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波导理论
《半导体激光模式理论》习题作业及其解答
（C.Z.Guo,LT-II-Ex.doc,20Sept.2006）
习题作业一
Ex.1-1（a）分别对平面波的八个特点进行解析证明（20%）。
（b）何谓三层平板波导及其电磁模型？
何谓导波模式、辐射模式，衬底模式、空气模式、馈入模式、及其各自的特点（15%）？
（c）精确而详尽地比较平面波和导波模式的异同（15%）。
[解答]（a）平面波的波函数为：
（1.1-11g）
（1.1-11h）
由：
（1.1-11f,d,e）
（i）,（ii）,（iii）,（viii）是对于光频电极化过程的阻尼系数g足够大的各向同性均匀介质才成立。
[注]在郭长志的《半导体激光模式理论》第一章§3.2中对此有详细讨论如下：
§3.2介质极化及其色散的电子论
介质的电极化过程及其频率关系的微观理论应该建立在全量子理论（Fullquantumtheory）（即对原子系统和电磁辐射都作量子化处理）的基础上，但是洛伦兹（Lorentz）电子论可以提供一个比较形象而且近似正确的全经典模型（Fullclassicaltheory）（即对原子系统和电磁辐射都作经典的处理）。
也就是说，在线性光学范畴内，可以认为介质中的每个电子都是由简谐恢复力（Harmonicrestoringforce）me02r维持在其平衡位置上，me是电子的质量或有效质量，0为其本征圆频率。
在与电磁辐射相互作用的过程中，每个电子在电磁辐射中的电场E作用下，按牛顿运动方程运动：
（1.3-3a）
其中2medr/dt是与其它原子碰撞造成的阻尼力（Dampingforce）。
由于原子的大小或电子运动范围比所涉电磁波的波长小得多，由（1.2-2）得：
（1.3-3b）
其中E0为常量。
因而（1.3-3a）简化为二阶常系数微分方程：
（1.3-3c）
它的解为：
（1.3-3d）
设属于相同的原子结构层次而具有相同的恢复力的电子浓度为n，由（1.3-3b），其电极化强度矢量为：
（1.3-3e）
由（1.3-3e），其电位移矢量为：
（1.3-3f）
由（1.1-5b）,（1.1-6a）,（1.1-11e）和（1.3-3f），求出：
（1.3-3g）
（1.3-3h）
（1.3-3i）
其中：
（1.3-3j）
为这些电子在真空介质中的等离子体振荡圆频率（Plasmaoscillationfrequency）。
对于0=0.9po和不同的阻尼系数（Dampingcoefficient），（1.3-3h,i）各如图1.3-2（a）,（b）所示。
（1.3-3i）表示的频率分布，即所谓洛伦兹线型（Lorentzianlineshape），它在=0处出现峰值：
（1.3-3k）
在0附近，（1.3-3i）近似为：
（1.3-3l）
根据（1.3-3k,l）写出决定半峰值圆频率1/2的方程：
（1.3-3m）
或：
®
求出：
（1.3-3n）
可见，阻尼系数就是介质的复电容率的虚部对0的半峰值圆频率的半宽。
而且，由图1.3-2（b）可见，只要在几个之外，|i（）/0|已小得可以忽略，这时：
（1.3-3p）
也就是说，这个频率范围的电磁辐射在这种介质中将不被吸收，即这种介质对这个频率范围的电磁辐射是透明的。
但是，在0附近就有明显的吸收，因而0就是电子系统的共振圆频率（Resonancefrequency）。
在=0处，电磁辐射中的电场将强烈地激发电振子而损耗掉其电磁辐射能量。
对任何g¹0，由（1.3-3h），有：
（1.3-3q）
故图1.3-2（a）中所有的色散曲线都将经过（1,0）点，而在0左右大约处各有一个极大值和极小值，均称为转折点（Turningpoint）。
在这两个转折点之外，r（）/0随的增大而增大，是正常色散（Normaldispersion）区。
在这两个转折点之间，r（）/0随的增大而增小，是反常色散（Anormalousdispersion）区。
在反常色散区内，0右边的r（）/0<1。
