不确定度的表示方法.docx

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不确定度的表示方法

不确定度的表示方法

不确定度数据表示方法

一.不确定度

概述：

在科学实验、产品生产、商业贸易及日常生活的各个领域，我们都要进行测量工作。

测量的目的是确定被测量的值，测量不确定度表示测量结果的不确定或不肯定的程度，也就是不可信度。

定义：

不确定度是与测量结果相关联的，用于合理表征被测量值分散性大小的参数。

分类及表示：

①标准不确定度：

以标准差表示的不确定度，以µ表示。

②扩展不确定度：

以标准不确定度的倍数表示的不确定度，以U

表示。

（扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间的半宽）

③合成标准不确定度：

各标准不确定度分量的合成，以µc表示（测

量结果标准差的估计值）

1.1.合成标准不确定度

被测量y由N个其他量xi的函数确定时，假设其函数关系为y=f（x1，x2，„„，xN）

NN-1N

∂f22∂f∂fuc（y）=∑[]u（xi）+2∑∑⋅r（xi,xj）u（xi）u（xj）i=1∂xii=1j=i+1∂xi∂xj

f∂

∂xi为灵敏系数，r（xi，xj）为相关系数。

上式称为不确定度传播率。

2

⎡2NNN⎛⎫∂f221⎢∂f⎪∂f∂3f⎤⎥⋅u2（xi）⋅u2（xj）uc（y）=∑[]u（xi）+∑∑+⋅2⎪∂xi∂xi∂xj⎥i=1∂xii=1j=12⎢⎝∂xi∂xj⎭⎣⎦

