考研数学三试题卷解析超详细版43441.docx

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考研数学三试题卷解析超详细版43441

2016年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）

若limsinx（cosxb）

5，则a=______，b=______.

x0ex

a

（2）

设函数f（u,v）由关系式f[xg（y）,y]=x+g（y）确定，其中函数

g（y）可微，且g（y）

2

f

0，则

.

u

v

xex

2

1

x

（3）

设f（x）

2

1

x

1

2

（4）

二次型f（x1,x2,x3）

（x1

1

2，则

2

f（x1）dx

.

1

2

x2）2

（x2

x3）2

（x3

x1）2

的秩为.

（5）

设随机变量

X

服从参数为

λ

则P{X

DX}_______.

的指数分布,

（6）

设总体

X

服从正态分布

N

（

μσ2

）

总体

Y

服从正态分布N（μ,σ2）,X

X

X

n1

和

Y,Y,

Y

分

1

2

1

2

12

n2

别是来自总体

X和Y的简单随机样本,则

n1

2

n2

2

（Xi

X）

（Yj

Y）

Ei1

j

1

.

n1n22

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）

函数

|x|sin（x

2）

x（x

1）（x

2）2在下列哪个区间内有界.

f（x）

（A）（1,0）.

（B）（0,1）.

（C）（1,2）.

（D）（2,3）.

[

]

1

（8）

设f（x）在（

+

）内有定义，且

lim

f（x）

a，g（x）

f（x）,x

0，则

x

0,x

0

（A）x=0必是g（x）的第一类间断点.

（B）x=0必是g（x）的第二类间断点.

（C）x=0必是g（x）的连续点.

（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[]

（9）设f（x）=|x（1x）|，则

（A）x=0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.

（B）x=0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.

（C）x=0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.

（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[]

（10）设有下列命题：

（1）

若

（u2n

1

u2n）收敛，则

un收敛.

n1

n1

（2）

若

un收敛，则un

1000

收敛.

n

1

n1

（3）

un

1

1，则

un发散.

若lim

n

un

n1

（4）若（un

vn）收敛，则

un，

vn都收敛.

n1

n1

n1

则以上命题中正确的是

（A）

（1）

（2）.

（B）

（2）（3）.

（C）（3）（4）.

（D）

（1）（4）.

[]

（11）设f（x）在[a,b]上连续，且

f（a）

0,f

（b）

0，则下列结论中错误的是

（A）至少存在一点x0（a,b），使得f（x0）>f（a）.

（B）至少存在一点

x0

（a,b），使得f（x0）>f（b）.

（C）至少存在一点

x0

（a,b），使得f（x0）0.

（D）至少存在一点

x0

（a,b），使得f（x0）=0.

[]

（12）设n阶矩阵A与B等价,则必有

（A）当|A|

a（a0）时,|B|

a.

（B）当|A|

a（a

0）

时,|B|

a.

（C）当|A|

0时,|B|

0.

（D）当|A|

0时,

|B|

0.

[

]

（13）设n阶矩阵A的伴随矩阵

A*

0,

若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组

Ax

b的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组

Ax0的基础解系

（A）不存在.

（B）仅含一个非零解向量.

（C）含有两个线性无关的解向量

.

（D）含有三个线性无关的解向量.

[

]

（14）设随机变量X服从正态分布

N（0,1）,对给定的α（0,1）,数uα满足P{X

uα}

α,

若P{|X|x}

α,则x等于

（A）uα.

（B）uα.

（C）

u1α.（D）u1α.

[

]

2

1

2

2

三、解答题（本题共

9小题，满分

94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.）

（15）（本题满分8分）

求lim（

1

cos2x）.

x0

sin2x

x2

（16）（本题满分8分）

求（x2y2y）d，其中D是由圆x2y24和（x1）2y21所围成的

D

平面区域（如图）.

（17）（本题满分8分）

设f（x）,g（x）在[a,b]上连续，且满足

x

x

g（t）dt

[,

）

b

b

f（t）dt

，x

f（t）dt

g（t）dt.

a

a

a

b，

a

a

b

b

证明：

xf（x）dx

xg（x）dx.

a

a

（18）（本题满分9分）

设某商品的需求函数为

Q=100

5P，其中价格P

（0,20），Q为需求量.

（I）

求需求量对价格的弹性

Ed（Ed>0）；

（II）

推导dR

Q（1

Ed）（其中R为收益），并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，

dP

降低价格反而使收益增加.

（19）（本题满分9分）

设级数

x4

x6

x8

（

x）

2

4

2

4

6

2

4

6

8

的和函数为S（x）.求：

（I）S（x）所满足的一阶微分方程；

（II）S（x）的表达式.

