共有2×1＝2种涂法．
所以对标号为2,3,6的三个小正方形涂色共有6种涂法．
第三步，对标号为4,7,8的三个小正方形涂色，易知共有6种涂法．
故符合条件的涂色方法有3×6×6＝108（种）．
B级：
能力提升练
10．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同的选法？
解 首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人．
第一类方法：
从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有5×3＝15种不同的选法；
第二类方法：
从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2＝10种不同的选法；
第三类方法：
从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有3×2＝6种不同的选法；
第四类方法：
将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，有2种选法．
由分类加法计数原理知，共有15＋10＋6＋2＝33种不同的选法．
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