1.1.1.当被测量的函数形式为：

y=A1x1+A2x2+„„+ANxN，且各输入量之间不相关时，合成标准不确定度为：

NN

∂f22

uc（y）=∑[]u（xi）uc（y）=∑Ai2ui2（xi）

i=1∂xii=1

Nn

22

uc（y）=∑ciui（xi）=∑ui2（y）若用灵敏系数表示：

i=1i=1

NN-1N

∂f22∂f∂f

u（y）=[]u（x）+2⋅r（xi,xj）u（xi）u（xj）∑∑∑ic

∂x∂x∂xi=1i=1j=i+1iij

1.1.2.当被测量的函数形式为：

N

u（2cy）=[Pu（x）/x]∑iiiyi=1

N∂f

uc（y）=∑u（xi）

1.1.3若所有输入量都相关，且相关系数为1i=1∂xi

uc（y）：

合成标准不确定度

ui（x）：

各输入量的标准不确定度νi：

ui（x）的自由度

νeff越大表明评定的合成标准不确定度uc（y）越可靠。

自由度的含义：

自由度是方差之不确定度的度量，由于测量不确定度用标准偏差（方差的正平方根）表示，自由度也就是“测量不确定度的不确定度”。

自由度大表示测量不确定度的不确定度小，即测量结果之不确定度的可信度高，反之亦然。

用第一张ppt的例子来说明，当自由度很大时，表示“被测量的值落在831。

9℃～839.1℃区间的置信水平约为95﹪”的可信度高，对于自由度v=12，3.6℃的不可信度大约是21﹪。

1.2扩展不确定度分为两种U和Up。

1.2.1．U：

就是合成标准不确定度的倍数，U=kuc，即由合成标准不确定度直接乘以包含因子k（k的典型值为2~3）1.2.2.Up：

对于给定的置信概率P，扩展不确定度记为Up=kpuc，此时包含因子kp的选择如下

如果组成uc的不确定度分量较多，且各分量对不确定度的影响不大时，据中心极限定理，合成不确定度uc的分布接近正态分布。

若有效自由度充分大，按正态分布计算

若有效自由度较小，按t分布计算（按有效自由度查表）

如果uc的概率分布为非正态分布时，应根据相应的分布确定kp。

二．不确定度的评定

测量不确定度的评定方法分为两类，即A类和B类，两者之间无主次之分，享有同等地位。

2.1A类不确定度评定

A类不确定度是采用观察列进行统计分析的方法来评定标准不确定度的，用标准误差来表示。

测量列算术平均值的标准误差σx为σxPnP2

y=x1P1⋅x2⋅⋅⋅xn

当测量次数较少时，其估算值会偏大，这是，从理论上可得A类不确定度的估算值为

uA=t（n-1）·σx

式中，t（n-1）是一个大于1的修正值（被称为t分布临界值）。

测量次数n不同，修正量

t（n-1）不同。

下表给出了不同测量次数n对应的修正量。

2.2B类不确定度的评定

实则基于对一个事件发生的信任程度。

很多不确定度分量实际上还必须用别的非统计方法来评定。

2.2.1B类不确定度评定的信息来源主要有六项：

①：

以前的测量数据。

②：

对有关数据资料和测量仪表特性的了解和经验。

③：

生产部门提供的技术说明文件。

④：

校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前还在使用的极限误差等。

⑤：

手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。

⑥：

规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或重复性限R。

2.2.2B类不确定度的评定方法采用不同于A类的其他方法估算。

首先，根据仪器、仪表说明书，国家标准，材料特性等来确定测量误差限△，例如，已知仪表精度等级和量程可计算出误差限。

其次，确定测量误差的分布，常见的有正态分布和均匀分布。

最后，将测量误差限（对应的置信度≈1）换算成相似的标准误差uj（对应一倍的标准误差置信度）。

对于均匀分布的误差，其B类不确定度估算为uj对于服从正态分布的误差，其B类不确定度估算为uj=3

三．测量不确定度评定实例

3.1用电压表测量稳压电源的输入电压

△

3.1.1测量方法及测量的数学模型

用已经校准的电压表测量一台稳压电源的输出电压U。

电压表的分辨力为0.01V。

电压表校准的不确定度和表的分辨力引起的不确定度可以忽略不计。

因此，多次直接测量，数据的平均值即为输出电压的最佳估计值。

故测量的数学模型可以表示为：

U＝U测（1.1）

3.1.2测量数据

进行了10次测量，测量数据及相关计算列于表1.1

表1.1输出电压测量数据及相关计算

检查平均值和残差的计算是否有误，可将正残差与负残差分别相加，若两个和的绝对值不相等，且两者之差大于末位的1/2，则可判定计算有误。

本例中

∑+υi=∑-υi=183，再复核计算，表明计算正确。

也可直接求残差的代数和看是否为零，或小于末位的半个单位来进行判断。

10次测量值的平均

∑Ui

U测==200.56V（1.2）

10

即为输出电压U的最佳估计值。

3.1.3根据贝塞尔公式计算测量列的实验标准差单次测量值的实验标准差

S（Ui）==0.477（V）

（1.3）

S（Ui）表征测量列中测量数据的分散性。

假定测量值服从正态分布，就可以估计，大约有68.3％的测量值处在（200.56±0.48）V区间内，95％的测量值处在（200.56±2×0.48）V区间内，99.7％的测量值处在（200.56±3×0.48）V区间内。

