故单调减区间为(-3,0)和(0,3).
7.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
答案 a>2或a<-1
解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],
∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).
令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.
∵函数f(x)有极大值和极小值,
∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.
即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1.
8.设函数f(x)=x3-
-2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,
)
解析 f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,
解得x=1或x=-
,
又f
(1)=
,f(-
)=
,f(-1)=
,f
(2)=7,
故f(x)min=
,∴a<
.
三、解答题
9.已知函数f(x)=
+lnx.求函数f(x)的极值和单调区间.
解 因为f′(x)=-
+
=
,
令f′(x)=0,得x=1,又f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以x=1时,f(x)的极小值为1.
f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
10.已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调递减,求实数a的取值范围.
解
(1)F(x)=f(x)+2=x2+bsinx-2+2=x2+bsinx,
依题意,对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0.
即x2+bsinx-(-x)2-bsin(-x)=0,
即2bsinx=0,所以b=0,所以f(x)=x2-2.
(2)∵g(x)=x2-2+2(x+1)+alnx,
∴g(x)=x2+2x+alnx,
g′(x)=2x+2+
.
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减,∴在区间(0,1)内,
g′(x)=2x+2+
=
≤0恒成立,
∴a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.
∵-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减,∴a≤-4为所求.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟,满分:
43分)
1.已知f(x)是可导的函数,且f′(x)A.f
(1)e2014f(0)
B.f
(1)>ef(0),f(2014)>e2014f(0)
C.f
(1)>ef(0),f(2014)D.f
(1)答案 D
解析 令g(x)=
,
则g′(x)=(
)′=
=
<0,
所以函数g(x)=
是单调减函数,
所以g
(1)即
<
,
<
,
故f
(1)2.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x
+x
等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由图象可得f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,
又∵x1、x2是f′(x)=3x2-2x-2=0的两根,
∴x1+x2=
,x1x2=-
,
故x
+x
=(x1+x2)2-2x1x2=(
)2+2×
=
.
3.已知函数f(x)=-
x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
答案 (0,1)∪(2,3)
解析 由题意知f′(x)=-x+4-
=
=-
,
由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,
函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,
由t<14.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
解
(1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4
=ex(ax+a+b)-2x-4
∵y=f(x)在(0,f(0))处的切