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1、数学小知识零 自然数是从表示“有”多少的需要中产生的。在实践中还常常遇到没有物体的情况。例如：盘子里一个苹果也没有。为了表示“没有”，就产生了一个新的数“零”。“零”是一个数，记作“0”，“0”是整数，也是最小的自然数。“0”不仅可以表示“没有”，而且起着很多重要作用的数。具体作用有：（1）表示数的某位上没有单位，起到占位的作用。例如：103.04，表示十位和十分位上一个单位也没有。（2）表示某些数量的界限。例如在数轴上0是正数与负数的界限。“0”既不是正数，也不是负数。 （3）表示温度。在通常情况下水结冰的温度为摄氏“0”度。说今天的气温为零度，并不是指今天没有温度。（4）表示起点。如在刻度

2、尺上，刻度的起点为“0”。零在四则运算中的特殊性质（1）任何数与0相加都得原来的数。例如：5+0=5，0+32=32。 （2）任何数减去0都得原来的数。例如：5-0=5，42-0=42。（3）相同的两个数相减，差等于0。例如：5-5=0，428-428=0。（4）任何数与0相乘，积等于0。例如：50=0，078=0（5）0除以任何自然数，商都等于0。例如：05=0，0345=0。因此0是任意自然数的倍数。（6）0不能作除数。因为任何自然数除以零，都得不到准确的商。如：50，找不到一个数与0相乘可以得5。零除以零时有无数个商，因为任何数与0相乘都能得到0，所以像50、00都无意义。为什么1不是质

3、数 全体自然数可以分为三类：（1）只能被“1”和它本身整除的数叫质数，如：2、3、5、7、11。（2）除了“1”和它本身以外，还能被其他数整除的数叫合数，如：4、6、8、9。（3）“1”既不是质数也不是合数。有人要问，“1”也只能被1和它本身整除，为什么不能算质数呢？而且“1”算作质数后，全体自然数分成质数和合数两类，岂不是更简单吗？这要从分解质因数谈起。比如，1001能被哪些数整除，其实质是将1001分解素因数，由1001=71113，而且只有这一种分解结果，知道1001除了被1和它本身整除以外，还能被7、11、13整除。若把“1”也算作质数，那么1001分解质因数就会出现下面一些结果：10

4、01=711131001=1711131001=1171113也就是说，分解式中可随便添上几个因数“1”。这样做，一方面对求1001的因数毫无必要，另一方面分解质因数结果不唯一，又增添了不必要的麻烦。因此“1”不算作质数。运算符号的由来表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的+、-、等。加号“+”是加法符号，表示相加。减号“-”是减法符号，表示相减。“+”与“-”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作简算与速算一书中首先使用的。在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认。乘号“”是乘法符号，表示相乘

5、。1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“+”号斜过来。另一个乘法符号“?”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。除号“”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，才逐渐被人们认识和接受。关系符号表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符号。有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“=”，读作“等于”。例如：3+2=5，读作三加二等于五。第一个使用符号“=”表示相等的是英国数学家雷科德。大于号：表示一

6、个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“”，读作“大于”。例如：65，读作六大于五。小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“”，读作“小于”。例如：56，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家哈里奥特于17世纪首先使用的。约等号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“”，读作“约等于”。例如：3.14，读作约等于三点一四。不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“”，读作“不等于”。例如4+39，读作四加三不等于九。 奇妙的数字“9” 众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几的数。那么无限小

7、数能否化成分数? 这要请我们的老朋友9来帮助解决问题。首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉

8、了吗！我们来看两个例子： 把0.4747和0.33化成分数。 想1：0.4747100=47.4747 0.47471000.4747 = 47.4747 0.4747 (1001)0.4747= 47 即 990.4747 = 47 那么 0.4747 = 47/99 想2：0.33 103.33 0.33 100.33 = 3.330.33 (10-1)0.33 =3 即 90.33 = 3 那么 0.33 = 3/9 =1/3 由此可见,纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节有几位，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 把0.47

9、77和0.325656化成分数。 想1：0.4777 10=4.777 0.4777100=47.77 用即得: 0.477790=474 所以,0.4777 = 43/90 想2：0.325656 100=32.5656 0.325656 10000=3256.56 用即得: 0.3256569900 = 3256.565632.5656 0.3256569900 = 325632 所以, 0.325656 =3224/9900 由此可见,混循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：混循环小数的循环节有几位，分母里就是有几个9,第一个循环节前面有几位小数，分母末尾就有几个零；分子是混循

10、环小数第一个循环节及其前面小数部分所组成的数，减去第一个循环节前面小数部分的差。 能被2和5整除的数 一个数的末一位数能被2和5整除，这个数就能被2和5整除。具体地说，个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或是5的数，都能被5整除。例如：128、64、30的个位分别是8、4、0，这3个数都能被2整除。281、165、79的个位分别是1、5、9，那么这3个数都不能被2整除。在上面的6个数中，30和165的个位分别是0和5，这两个数能被5整除，其他各数均不能被5整除。能被3和9整除的数一个数各个数位上的数的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。7+4+1+6=18，18能被3

11、整除，也能被9整除，所以7416能被3整除，也能被9整除。再如：5739各个数位上的数之和是：5+7+3+9=24，24能被3整除，但不能被9整除，所以5739能被3整除，而不能被9整除。 能被4和25整除的数一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。具体地说，一个数的末两位数是0，或是4的倍数这个数就是4的倍数，能被4整除。一个数的末两位数是0或是25的倍数，这个数就是25的倍数，能被25整除。例如：324，4200，675，三个数中，324的末两位数是2424是4的倍数，所以324能被4整除。675的末两位数是7575是25的倍数，所以675能被25整除，4200的末两位

12、数都是0，所以4200既能被4整除，又能被25整除。能被8和125整除的数一个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。具体地说，一个数的末三位数是0或是8的倍数，就能被8整除；一个数的末三位数是0或是125的倍数，就能被125整除。例如：2168、32000、1875，3个数中，2168的末三位数是168，168是8的倍数，所以2168能被8整除。1875的末三位数是875，875是125的倍数，所以1875能被125整除。32000的末三位数都是0，所以32000既能被8整除，又能被125整除。能被7、11和13整除的数一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的

13、数的差（以大减小），能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。例如：128114，由于128-114=14，14是7的倍数，所以128114能被7整除。94146，由于146-94=52，52是13的倍数，所以94146能被13整除。64152由于152-64=88，88是11的倍数，所以64152能被11整除。能被11整除的数，还可以用“奇偶位差法”来判定。一个数奇位上的数之和与偶位上的数之和相减（以大减小），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就能被11整除。例如：64152，奇位上的数之和是6+1+2=9，偶位上的数之和是4+5=9，9-9=0，判断出64152能被11整除。