1、一轮复习材料导数部分一轮复习材料精品教案-导数部分-(有详细答案)3.2导数与函数的单调性、极值、最值1 函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x);求方程f(x)0的根;检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(
2、2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件 ()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 ()(3)函数的极大值不一定比极小值大 ()(4)对可导函
3、数f(x),f(x0)0是x0点为极值点的充要条件 ()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值 ()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点 ()2 函数f(x)x22ln x的单调减区间是 ()A(0,1) B(1,)C(,1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x0)当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数3 (2013浙江)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),则 ()A当k1时,f(x)在x1处取到极小值B当k1时,f(x)在x1处取到极大值C当k2时,f(x)在x1处取到极小值D当k2时,f(x)在x1处取到极大值
4、答案C解析当k1时,f(x)exx1,f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时,f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0,且x在1的左边附近f(x)0,f(x)在x1处取到极小值故选C.4 函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1,)C(,1) D(,)答案B解析设m(x)f(x)(2x4),m(x)f(x)20,m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0,m(x)0的解集为x|x1,即f(x)2x4的解集为(1,)5 函数f(x)x3ax2在(1,)上是增函数,则实数a的取值范围是_答案3,)解析f(x)3
5、x2a,f(x)在区间(1,)上是增函数,则f(x)3x2a0在(1,)上恒成立,即a3x2在(1,)上恒成立a3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)是否存在a,使f(x)在(2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论解f(x)exa,(1)若a0,则f(x)exa0,即f(x)在R上单调递增,若a0,exa0,exa,xln a.因此当a0时,f(x)的单调增区间为R,当a0时,f(x)的单调增区间是ln a,)(2)f(x)exa0在(2,3)上
6、恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3,e2exe3,只需ae3.当ae3时,f(x)exe3在x(2,3)上,f(x)1,则f(x)的单调减区间为_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a),由a1知,当x0,故f(x)在区间(,2)上是增函数;当2x2a时,f(x)2a时,f(x)0,故f(x)在区间(2a,)上是增函数综上,当a1时,f(x)在区间(,2)和(2a,)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数(2)若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数,则b的取值范围是_答案(,1解析转化为f(x)x0在1,)上恒成立,即bx(x2)在1,)上恒成立,
7、令g(x)x(x2)(x1)21,所以g(x)min1,则b的取值范围是(,1题型二利用导数求函数的极值例2设a0,函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2,f(2)处与直线yx1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值思维启迪(1)通过f(2)的值确定a;(2)解f(x)0,然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值解(1)由已知,得x0,f(x)x(a1),yf(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)1,即2(a1)1,所以a0,此时f(2)220,故所求的切线方程为yx2.(2)f(x)x(a1).当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),f
8、(x)0,函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点,x1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a,极小值是f(1).当a1时,f(x)0,所以函数f(x)在定义域(0,)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值当a1时,若x(0,1),f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),f(x)0,函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点,xa是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1),极小值是f(a)a2aln a.综上,当0a1时,f(x)的极大值是,极小值是a2aln a.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导
9、函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值设f(x),其中a为正实数(1)当a时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时,若f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.结合,可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点,x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax22ax10在R上恒成立,即4a24a4a(a1)0,由此并结合a0
10、,知0a1.所以a的取值范围为a|00),g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a3,b9时,若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围思维启迪(1)题目条件的转化:f(1)g(1)且f(1)g(1);(2)可以列表观察h(x)在(,2上的变化情况,然后确定k的取值范围解(1)f(x)2ax,g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1)且f(1)g(1),即a11b且2a3b,解得a3,b3.(2)记h(x)f(x)g(x),当
11、a3,b9时,h(x)x33x29x1,所以h(x)3x26x9.令h(x)0,得x13,x21.h(x),h(x)在(,2上的变化情况如下表所示:x(,3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x) 2843由表可知当k3时,函数h(x)在区间k,2上的最大值为28;当3k0,由f(x)0得x,所以f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,)上单调递增所以,x是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1),则g(x)ln x1a,由g(x)0,得xea1,所以,在区间(0,ea1)上,g(x)为递减函数,在区间(ea1,)上,g(x)为递增函数当ea11,即
12、a1时,在区间1,e上,g(x)为递增函数,所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e,即1a2时,g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e,即a2时,在区间1,e上,g(x)为递减函数,所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上,当a1时,g(x)的最小值为0;当1a2时,g(x)的最小值为aea1;当a2时,g(x)的最小值为aeae.利用导数求函数的最值问题典例:(12分)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值思维启迪(1)解方程f(x)0列表求单调区间;(2)根据(1)中表格,讨论k1和区间0,1的关系求最值规范
13、解答解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.2分f(x)与f(x)的情况如下:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,)6分(2)当k10,即k1时,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;8分当0k11,即1k2时,f(x)在0,k1)上单调递减,在(k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1;当k11,即k2时,f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上,当k1时,f(x)在0
14、,1上的最小值为f(0)k;当1k0.故选C.3 设aR,若函数yexax,xR有大于零的极值点,则 ()Aa1Ca Da0时,ex1,aex1.4 设函数f(x)x29ln x在区间a1,a1上单调递减,则实数a的取值范围是()A1a2 Ba4Ca2 D00),当x0时,有00且a13,解得1a2.5 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是 ()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x,令f(x)0,得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数,f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.二、填空题6 函数f(x)x的单调减区间为_答案(3,0),(
15、0,3)解析f(x)1,令f(x)0,解得3x0或0x2或a0,a2或aa,则实数a的取值范围是_答案(,)解析f(x)3x2x2,令f(x)0,得3x2x20,解得x1或x,又f(1),f(),f(1),f(2)7,故f(x)min,a.三、解答题9 已知函数f(x)ln x求函数f(x)的极值和单调区间解因为f(x),令f(x)0,得x1,又f(x)的定义域为(0,),f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)极小值所以x1时,f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1)10已知函数f(x)x2bsin x2(bR)
16、,F(x)f(x)2,且对于任意实数x,恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减,求实数a的取值范围解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x,依题意,对任意实数x,恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0,即2bsin x0,所以b0,所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x,g(x)x22xaln x,g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减,在区间(0,1)内,g(x)2x20恒成立,a(2x22x)在(0,1)上恒成立(2
17、x22x)在(0,1)上单调递减,a4为所求B组专项能力提升(时间:25分钟,满分:43分)1 已知f(x)是可导的函数,且f(x)f(x)对于xR恒成立,则 ()Af(1)e2 014f(0)Bf(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)Cf(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)Df(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)答案D解析令g(x),则g(x)()0,所以函数g(x)是单调减函数,所以g(1)g(0),g(2 014)g(0),即, ,故f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)2 如图是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象
18、,则xx等于 ()A. B. C. D. 答案C解析由图象可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x,又x1、x2是f(x)3x22x20的两根,x1x2,x1x2,故xx(x1x2)22x1x2()22.3 已知函数f(x)x24x3ln x在t,t1上不单调,则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4,由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数f(x)在区间t,t1上就不单调,由t1t1或t3t1,得0t1或2t3.4 (2013课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4yf(x)在(0,f(0)处的切
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