而且，如果足够小，r（）/0还可能是负值。
这时，介质将不能传播电磁波，故把r（）/0<0的频率范围称为截止频带（Stopband）。
根据（1.3-3h），r（）/0=0的频率00可由：
（1.3-3r）
或：
（1.3-3s）
求出。
当=0时，（1.3-3s）右边为零，故：
（1.3-3t）
和：
（1.3-3u）
如果用单位矢量a表征电磁波的偏振方向，用单位矢量w表征电磁波的传播方向，即：
（1.3-4a）
则（1.3-1i）中的E（）可写成：
（1.3-4b）
把（1.3-4b）代入（1.1-7c）中，得：
（1.3-4c）
由w×（1.3-4b），得：
（1.3-4d）
由a×（1.3-4b），得：
（1.3-4e）
如果
，则由（1.3-4d）得：
，表明电磁波为横波。
这时，由（1.3-4e）得：
（1.3-4f）
但如果
，则由（1.3-4e）得：
（1.3-4g）
因而：
（1.3-4h）
电磁波有纵向分量。
故在截止频带的两端，例如=0时的0和L处，电磁波为纵波。
随着的增大，截止频带变窄，其两端使r（）=0的圆频率互相靠近，由（1.3-3s），当：
（1.3-4i）
时，这两频率重合为：
（1.3-4j）
这时截止频带宽度为零。
如果
，则不存在使r（）=0的圆频率，则不可能存在纵向电磁波，更不存在截止频带。
如果有不同原子、或在原子中有不同层次。
或不同能带的电子，则介质中将有一个以上的本征圆频率。
对此，（1.3-3g）可以推广为：
（1.3-4k）
（1.3-4l）
其中：
（1.3-4m）
（1.3-4n）
pj是第j种电子在介质e中的等离子体振荡圆频率；是别的原子、别的层次或其它能带的电子对电容率的贡献，正如上述，它应为实数，而且对于j，它近似为常数。
其中fl为具有本征频率l的电子的振子强度。
如果对原子系统做量子力学处理，则将得出克喇末-海森堡（KramersHeisenberg）公式：
（1.3-4p）
lj和flj各为l态和j态之间的能量差和跃迁强度：
（1.3-4q）
其中：
为电偶极矩矩阵元（Electricdipolemomentmatrixelement）。
可见，经典公式（1.3-4k）与量子力学公式（1.3-4p）在形式上很相近。
（iv）,（v）由于其波函数只与z有关，与x,y无关。
（vi）,（vii）当=2i=0时，
，故E,H同位相，且不衰减。
否则如（1.1-11g,h）所示，E,H将不同位相，且将随的正或负而增加或减小。
表Ex.1.1-c平面波和导波模式的比较
#
平面波
折射率波导导波模式
i
能以任何频率传播。
只能由波导确定的分立而个数有限的频率传播。
ii
是横波。
在平板波导中不可能有横波模
式，圆柱形可能有横波（TEM）
iii
任何取向的固定线偏振。
有平行界面线偏振的TE模式，
和垂直界面线偏振的TM模式。
iv
垂直传播z方向的平面中场量与x,y无关。
在平板波导中垂直传播z方向
的平面中的场量与x有关。
v
垂直传播z方向的等相面为垂直z的平面
垂直传播z方向的等相面为垂
直y-z平面的近似抛物形柱面。
vi
E,H同相与否由a是否为0确定。
E,H不同相。
vii
a<，=，>0时，振幅衰减，不变，增加。
a<，=，>0时，振幅衰减，
不变，增加。
viii
能流方向不受限制，且与传播方向一致。
只在a=0时，能流和传播方向
皆与波导轴z一致。
（b）三层平板波导是由三层不同无限宽平行板均匀材料组成。
电磁模型是其各层光学性质及其厚度的定量描述。
导波模式是在无限远处光场为零的模式，其波函数由芯层简谐函数和上下限制层的向外衰减的指数函数连接而成，其模式阶数阶数越低模式折射率越高，如以模式折射率最高的阶数最低，取其为0，则阶数等于峰值个数加1。
辐射模式是在无限远处光场不为零的模式，
其波函数由芯层简谐
函数和上下限制层的
简谐函数连接而成，
如光场不为零的方向，
指向衬底则称为衬底
模式，指向空气则称
为空气模式。
馈入模
式是在无限远处光场
为无穷大的模式，其
波函数由芯层指数函
数和上下限制层的向
外增长的指数函数连