（20）（本题满分13分）

设

α1

（1,2,0）

T

α2

（1,α2,

3α）

T

α（1,

b2,α2b）T

β（1,3,3）

T

3

试讨论当

a,b为何值时,

（Ⅰ）

不能由

α1,α2,

α3线性表示;

β

（Ⅱ）

可由

α1

α2,α3

唯一地线性表示

并求出表示式;

β

（Ⅲ）

β

α,α,α

.

可由

线性表示

但表示式不唯一

并求出表示式

1

23

（21）（本题满分13分）

设n阶矩阵

1

b

b

A

b

1

b

.

b

b

1

（Ⅰ）

求A的特征值和特征向量

;

（Ⅱ）

求可逆矩阵P,使得P

1AP为对角矩阵.

（22）（本题满分

13分）

设A，B为两个随机事件,且P（A）

1

P（B|A）

1

1

P（A|B）

令

4

3

2

1,

发生，

1,

发生，

X

A

Y

B

，

不发生，

，

B

不发生

.

0

A

0

求

（Ⅰ）二维随机变量（X,Y）的概率分布;

（Ⅱ）

X与Y的相关系数

ρXY;

（Ⅲ）

Z

X2

Y2的概率分布.

（23）（本题满分13分）

设随机变量X的分布函数为

α

β

1

x

，

F（x,α,β）

x

α

x

，

，

0

α

其中参数α0,β1

.设X1,X2,

Xn为来自总体X的简单随机样本,

（Ⅰ）当α1时,

求未知参数β的矩估计量;

（Ⅱ）当

α1

时,

求未知参数

β

的最大似然估计量;

（Ⅲ）当

β2时,

求未知参数

α的最大似然估计量.

2016年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）

若lim

sinx（cosx

b）5

，则a=

1

，b=

4.

x0ex

a

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.

【详解】因为

sinx

（cos

）

5

，且

limsin

（cos

）

0

，所以

lim

x

b

x

x

a

b

x

0ex

x

0

lim（ex

a）0，得a=1.

极限化为

x0

sinx

（cosx

b）

lim

x

b）

1b

5，得b=

4.

lim

a

（cosx

x0ex

x

0

x

因此，a=1，b=

4.

【评注】一般地，已知

lim

f（x）＝A，

g（x）

（1）若g（x）

0，则f（x）

0；

（2）若f（x）

0，且A

0，则g（x）

0.

（2）

设函数f（u,v）由关系式f[xg（y）,y]=

x+

g（y）确定，其中函数

g（y）可微，且g（y）

0，

2f

g（v）

.

则

g2（v）

u

v

【分析】令

u

=

（），

v

=

，可得到

（

v

）的表达式，再求偏导数即可.

xgy

y

fu

【详解】令u=

xg（y），v=

y，则f（u,v）=

u

g（v），

g（v）

所以，

f

1

，

2f

g（v）

u

g（v）

uv

g2

.

（v）

xex

2

1

1

x

2

1

（3）设f（x）

2

2

1）dx

，则

1f（x

.

1

x

1

2

2

2

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：

x

1=t，再利用对称区间上奇偶函数

的积分性质即可.

2

1

1

【详解】令x

1=t，1

f（x1）dx

1

f（t）dt

1f（x）dt

2

2

2

1

2

1

1.

＝21xex

dx

1

（1）dx0

（1）

2

2

2

2

【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解

.

（4）二次型f（x1,x2,x3）

（x1

x2）2

（x2

x3）2

（x3

x1）2的秩为2.

【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩

亦即标准型中平方项的项数,

于是利用初等变换

或配方法均可得到答案.

【详解一】因为f（x1,x2,x3）

（x1

x2）2

（x2

x3）2

（x3

x1）2

2x

2

2x

2

2x

2

2xx

2

2xx

3

2x

2

x

3

1

2

3

1

1

2

1

1

于是二次型的矩阵为

A

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

由初等变换得

A

0

3

3

0

3

3

0

3

3

0

0

0

从而

r（A）

2,

即二次型的秩为

2.

【详解二】因为f（x1,x2,x3）

（x1

x2）2

（x2

x3）2

（x3

x1）2

2x12

2x22

2x32

2x1x2

2x1x3

2x2x3

2（x1

1x2

1x3）2

3（x2

x3）2

2

2

2

2y1

2

3y2

2

2

1

1

y1

x1

x3,

y2

x2

x3.

其中

2x2

2

所以二次型的秩为

2.

（5）设随机变量

X

服从参数为

λ

则P{X

DX}

1

.

的指数分布,

e

【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.

【详解】由于DX

1

X的分布函数为

2

λ

F（x）

1

eλx,

x

0,

0,

x

0.

故

P{X

DX}1P{X

DX}

1P{X

1

1