数学小知识.docx

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数学小知识

零

自然数是从表示“有”多少的需要中产生的。

在实践中还常常遇到没有物体的情况。

例如：

盘子里一个苹果也没有。

为了表示“没有”，就产生了一个新的数“零”。

“零”是一个数，记作“0”，“0”是整数，也是最小的自然数。

“0”不仅可以表示“没有”，而且起着很多重要作用的数。

具体作用有：

（1）表示数的某位上没有单位，起到占位的作用。

例如：

103.04，表示十位和十分位上一个单位也没有。

（2）表示某些数量的界限。

例如在数轴上0是正数与负数的界限。

“0”既不是正数，也不是负数。

　（3）表示温度。

在通常情况下水结冰的温度为摄氏“0”度。

说今天的气温为零度，并不是指今天没有温度。

（4）表示起点。

如在刻度尺上，刻度的起点为“0”。

零在四则运算中的特殊性质

（1）任何数与0相加都得原来的数。

例如：

5+0=5，0+32=32。

（2）任何数减去0都得原来的数。

例如：

5-0=5，42-0=42。

（3）相同的两个数相减，差等于0。

例如：

5-5=0，428-428=0。

（4）任何数与0相乘，积等于0。

例如：

5×0=0，0×78=0

（5）0除以任何自然数，商都等于0。

例如：

0÷5=0，0÷345=0。

因此0是任意自然数的倍数。

（6）0不能作除数。

因为任何自然数除以零，都得不到准确的商。

如：

5÷0，找不到一个数与0相乘可以得5。

零除以零时有无数个商，因为任何数与0相乘都能得到0，所以像5÷0、0÷0都无意义。

为什么1不是质数

全体自然数可以分为三类：

（1）只能被“1”和它本身整除的数叫质数，如：

2、3、5、7、11……。

（2）除了“1”和它本身以外，还能被其他数整除的数叫合数，如：

4、6、8、9……。

　　（3）“1”既不是质数也不是合数。

　　有人要问，“1”也只能被1和它本身整除，为什么不能算质数呢？

而且“1”算作质数后，全体自然数分成质数和合数两类，岂不是更简单吗？

　　这要从分解质因数谈起。

比如，1001能被哪些数整除，其实质是将1001分解素因数，由1001=7×11×13，而且只有这一种分解结果，知道1001除了被1和它本身整除以外，还能被7、11、13整除。

若把“1”也算作质数，那么1001分解质因数就会出现下面一些结果：

　　1001=7×11×13

　　1001=1×7×11×13

　　1001=1×1×7×11×13

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　　也就是说，分解式中可随便添上几个因数“1”。

这样做，一方面对求1001的因数毫无必要，另一方面分解质因数结果不唯一，又增添了不必要的麻烦。

因此“1”不算作质数。

运算符号的由来

表示计算方法的符号叫做运算符号。

如四则计算中的+、-、×、÷等。

　　加号“+”是加法符号，表示相加。

　　减号“-”是减法符号，表示相减。

　　“+”与“-”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的。

在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认。

　　乘号“×”是乘法符号，表示相乘。

1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“×”表示相乘。

乘法是表示增加的另一种方法，所以把“+”号斜过来。

另一个乘法符号“?

”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。

　　除号“÷”是除法符号，表示相除。

用这个符号表示除法首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中。

几年以后，该书被译成英文，才逐渐被人们认识和接受。

关系符号

表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符号。

有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。

　　等号：

表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“=”，读作“等于”。

例如：

3+2=5，读作三加二等于五。

第一个使用符号“=”表示相等的是英国数学家雷科德。

　　大于号：

表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，读作“大于”。

例如：

6＞5，读作六大于五。

　　小于号：

表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，读作“小于”。

例如：

5＜6，读作五小于六。

大于号和小于号是英国数学家哈里奥特于17世纪首先使用的。

　　约等号：

表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约等于”。

例如：

π≈3.14，读作π约等于三点一四。

　　不等号：

表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等于”。

例如4+3≠9，读作四加三不等于九。

奇妙的数字“9”

众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。

那么无限小数能否化成分数?