接而成。
（c）见表Ex.1.1-c。
Ex.1-2（a）证明“如果在界面上没有面电荷和面电流分布，则光频情况下，电力线通过界面时总有所偏折，而磁力线通过界面时则不偏折”（20%）。
（b）证明在波导中各个界面的边界条件：
“TE模的切向分量Ey、Hz必须连续”等价于“Ey、dEy/dx或Hz、dHz/dx必须连续”；“TM模的切向分量Ez、Hy必须连续”等价于“Ez、dEz/dx或Hy、dHy/dx必须连续”（20%）。
（c）证明导波模式场在芯层的分布可以写成如下的三种等价形式（10%）：
（Ex.1.2-c）
[解答]（a）当rs=0，js=0时，（1.1-3a,b,c,d）简化为：
（Ex.1.2-a1）
表明磁力线在界面是连续不拐折的：
（Ex.1.2-a2）
而电力线在界面是不连续有拐折的：
（Ex.1.2-a3）
（b）由（2.1-2b）和（2.1-2d），分别得出：
（Ex.1.2-b1）
（Ex.1.2-b2）
（Ex.1.2-b3）
（c）
（Ex.1.2-c1）
其中：
（Ex.1.2-c2）
（Ex.1.2-c3）
（Ex.1.2-c4）
（Ex.1.2-c5）
习题作业二
Ex.2.1（a）设AlxGa1-xAs=（AlAs）x（GaAs）1-x三层平板波导芯层厚度为d=1mm，和各层Al克分子比x分别为：
x1,2,3=0.3,0,0.3。
其相应折射率为：
=3.590-0.710x+0.091x2。
禁带宽度为Eg（x）=1.424+1.247x[eV]，其相应的波长0（x）=1.24/Eg（x）。
求出可能存在的所有TE和TM模式的,,z,j,和模式折射率，并画出其相应的模式光强分布（50%）。
（b）得出的数值结果分别与由图2.6（b,c）,（2.1-9i）或（2.1-9m）,和（2.1-10h）所能得出的结果进行比较（20%）。
[解答]（a）由不同精确公式得出一致结果，但（2.1-10h）用
，得出结果约偏大0.3%
（2.1-8l）
（2.1-8m）
（2.1-9m）
（2.1-10h）
表Ex.2.1-a三层平板波导由不同计算公式得出的导波模式本征值比较
TE
d=1mm，V=8.628，mct（d）=2.745，dc0=0（基模不截止），dc1=0.364mm，dc2=0.729mm。
m
Nm
f,rad
k×10-4/cm
g×10-4/cm
bz×10-4/cm
Gm
Dk,%
计算公式
0
3.57266
0
2.54297
8.24082
25.7786
.98302
2.1-8r,9c,m
（b=.913）
2.55012
0.2812
2.1-10h
1
3.52149
1.571
5.03604
7.00115
25.4095
.92424
2.1-8r,9c,m
（b=.659）
5.05213
0.3195
2.1-10h
2
3.44144
3.142
7.37472
4.47865
24.8318
.77447
2.1-8r,9c,m
（b=.269）
7.40627
0.4278
2.1-10h
TM
d=1mm，V=8.628，mct（d）=2.745，dc0=0（基模不截止），dc1=0.364mm，dc2=0.729mm。
0
3.57194
0
2.5949
8.2287
25.7734
.98367
2.1-8r,9c,m
（b=.909）
2.60139
0.2501
2.1-10h
1
3.51911
1.571
5.1222
6.9432
25.3923
.92366
2.1-8r,9c,m
（b=.647）
5.13756
0.3001
2.1-10h
2
3.43844
3.142
7.4472
4.35702
24.8101
.75715
2.1-8r,9c,m
（b=.255）
7.48076
0.5406
2.1-10h
（b）见表Ex.2.1-a。
Ex.2.2（a）求出上述波导结构中可能存在的TE和TM的模数（15%）。
（b）如果上述波导结构的材料不变,而要求其中只存在基模（m=0）,则其芯层厚度d=?
