几何空间选论第三讲 射影几何与射影空间.docx
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几何空间选论第三讲射影几何与射影空间
第三讲射影几何与射影空间
一、射影几何的起源与确立
射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几何学分支。
射影几何也叫投影几何学，通过它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。
射影几何的某些内容在公元前就已经出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
但射影几何直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
1.达·芬奇（1452—1519）
射影几何的最早起源是绘画。
达·芬奇是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、建筑和军事工程师。
他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。
在《绘画专论》一书中，他对透视法作了详尽的论述。
他的代表作《最后的晚餐》是基督教传说中最重要的故事。
这幅画就是严格采用透视法的。
在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了化圆为方的难题，另外他还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图，四面体的重心等。
此外，达·芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。
达·芬奇在生理解剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近代生理解剖学的始祖。
他绘制了比较详细的人体解剖图。
在建筑方面，达·芬奇也表现出了卓越的才华。
他设计过桥梁、教堂、城市街道和城市建筑。
达·芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。
他发明了簧轮枪、子母弹、三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞机和旋转浮桥等。
看过《达·芬奇密码》的人大概都知道达·芬奇密码筒。
达·芬奇设计的这种密码筒造型古典，内涵着文艺复兴特质，设计优雅。
要打开密码筒，必须解开一个5位数的密码，密码筒上有5个转盘，每个转盘上都有26个字母，可能作为密码的排列组合多达11881376种。
达·芬奇长达1万多页的手稿（现存约6000多页）至今仍在影响着科学研究。
达·芬奇被誉为“艺术家中的科学家，科学家中的艺术家”。
2.笛沙格（1591---1661）
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。
在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。
稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格（或译作德萨格）和布莱士·帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。
笛沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限。
最著名的是用他的名字命名的笛沙格定理：
“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，这是射影几何的基本定理。
笛沙格还发现了“交比”这一射影几何的基本不变量。
3.帕斯卡（1623---1662）
帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：
“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。
”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。
1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。
不过笛沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质（长度、角度、面积）。
但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系---射影几何。
他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。
4.彭赛列特（1778---1867）
射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列特。
他是画法几何的创始人蒙日的学生。
1822年，彭赛列特发表了射影几何的第一部系统著作《论图形的射影性质》，使射影几何在理论上更加完善，内容更加系统。
他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一位数学家。
他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。
5.莫比乌斯（1790---1868）
运用解析法来研究射影几何也有长足进展。
首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。
另外莫比乌斯还发现了著名的“莫比乌斯带”，它是将一个长方形纸条扭转180度然后把两端对接在一起做成的。
它的特点是：
只有一条封闭曲线作为边界线，并且曲面是单侧的。
它可以作为射影平面模型的一部分。
6．射影几何演绎体系的建立.
在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。
还有一些人，如彭赛列特，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。
他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接而简洁。
1882年帕施建成第一个严格的射影几何演
绎体系。
二、变换群与几何学
1.变换群
射影几何学的发展和其它数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，并对射影几何的研究起了促进作用。
在平面上，由所有射影变换构成的群称为射影变换群，类似地还可以建立仿射变换群和正交变换群。
这些变换均可写出它们的代数表达式。
例如射影变换：
2.爱尔朗根纲领
把各种几何和变换群相联系的是德国数学家F•克莱因（1849---1925），1872年他在爱尔朗根大学的一次演讲中提出了用变换群对几何学进行分类的观点，就是任何一种变换，若它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下图形所保持的不变性和不变量。
这个观点后来被成为爱尔朗根纲领。
根据爱尔朗根纲领，欧氏几何、仿射几何都是射影几何的子几何，于是使这些几何之间的关系变得十分明朗。
3.射影几何的定义
按照克莱因观点，可以得到射影几何的定义，即：
由射影变换群下图形所保持的不变性与不变量构成的命题系统称为射影几何。
射影几何成立的平面是射影平面，射影几何成立的空间是射影空间。
4.爱尔朗根纲领的影响
爱尔朗根纲领对19世纪的数学产生了巨大影响，它不但统一了几何学，而且促进了一些新几何学的产生。
它们是：
代数几何，保形几何，拓扑学等。
但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。
后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。
三、射影几何的内容
概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
欧氏直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就不存在了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心射影了。
射影变换有两个重要的性质：
首先，射影变换使点列变为点列，线束变为线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，在射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中的重要概念，用它可以说明两条直线点之间的射影对应。
在平面射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形是一对对偶图形。
在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线的结合与顺序关系，可把命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个命题。
这两个命题是一对对偶命题。
在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象（如简比、平行性等）和射影几何学的对象（如四点的交比等），反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
四、射影空间模型
射影直线可以看作是封闭的，因此欧氏平面上的圆可作为射影直线的模型。
射影平面也是封闭的，将一个半球面的边缘与莫比乌斯带的边缘完好的衔接起来，则构成一个不带边缘的封闭曲面，这个曲面就可作为射影平面的模型。
射影平面仍保持莫比乌斯带的不分侧的性质，所以射影平面是不可定向的，而普通欧氏平面是可定向的。
五、射影几何公理系统
基本对象：
点、直线
基本关系：
（1）结合关系：
点在直线上（或直线过点）；
（2）顺序关系：
点对A，B分隔点对C，D和点对A，B不分隔点对C，D。
此外，有三组共12条公理。
第一组：
结合公理共5条；
第二组：
顺序公理共6条；
第三组：
连续公理1条。
建立在以上公理系统上的几何就是平面射影几何。
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