一轮复习材料导数部分.docx

1、一轮复习材料导数部分一轮复习材料精品教案-导数部分-（有详细答案）3.2导数与函数的单调性、极值、最值1 函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(

2、2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件 ()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 ()(3)函数的极大值不一定比极小值大 ()(4)对可导函

3、数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件 ()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点 ()2 函数f(x)x22ln x的单调减区间是 ()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x0)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数3 (2013浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则 ()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值

4、答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.4 函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，)5 函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3

5、x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上单调递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上

6、恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)1，则f(x)的单调减区间为_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2x2a时，f(x)2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_答案(，1解析转化为f(x)x0在1，)上恒成立，即bx(x2)在1，)上恒成立，

7、令g(x)x(x2)(x1)21，所以g(x)min1，则b的取值范围是(，1题型二利用导数求函数的极值例2设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2，f(2)处与直线yx1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值思维启迪(1)通过f(2)的值确定a；(2)解f(x)0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值解(1)由已知，得x0，f(x)x(a1)，yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2.(2)f(x)x(a1).当0a0，函数f(x)单调递增；若x(a,1)，f

8、(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a，极小值是f(1).当a1时，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0,1)，f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a.综上，当0a1时，f(x)的极大值是，极小值是a2aln a.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导

9、函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0

10、，知0a1.所以a的取值范围为a|00)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)g(1)且f(1)g(1)；(2)可以列表观察h(x)在(，2上的变化情况，然后确定k的取值范围解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当

11、a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x) 2843由表可知当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为28；当3k0，由f(x)0得x，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增所以，x是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即

12、a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为aea1；当a2时，g(x)的最小值为aeae.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值思维启迪(1)解方程f(x)0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k1和区间0,1的关系求最值规范

13、解答解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)6分(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；8分当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上，当k1时，f(x)在0

14、,1上的最小值为f(0)k；当1k0.故选C.3 设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则 ()Aa1Ca Da0时，ex1，aex1.4 设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2 Ba4Ca2 D00)，当x0时，有00且a13，解得1a2.5 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是 ()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.二、填空题6 函数f(x)x的单调减区间为_答案(3,0)，(

15、0,3)解析f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x2或a0，a2或aa，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a.三、解答题9 已知函数f(x)ln x求函数f(x)的极值和单调区间解因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)10已知函数f(x)x2bsin x2(bR)

16、，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立(2

17、x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1 已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则 ()Af(1)e2 014f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Cf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Df(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)答案D解析令g(x)，则g(x)()0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2 014)g(0)，即， ，故f(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)2 如图是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象

18、，则xx等于 ()A. B. C. D. 答案C解析由图象可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2是f(x)3x22x20的两根，x1x2，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2()22.3 已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.4 (2013课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4yf(x)在(0，f(0)处的切