这时何阶模式必须被截止?
其基模是否可被截止?
如果上下限制层的x不同呢？
如果芯层的x2>x1,x3呢?
将有何模式（15%）?
[解答]（a）由表Ex.2.1-a，可能存在的TE和TM的模数皆为3个。
（b）如要求只存在基模，则应截止1阶模，芯层厚度应为d=dc1=0.3643mm；不对称波导的基模可截止，对称波导则否；如x2>x1,x3，则芯层折射率将比限制层小，可能有馈入模式。
习题作业三
Ex.3.1（a）给定xAl,1=xAl,3=0.3，xAl,2=0,Eg=1.424eV[Ex.2.1（a）]，计算复折射率对称三层平板波导各阶导波模式的归一化截止厚度D与波导机制或相对增益差的关系（图2.9），并总结其规律性（40%）。
（b）全面分析可能出现基模截止的波导结构条件（10%）。
[解答]（a）先对m=0分别计算=±0（纯折射率正/反波导），±0.2，±0.5，±1，±20，±50，±100（纯增益正/反波导）时的截止条件：
（2.1-11o）
其中：
（2.1-11k）
（2.1-11l）
随d的变化[图2.9（e）]，从而画出tan-1随
的变化曲线[图2.9（g）]，即基模在各种波导机制的的截止曲线。
然后在类此计算并画出其它模阶m=1,2,...的截止曲线。
图2.9（g）
图2.9（e）
（b）折射率和增益的正波导的基模都不可能被截止，但只要有反波导，不管是折射率和增益的反波导都可能被截止[图2.9（g）]。
Ex.3.2（a）对同上材料,计算纯折射率三层平板波导不同aE的TE和aE=1的TM导波基横（m=0）模式的归一化等效厚度VE、VM与归一化实际厚度V3的关系（图2.10）（40%）,并总结其规律性。
（b）对于导波模式能否认为等效厚度是芯层材料的延伸?
请提出有说服力的论证（10%）。
[解答]（a）对不同的d，分别求解不同aE的TE和aE=1的TM基模（m=0）的本征方程，得出相应的1=3随d的变化，并分别画出VE3和VM3随V3的变化曲线[图2.10（a）,（b）]。
对于TE模式：
（2.1-15p）
对于TM模式：
（2.1-15q）
其中：
（2.1-15o）
可见：
芯层厚度比较厚时，等效厚度与实际厚度的归一化值具有相同的斜率，各阶只相差各自的一个截距。
芯层厚度比较薄时，等效厚度将随实际厚度的减小而迅速增加。
对称性越差（aE越大），这现象越在更厚处发生而且增加得更快。
TM也具有和TE相似的现象。
图2.10（a）
图2.10（b）
（b）虽然导波模式在上下限制层的“渗透深度”j和TM导波模式的qj参数：
不但分别与上下限制层的的折射率有关，而且z更与三层折射率都有关系，因此，从等效厚度公式看是三层折射率的综合结果。
但从群速公式看则似乎是芯层的延伸，表明实际上整个导波模式是以同一个群速前进，虽然其模式光场有一部分渗透到上下限制层内但并无任何流失或拖滞而是与芯层模式光场一起前进的。
从光线看，由于在界面上的反射光线与入射光线出现一个古斯-汉森线移和时延，表明实际上在界面上并未发生折射，而是延伸到上下限制层内一定深处才发生“全反射”。
光线既然无任何折射的继续延伸，可以认为这延伸过程并未遇到任何折射率差，因此，可以认为这时芯层似乎被扩大或延伸了。
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