人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题课时提升作业二十二 37正弦定理和余弦定理.docx

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课时提升作业（二十二）

正弦定理和余弦定理

（25分钟　50分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.（2015·赣州模拟）在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B等于　（　　）

A.60°B.60°或120°

C.30°D.30°或150°

【解析】选B.由正弦定理得=,解得sinB=,又b>a,则B等于60°或

120°.

2.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=　（　　）

A.或B.C.D.

【解题提示】把用大写字母表示的边长改为小写字母,再用正弦定理求解.

【解析】选C.BC=a=3,AB=c=,

由正弦定理,得sinC==,

又a=3,c=,所以a>c,即A>C,故C为锐角,

所以C=.

【误区警示】本题容易由sinC=得sinC=,没有利用a>c判断A>C,就得出C=或.从而导致增解.

3.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则这个三角形最大角的度数是

　（　　）

A.150°B.135°C.120°D.90°

【解题提示】先把已知条件转化为三边之比,再利用余弦定理求解.

【解析】选C.由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶5∶7,不妨令a=3,b=5,c=7,则角C最大,因为cosC===-,0°

【加固训练】若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=　（　　）

A.B.C.D.

【解析】选D.由6sinA=4sinB=3sinC,得sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4.

设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

则由正弦定理知a∶b∶c=2∶3∶4,

令a=2k,b=3k,c=4k（k>0）,

则cosB===.

4.（2015·海淀模拟）在△ABC中,a=3,b=4,sinA=,则sinC=　（　　）

A.1B.1或

C.1或-D.1或

【解题提示】先由正弦定理求sinB,再由内角和定理转化求sinC.

【解析】选B.因为=,所以sinB===,因为b>a,所以B>A,

故A为锐角,B为锐角或钝角,

所以cosA==,

当B为锐角时,cosB==,

此时sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

=×+×=1.

当B为钝角时,cosB=-=-,

此时,sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.

故选B.

【误区警示】解答本题易误选A.出错的原因是求出sinB的值后,没有根据a

5.在△ABC中,若sinB·sinC=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC是　（　　）

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行判断.

【解析】选D.因为sinBsinC=cos2=,

所以2sinBsinC=1+cos[π-（B+C）]

=1-cos（B+C）

=1-cosBcosC+sinBsinC,

即cosBcosC+sinBsinC=1,

所以cos（B-C）=1.

因为B,C是△ABC的内角,

所以B-C=0,即B=C,

又因为sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.

所以A=90°,

故△ABC为等腰直角三角形.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=,a=2b,则b的值为　　　　.

【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,

即32=（2b）2+b2-2·2b·b·cos,

解得b=.

答案:

【加固训练】若A=60°,a=7,b=5,则c=　　　　.

【解题提示】直接用余弦定理列出关于c的方程求解.

【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

所以49=25+c2-2×5×c×cos60°,

即c2-5c-24=0,解得c=8（c=-3舍去）.

答案:

8

7.（2015·淮北模拟）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若acosC+asinC-b=0,则A=　　　　　.

【解析】因为acosC+asinC-b=0,由正弦定理得:

sinAcosC+sinAsinC=sinB=sin（A+C）

=sinAcosC+cosAsinC,

即sinAsinC=cosAsinC,即2sinCsin=0,

所以sinC=0（舍）,或sin=0,所以A=.

答案:

8.（2015·铜陵模拟）如图所示,在平面四边形OMPN中,∠OMP=∠ONP=,∠MON=,PM=3,PN=4,则OP=　　　　　　　　.

【解析】连接MN.由四边形内角和为2π知∠MPN=,在△MNP中,由余弦定理MN2=MP2+NP2-2MP·NP·cos∠MPN,可得MN=,又O,M,P,N四点共圆,OP=2R==.

答案:

三、解答题

9.（10分）（2014·安徽高考）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.

（1）求a的值.

（2）求sin的值.

【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.

