人教版七年级数学下册相交线垂线提高典型例题考点讲解+练习含答案1doc.docx

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相交线，垂线（提高）知识讲解

责编：

杜少波

【学习目标】

1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；

2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；

3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；

4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.

【要点梳理】

知识点一、邻补角与对顶角

1．邻补角：

如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

要点诠释：

（1）邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：

“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．

（2）邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．

（3）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．

（4）邻补角满足的条件：

①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.

2.对顶角及性质：

（1）定义：

由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角．

（2）性质：

对顶角相等．

要点诠释：

（1）由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．

（2）对顶角满足的条件：

①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

3.邻补角与对顶角对比：

角的名称

特征

性质

相同点

不同点

对顶角

①两条直线相交形成的角；

②有一个公共顶点；

③没有公共边.

对顶角相等.

①都是两条直线相交而成的角；

②都有一个公共顶点；

③都是成对出现的.

①有无公共边；

②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.

邻补角

①两条直线相交而成；

②有一个公共顶点；

③有一条公共边.

邻补角互补.

【：

相交线403101两条直线垂直】

知识点二、垂线

1．垂线的定义：

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：

（1）记法：

直线a与b垂直，记作：

；

直线AB和CD垂直于点O，记作：

AB⊥CD于点O.

（2）垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

CD⊥AB．

2．垂线的画法：

过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）．

要点诠释：

（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．

（2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．

3．垂线的性质：

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：

垂线段最短．

要点诠释：

（1）性质

（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．

（2）性质

（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．

4．点到直线的距离：

定义：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点诠释：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．

【典型例题】

类型一、邻补角与对顶角

1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。

【答案与解析】

解：

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），

∴∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。

∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。

∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），

∴OM和ON共线。

【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本题得证。

2.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:

∠1＝4:

l，求

．

【答案与解析】

解：

设∠1＝x，则∠2＝4x．

∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠1＝2x．

∵∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴x＝30°．

∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝150°．

又∵OF平分∠COE，∴∠COF＝

∠COE＝75°．

∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．

【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:

b＝m:

n，在解题时设

，

，这是常用的用方程思想解题的方法．

举一反三：

【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算

时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求

的度数．

【答案】

解法1：

∵α的补角是一个锐角，

∴α是一个钝角，即90°＜α＜180°，

∴

．

由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，

可知

．

∴

．

解法2：

由题意可知

是一个钝角，即

．

如果

，那么

，不满足

；

如果

，那么

，不满足

；

如果

，那么

，满足

，

所以此人计算的答案正确．所以

．

【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：

先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．

3.

（1）如图

（1），已知直线a、b相交于点O，则

（1）图中共有几对对顶角?

几对邻补角？

（2）如图

（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图

（2）中共有几对对顶角（不含平角）?

几对邻补角？

【答案与解析】

解：

（1）2对对顶角，4对邻补角。

（2）将图

（2）拆分为下图：

通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由

（1）知：

每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，

对顶角的对数：

（对）；邻补角的对数:

（对）

答：

图中共有12对对顶角，24对邻补角

【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n条直线两两相交，最多有

个交点．每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n（n-1）对对顶角，2n（n-1）对邻补角。

举一反三：

【变式】（2015•青岛模拟）如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是　　，∠1的对顶角是　　．

【答案】∠2和∠4；∠3.

由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．

类型二、垂线

4．下列语句：

①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。

②一条直线的垂线有无数条。

③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。

其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

【答案】①②

【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。

①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：

①关于垂线的定义：

要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；

②关于垂线的性质：

平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。

举一反三：

【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为（）

A．经过两点有且只有一条直线

B．两点之问的所有连线中，线段最短

C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】D提示：

注意区分直线性质与垂线性质

5.（2016春•达州校级期中）如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=20°，求∠DOE的度数．

【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的度数．

【答案与解析】

解：

∵OC⊥OE，

∴∠COE=90°，

∵∠BOE=20°，

∴∠COB=90°+20°=110°，

∵OD为∠BOC的平分线，

∴∠BOD=55°，

∴∠DOE=55°﹣20°=35°．

【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．

【：

相交线403101例4变式

（1）】

举一反三：

【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM⊥ON，求证：

ON平分∠BOC.