残差绝对值大于3×0.48V的测量值不应该出现（小概率事件）。

如果出现，可判定为粗大误差。

10次测量的每一个测量值的实验标准差均为0.48V。

这10个测量值仅是测量值总体的一个样本。

由此计算的标准差仅是这个样本的标准差，而不是总体标准差。

总体标准差可表示为：

σ（

Ui）=n→∞

（1.4）

这无法实际测得，只是理论上存在，又叫理论标准差。

而样本标准差仅是理论标准差的有偏估计值。

样本方差S2（Ui）才是总体理论方差σ2（Ui）的无偏

估计值，即最佳估计值。

所以在统计分析中，多用方差作为数据分散性的度量。

标准差是方差的正平方根，在实际工作中使用更为方便。

3.1.4计算平均值的实验标准差

S（U测）=S（

Ui0.15（V）

（1.5）

可以这样理解S（U测）的含义：

再进行若干组测量，每组n个测量值均可

求得一个平均值和相应的测量列的标准差。

若测量条件不变，各组测量列的标准差相互很接近。

各组测量值的平均值不会完全一样，它们也构成一个数列。

由这个数列也可用贝塞尔公式计算它的标准差。

由统计理论可证明，平均值数列的标准差等于单个测量列标准差的1/n倍，即为（1.5）式。

这表明，平均值数列的分散性比单一测量列的分散性小，即各平均值比测量列中的测量值相互之间更靠近。

v＝n－a叫做自由度，它是求和的项数n，减去对和的限制数a。

上例中，n＝10，限制条件仅有残差之和为零，即Συi＝0，故a＝1，因而v＝10－1＝9。

自由度越大，计算的样本标准差就越接近总体标准差，所得结果的可信度就越高。

3.1.5测量结果报告

平均值的实验标准差就是它的标准不确定度。

本例中，这是唯一的不确定度来源。

认为近似服从正态分布，测量结果可以表示为：

输出电压U＝200.56V，u＝S（U测）＝0.15V，（1.6）

或者U＝200.56V±2×u

＝200.56V±0.30V，p＝95%（1.7）

0.30V即为扩展不确定度。

说明：

测量值的分散是输出电压的随机变化和测量仪表读数随机起伏的综合反映。

3.2用发光强度标准灯校准光照度计的示值

3.2.1校准方法

如图（2.1）所示，将光强标准灯和照度计的光度探测器安置在测光导轨上，并调整好它们的状态，设定两者之间的距离为l。

则标准灯在接收面上产生的标准照度值为

ES＝I/l2（2.1）

式中，I为标准灯的发光强度，I＝268.8cd，l＝1.600m，故有：

ES＝268.8cd/（1.600m）2＝105.0lx（2.2）

由照度计测得的照度示值为Et

图2.1发光强度标准灯校准光照度计示意图

3.2.2数学模型

如上所述，校准的数学模型可以表示为

∆E=EI

t-Es=Et-

l2

式中，△E为照度计的示值误差。

3.2.3输入量的标准不确定度评定

（1）由△E分别对Et，I和l求偏导数，即得相应的灵敏系数

c∂（∆E）

⎫1=

∂E=1⎪t

⎪

c=∂（∆E）1∂I=-⎪⎪2l2⎬

c∂（∆E）⎪2I⎪3=∂l=l3⎪

⎪

⎭由此可得：

（2.3）

（2.4）

⎫

u1=c1u（Et）=u（Et）⎪

⎪1⎪

u2=c2u（I）=2u（I）⎬

l⎪2I⎪

u3=c3u（l）=3u（l）⎪

l⎭

（2.5）

（2）Et为照度计10次测量所得示值Eti的平均值，即Et＝ΣEti/10。

故用A类

方法评定其标准不确定度。

10次测量值及相关计算列于表示2.1

表2.1测量数据一览表

根据贝塞尔公式，计算得实验标准差s（Eti）为

s（Eti）=

sE=

lx=0.32lx（2.6）

则平均值的实验标准差s（Et）为

s（Et）=

=

lx=0.10lx

（2.7）

因此，A类方法评定的标准不确定度为

u1＝s（Et）＝0.10lx（2.8）

其自由度为

v＝n－1＝9

u1反映了各种随机因素，如标准灯供电的随机起伏引起发光的随机起伏，灯丝本身的分子热运动产生的发光起伏，空气绕动使接收面上的照度发生随机起伏，可能出现的微小震动使接收面和灯丝面在平衡位置附近摆也使接收面上的的照度产生随机起伏，以及若干没有认识到的随机因素影响的综合作用，使得接收面上的照度不是恒定的，因而照度测量值不重复。