【解析】

（1）因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,

由正、余弦定理得a=2b·,

因为b=3,c=1,所以a2=12即a=2.

（2）由余弦定理得cosA===-,

因为0

所以sinA==,

故sin=sinAcos+cosAsin=.

【加固训练】1.（2015·宜春模拟）在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且（2b+c）cosA+acosC=0.

（1）求角A的大小.

（2）求2cos2-sin的最大值,并求取得最大值时角B,C的大小.

【解析】

（1）因为（2b+c）cosA+acosC=0,

所以2bcosA+ccosA+acosC=0,

由正弦定理,得==,

所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0,即2sinBcosA+sin（C+A）=0,

所以sinB（2cosA+1）=0,

在△ABC中,sinB≠0,所以2cosA+1=0,即cosA=-,又0

【一题多解】因为（2b+c）cosA+acosC=0,

所以由余弦定理得,（2b+c）×+a×=0,

化简整理得a2=b2+c2+bc,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA.

所以b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc,即cosA=-,又0

（2）因为A=,所以B=-C,0

2cos2-sin=2×+sin=+2sin,

因为0

2.（2015·天津模拟）已知锐角△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,tanA=.

（1）求A的大小.

（2）求cosB+cosC的取值范围.

【解析】

（1）由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,

所以tanA=⇒sinA=,

因为A∈,所以A=.

（2）因为△ABC为锐角三角形且B+C=,

所以

cosB+cosC=cosB+cos

=cosB+coscosB+sinsinB

=cosB+sinB

=sin.

因为

所以

即cosB+cosC的取值范围是.

（20分钟　40分）

1.（5分）（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=　（　　）

A.10　　　　B.9　　　　C.8　　　　D.5

【解析】选D.因为23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A=,

因为△ABC为锐角三角形,

所以cosA=,sinA=.

由正弦定理=得,=.

sinC=,cosC=.又B=π-（A+C）,

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.由正弦定理=得,=,解得b=5.

【一题多解】本题还可如下解答

选D.因为23cos2A+cos2A=0,

所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,

因为△ABC为锐角三角形,

所以cosA=,

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,

即49=b2+36-b,

5b2-12b-65=0,

解得b=5或b=-（舍去）,

故b=5.

2.（5分）（2015·合肥模拟）在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos（A-C）=1,则　（　　）

A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列

C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列

【解析】选B.由cos2B+cosB+cos（A-C）=1变形得:

cosB+cos（A-C）=1-cos2B,

因为cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）,cos2B=1-2sin2B,

所以上式化简得:

cos（A-C）-cos（A+C）=2sin2B,

所以2sinAsinC=2sin2B,

即sinAsinC=sin2B,

由正弦定理==得:

ac=b2,

则a,b,c成等比数列.故选B.

3.（5分）在△ABC中,若b=50,c=150,B=30°,则a=　　　　.

【解题提示】先由正弦定理求角C,再求角A,最后求a.

【解析】由=

得sinC===.

又b

当C=60°时,A=180°-（B+C）=90°.

所以a===100,

当C=120°时,A=B=30°,

所以a=b=50.

答案:

50或100

【易错警示】解答本题易只得一解a=100,出错的原因是由sinC=求角C时忽略其为钝角的情况.

【提醒】本题也可用余弦定理解答,但是数据较大,解一元二次方程麻烦.

4.（12分）在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,

且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（1）求A的大小.

（2）若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

【解析】

（1）由已知,根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c

即a2=b2+c2+bc.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

故cosA=-,A=120°.

（2）由

（1）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,

变形得=（sinB+sinC）2-sinBsinC,

又sinB+sinC=1,得sinBsinC=,

上述两式联立得sinB=sinC=,

因为0°

故B=C=30°,

所以△ABC是等腰的钝角三角形.

【方法技巧】判断三角形的形状的思路与依据

（1）思路:

必须从研究三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.

（2）判断依据:

①等腰三角形:

a=b或A=B.

②直