【答案】

解：

如图，

∵OM平分∠AOB∴∠1=∠2

又∵OM⊥ON∴∠3=90°－∠2

由图可得：

∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2－（90°－∠2）=90°－∠2

∴∠3=∠4

∴ON平分∠BOC

6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置（保留作图痕迹）．

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?

在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?

（分别用文字表述你的结论，不必说明）

【答案与解析】

解：

（1）过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．

（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．

【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．

举一反三：

【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．

【答案】

解：

如图所示

【变式2】点P为直线

外一点：

点A、B、C为直线

上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线

的距离是（）

A．2cmB．4cmC．5cmD．不超过2cm

【答案】D.

初中奥数题试题一

一、选择题（每题1分，共10分）

1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么（）

A．a，b都是0B．a，b之一是0

C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数

2．下面的说法中正确的是（）

A．单项式与单项式的和是单项式

B．单项式与单项式的和是多项式

C．多项式与多项式的和是多项式

D．整式与整式的和是整式

3．下面说法中不正确的是（）

A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数

C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么（）

A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0

5．大于－π并且不是自然数的整数有（）

A．2个B．3个C．4个D．无数个

6．有四种说法：

甲．正数的平方不一定大于它本身；

乙．正数的立方不一定大于它本身；

丙．负数的平方不一定大于它本身；

丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是（）

A．a大于－aB．a小于－a

C．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边（）

A．乘以同一个数B．乘以同一个整式

C．加上同一个代数式D．都加上1

9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是（）

A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能

10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（）

A．增多B．减少C．不变D．增多、减少都有可能

二、填空题（每题1分，共10分）

1．19891990²－19891989²=______。

2．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______。

3．当a=－0.2，b=0.04时，代数式a²-b的值是______。

4．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克。

三、解答题

1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的

，乙每月比甲多开支100元，三年后负债600元，求每人每年收入多少？

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。

5．求和：

。

6．证明：

质数p除以30所得的余数一定不是合数。

初中奥数题试题二

一、选择题

1．数1是（）

A．最小整数B．最小正数C．最小自然数D．最小有理数

2.a为有理数，则一定成立的关系式是（）

A．7a＞aB．7+a＞aC．7+a＞7D．|a|≥7

3.3.1416×7.5944+3.1416×（-5.5944）的值是（）

A．6.1632B．6.2832C．6.5132D．5.3692

4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是（）

A．225B．0.15C．0.0001D．1

二、填空题

1．计算：

（-1）+（-1）-（-1）×（-1）÷（-1）=______。

2.求值：

（-1991）-|3-|-31||=______。

3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。

则n的最小值等于______。

4.不超过（-1.7）²的最大整数是______。

5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______。

三、解答题

1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。

2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。

试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？

最大利润是多少元？

3．如图1－96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。

求证：

DA⊥AB。

4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。

5.王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？

（一年期定期储蓄年利率为5.22％）

6.对k，m的哪些值，方程组

至少有一组解？

初中奥数题试题三

一、选择题

1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（）

A.x²y与-3x²zB.3.22m²n3与n3m²

C.0.2a²b与0.2ab²D.11abc与ab

2.（x-1）-（1-x）+（x+1）等于（）

A．3x-3B．x-1C．3x-1D．x-3

3.两个10次多项式的和是（）

A．20次多项式B．10次多项式

C．100次多项式D．不高于10次的多项式

4.若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（）

A．a，-1，1，-aB．-a，-1，1，a

C．-1，-a，a，1D．-1，a，1，-a

5.a=-123.4-（-123.5），b=123.4-123.5，c=123.4-（-123.5），则（）

A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a

6．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是（）

A．（a-b）（ab+a）B．（a+b）（a-b）

C．（a+b）（ab+a）D．（ab-b）（a+b）

7．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到（）

A．4a-bB．b-aC．a-9bD．7b

8．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c（）

A．互为相反数B．互为倒数C．互为负倒数D．相等

9．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是（）

A.5B.8C.12D.13

二、填空题（每题1分，共10分）

1．2+（-3）+（-4）+5+6+（-7）+（-8）+9+10+（-11）+（-12）+13+14+15=______。

2.若P=a²+3ab+b²，Q=a²-3ab+b²，则代入到代数式P-[Q-2P-（-P-Q）]中，化简后，是______。

3．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于______。

4．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麦。

三、解答题

3.液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量。

4.6．设P是△ABC内一点．求：

P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。

5.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离。