 这要请我们的老朋友――9来帮助解决问题。

首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：

无限循环小数和无限不循环小数。

无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。

那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？

由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。

其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。

所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。

策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！

我们来看两个例子：

⑴ 把0.4747…和0.33…化成分数。

想1：

 0.4747…×100=47.4747…… 

0.4747…×100－0.4747…=47.4747…－0.4747…

（100－1）×0.4747…=47 

即99×0.4747… =47 

那么 0.4747…=47/99 

想2：

 0.33…×10＝3.33… 

0.33…×10－0.33…=3.33…－0.33…

（10-1） ×0.33…=3 

即9×0.33…=3 

那么0.33…=3/9=1/3 

由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：

纯循环小数的循环节有几位，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

⑵把0.4777…和0.325656…化成分数。

想1：

0.4777…×10=4.777…① 

0.4777…×100=47.77…② 

用②－①即得:

0.4777…×90=47－4 

所以, 0.4777…=43/90 

想2：

0.325656…×100=32.5656…① 

0.325656…×10000=3256.56…② 

用②－①即得:

0.325656…×9900=3256.5656…－32.5656…

0.325656…×9900=3256－32 

所以, 0.325656…=3224/9900

由此可见, 混循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：

混循环小数的循环节有几位，分母里就是有几个9,第一个循环节前面有几位小数，分母末尾就有几个零；分子是混循环小数第一个循环节及其前面小数部分所组成的数，减去第一个循环节前面小数部分的差。

能被2和5整除的数

　一个数的末一位数能被2和5整除，这个数就能被2和5整除。

具体地说，个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

个位上是0或是5的数，都能被5整除。

　　例如：

128、64、30的个位分别是8、4、0，这3个数都能被2整除。

　　281、165、79的个位分别是1、5、9，那么这3个数都不能被2整除。

　　在上面的6个数中，30和165的个位分别是0和5，这两个数能被5整除，其他各数均不能被5整除。

能被3和9整除的数

一个数各个数位上的数的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

　　7+4+1+6=18，18能被3整除，也能被9整除，所以7416能被3整除，也能被9整除。

　　再如：

5739各个数位上的数之和是：

　　5+7+3+9=24，24能被3整除，但不能被9整除，所以5739能被3整除，而不能被9整除。

能被4和25整除的数

一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。

具体地说，一个数的末两位数是0，或是4的倍数这个数就是4的倍数，能被4整除。

一个数的末两位数是0或是25的倍数，这个数就是25的倍数，能被25整除。

例如：

324，4200，675，三个数中，324的末两位数是2424是4的倍数，所以324能被4整除。

675的末两位数是7575是25的倍数，所以675能被25整除，4200的末两位数都是0，所以4200既能被4整除，又能被25整除。

能被8和125整除的数

一个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。

具体地说，一个数的末三位数是0或是8的倍数，就能被8整除；一个数的末三位数是0或是125的倍数，就能被125整除。

　　例如：

2168、32000、1875，3个数中，2168的末三位数是168，168是8的倍数，所以2168能被8整除。

1875的末三位数是875，875是125的倍数，所以1875能被125整除。

32000的末三位数都是0，所以32000既能被8整除，又能被125整除。

能被7、11和13

整除的数

一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小），能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。

　　例如：

128114，由于128-114=14，14是7的倍数，所以128114能被7整除。

　　94146，由于146-94=52，52是13的倍数，所以94146能被13整除。

　　64152由于152-64=88，88是11的倍数，所以64152能被11整除。

　　能被11整除的数，还可以用“奇偶位差法”来判定。

一个数奇位上的数之和与偶位上的数之和相减（以大减小），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就能被11整除。

　　例如：

64152，奇位上的数之和是6+1+2=9，偶位上的数之和是4+5=9，9-9=0，判断出64152能被11整除。