高二数学 平面向量的实际背景及基本概念教案.docx

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高二数学平面向量的实际背景及基本概念教案

2019-2020年高二数学平面向量的实际背景及基本概念教案

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.（让学生对整章有个初步的、全面的了解.）

第1课时

§2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点：

理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：

平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：

本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教具：

多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：

新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：

猫能否追到老鼠？

（画图）

结论：

猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：

老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.

引言：

请同学指出哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：

我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：

（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？

分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？

长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？

单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？

这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：

；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

3.有向线段：

具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：

起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：

零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：

（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

（不一定）

例3下列命题正确的是（）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：

由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.

变式一：

与向量长度相等的向量有多少个？

（11个）

变式二：

是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

（存在）

变式三：

与向量共线的向量有哪些？

（）

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

2．书本88页练习

三、小结：

1、描述向量的两个指标：

模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

2019-2020年高二数学平面向量的数量积的物理背景及其含义教案

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：

平面向量的数量积定义

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型：

新授课

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

  本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：

平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

教学过程：

一、复习引入：

1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：

有且只有一个非零实数λ，使=λ.

2．平面向量基本定理：

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

3．平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作

4．平面向量的坐标运算

若，，则，，.

若，，则

5．∥（≠）的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，

使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：

λ>0（内分）（外分）λ<0（λ<-1）（外分）λ<0（-1<λ<0）

7.定比分点坐标公式：

若点P１（x1，y1），Ｐ２（x2，y2），λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.

8.点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.

②当λ＜０（）时，与反向共线，这时称点P为的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，

可得=

.

10．力做的功：

W=|F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

说明：

（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b=|a||b|cosθ，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.

⋅探究：

两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.

（4）已知实数a、b、c（b≠0），则ab=bc⇒a=c.但是a⋅b=b⋅ca=c

如右图：

a⋅b=|a||b|cosβ=|b||OA|，b⋅c=|b||c|cosα=|b||OA|

⇒a⋅b=b⋅c但a≠c

（5）在实数中，有（a⋅b）c=a（b⋅c），但是（a⋅b）c≠a（b⋅c）

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3．“投影”的概念：

作图

定义：

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为|b|；当θ=180︒时投影为-|b|.

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1︒e⋅a=a⋅e=|a|cosθ

2︒a⊥b⇔a⋅b=0

3︒当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|.特别的a⋅a=|a|2或

4︒cosθ=

5︒|a⋅b|≤|a||b|

三、讲解范例：

例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120o，求a·b.

例2已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求（a+2b）·（a-3b）.

例3已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

例4判断正误，并简要说明理由.

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.

解：

上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：

两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：

应有０·ａ＝0；

对于④：

由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：

若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；

对于⑥：

由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；

对于⑦：

若ａ与с共线，记ａ＝λс.

则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），

∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ

若ａ与с不共线，则（ａ·ｂ）с≠（ｂ·с）ａ.

评述：

这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.

解：

①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；

若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，

∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9

评述：

两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.

四、课堂练习：

1.已知|a|=1，|b|=，且（a-b）与a垂直，则a与b的夹角是（）

A.60°B.30°C.135°D.４５°

2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）

A.2B.2C.6D.12

3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是（a+b）与（a-b）垂直的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|=.

5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=.

6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则（a+2b-c）２＝______.

7.已知|a|=1，|b|=，

（1）若a∥b，求a·b；

（2）若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角.

8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.

9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.

五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、教学后记：