此外，照度计本身在各种随机因素影响下，其响应度也不是恒定不变的，也是测量值不重复性的原因。

上面用统计方法求得的标准差或标准不确定度正是测量值不重复性的一个评定，它表征测量值的分散性。

（3）I的不确定度有两部分，均用B类方法评定其标准不确定度

a）检定证书上给出的光强值的扩展不确定度为1.0%，并注明包含因子k＝3（近似服从正态分布）。

由此可得光强值的相对标准不确定度为

0.01

ur（Ii）==0.33%

3故

u（Ii）=268.8cd⨯0.00330.89cd

（2.10）

所求得的u（I1）本身的相对标准不确定度估计为25%，它大致相应于正态

分布9次观测值的平均值的标准差的相对标准差。

在确定标准灯光强值时，观测次数一般不少于9次，在没有更准确的资料时，就取

∆u（Ii）

=0.25uIi故相应的自由度为

-2

（2.11）

1⎡∆u（Ii）⎤

v（Ii）=⎢⎥=8

2⎣uIi⎦

I1的不确定度对△E的不确定度贡献为

u2I1=

（2.12）

u（Ii）0.89cd

==0.35lx22

l（1.600m）

（2.13）

b）供给标准灯的电流在数值上与检定时供给的电流完全一样。

由于电测系统的不确定度，在这两种情况下，供给灯的实际电流，一般说来不会完全相同。

估计两者的最大差异可达0.03%，即电测系统的扩展不确定度为0.015%，置信水准为1。

两者的差别从0到0.03%都以等概率出现，认为服从均匀分布，则电流值的相对标准不确定度为

ur（

i）=

=0.0087%（2.14）

由经验公式知道

dIdi=6Ii

故，由于灯电流的不确定度引起光强的相对标准不确定度为

（2.15）

ur（I2）=6⨯0.0087%0.052%则

u（I2）=268.8cd⨯0.000520.14cd

（2.16）

因而对△E的不确定度的贡献为

u2I2=

0.14cd

（1.600m）

2

=

0.14cd

0.055lx2

2.56m

（2.17）

由于电流的置信限是准确知道的，可以认为求得的u2I2是准确的，故

v（I2）→∞

如果标准灯工作和检定时使用同一电测系统，则这一项不确定度分量就不

予考虑。

（4）测量距离l的标准不确定度也用B类方法评定

根据对导轨长度标尺的校准和接收面，灯丝平面的调整资料，可以判定l值可能变动的范围不会超过±1mm，而且出现在区间中心的概率比出现在两端的概率要大得多，可以看作服从三角分布。

因而测量l的标准不确定度为

u（

l）=

=0.41mm

（2.18）

对照度计示值误差标准不确定度的贡献为：

u3=

2⨯268.8cd

（1.600m）

3

⨯0.41⨯10-3m=0.054lx（2.19）

同样，可以认为u（l）是准确的，故

v（I）→∞

（5）合成标准不确定度

综上所述，将各不确定度分量和相关信息列于表2.2

表2.2标准不确定度分量一览表

各不确定度分量彼此无关，故合成标准不确定度uc为：

uc=lx

=lx=0.37lx

（2.20）

有效自由度为：

veff

uc40.354==4

ui0.140.3340.05240.0514

∑v9+8+∞+∞

i=10.07≈10

（2.21）

（6）扩展不确定度和校准结果报告

取置信水准为0.95，由t分布表示查得自由度为10对应的包含因子为t95

（10）＝2.23，故△E的扩展不确定度为

U95＝0.37lx×2.23＝0.83lx（2.22）

因而校准结果报告为：

示值误差△E＝99.51lx―105.00lx＝―5.49lx（2.23）uc＝0.37lx

或U95＝0.83lx修正值为（2.24）

说明：

在评定不确定度时，为了简化，对一些次要因素如杂散光、工作面不垂直测量轴线等没有考虑，在实际工作中，应根据具体情况，分别处理。

veff＝10－△E＝5.49lx