谐波齿轮减速器发展综述.docx
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谐波齿轮减速器发展综述
谐波齿轮减速器发展综述
1.概述
1.1产生及发展
谐波齿轮传动技术是20世纪50年代末随着航天技术发展而发明的一种具有重大突破的新型传动技术，由美国人C.W.马瑟砖1955年提出专利，1960年在纽约展出实物。
谐波传动的发展是由军事和尖端技术开始的，以后逐渐扩展到民用和一般机械上。
这种传动较一般的齿轮传动具有运动精度高，回差小，传动比大，重量轻，体积小，承载能力大，并能在密闭空间和辐射介质的工况下正常工作等优点，因此美，俄，日等技术先进国家，对这方面地研制工作一直都很重视。
如美国就有国家航空管理局路易斯研究中心，空间技术试验室，USM公司，贝尔航空空间公司，麻省理工学院，通用电器公司等几十个大型公司和研究中心都从事过这方面的研究工作。
前苏联从60年代初期开始，也大力开展这方面的研制工作，如苏联机械研究所，莫斯科褒曼工业大学，列宁格勒光学精密机械研究所，全苏联减速器研究所等都大力开展谐波传动的研究工作。
他们对该领域进行了较系统，较深入的基础理论和试验研究，在谐波传动的类型，结构，应用等方面有较大的发展。
日本长谷齿轮株式会社等有关企业在谐波齿轮传动的研制和标准化、系列化等方面作出了很大贡献。
西欧一些国家除了在卫星，机器人，数控机床等领域采用谐波齿轮传动外，对谐波传动的基础理论也开始进行系统的研究。
谐波齿轮传动技术1970年引入日本，随之诞生了日本第一家整体运动控制的领军企业-日本HarmonicDriveSystemsInc.（简称HDSI）。
目前日本HDSI公司是国际领先的谐波减速器公司，其生产的HarmonicDrive谐波减速器，具有轻量、小型、传动效率高、减速范围广、精度高等特点，被广泛应用于各种传动系统中。
谐波传动技术于1961年由上海纺织科学研究院的孙伟工程师介绍入我国。
此后，我国也积极引进并研究发展该项技术，1983年成立了谐波传动研究室，1984年“谐波减速器标准系列产品”在北京通过鉴定，1993年制定了GB/T14118-1993谐波传动减速器标准，并在理论研究、试制和应用方面取得较大成绩，成为掌握该项技术的国家之一。
到目前为止，我国己有北京谐波传动技术研究所、北京中技克美有限责任公司、燕山大学、郑州机械研究所、北方精密机械研究所、贵州群建齿轮有限公司等单位从事这方面的研究和生产，为我国谐波传动技术的研究和推广应用开展了深入的研究和试验工作。
1.2传动原理
谐波传动减速器英文名称：
harmonicgeardrive，主要由波发生器、柔性齿轮和刚性齿轮三个基本构件组成，如图1-1所示。
波发生器是一个凸轮部件，其两端与柔轮1的内壁相互压紧。
柔轮为可产生较大弹性变形的薄壁齿轮，其内孔直径略小于波发生器的总长。
当波发生器装入柔轮后，迫使柔轮的剖面由原先的圆形变成椭圆形，其长轴两端附近的齿与刚轮的齿完全啮合，而短轴两端附近的齿则与刚轮完全脱开。
周长上其他区段的齿处于啮合和脱离的过渡状态。
图1-1谐波齿轮减速器组成
当波发生器沿图示方向连续转动时，柔轮的变形不断改变，使柔轮与刚轮的啮合状态也不断改变，由啮入、啮合、啮出、脱开、再啮入……，周而复始地进行，从而实现柔轮相对刚轮沿波发生器相反方向的缓慢旋转，如图1-2所示。
图1-2谐波齿轮啮合简图
在传动过程中，波发生器转一周，柔轮上某点变形的循环次数称为波数，以n表示。
常用的是双波和三波两种。
双波传动的柔轮应力较小，结构比较简单，易于获得大的传动比。
故为目前应用最广的一种。
谐波传动减速器柔轮和刚轮的齿距相同，但齿数不等，通常采用刚轮与柔轮齿数差等于波数，即：
Z2－Z1=n（1-1）
式中：
Z2、Z1——分别为刚轮与柔轮的齿数。
其传动比为：
刚轮固定柔轮输出
（1-2）
柔轮固定刚轮输出
（1-3）
双波传动中，Z2－Z1=2，柔轮齿数很多。
上式负号表示柔轮的转向与波发生器的转向相反。
由此可看出，谐波减速器可获得很大的传动比。
1.3传动特点
主要优点：
（1）传动速比大。
单级谐波齿轮传动速比范围为70~320，在某些装置中可达到1000，多级传动速比可达30000以上。
它不仅可用于减速，也可用于增速的场合。
（2）承载能力高。
这是因为谐波齿轮传动中同时啮合的齿数多，双波传动同时啮合的齿数可达总齿数的30%以上，而且柔轮采用了高强度材料，齿与齿之间是面接触。
（3）传动精度高。
这是因为谐波齿轮传动中同时啮合的齿数多，误差平均化，即多齿啮合对误差有相互补偿作用，故传动精度高。
在齿轮精度等级相同的情况下，传动误差只有普通圆柱齿轮传动的1/4左右。
同时可采用微量改变波发生器的半径来增加柔轮的变形使齿隙很小，甚至能做到无侧隙啮合，故谐波齿轮减速机传动空程小，适用于反向转动。
（4）传动效率高、运动平稳。
由于柔轮轮齿在传动过程中作均匀的径向移动，因此，即使输入速度很高，轮齿的相对滑移速度仍是极低（故为普通渐开线齿轮传动的1%），所以，轮齿磨损小，效率高（可达69%~96%）。
又由于啮入和啮出时，齿轮的两侧都参加工作，因而无冲击现象，运动平稳。
（5）结构简单、零件数少、安装方便。
仅有三个基本构件，且输入与输出轴同轴线，所以结构简单，安装方便。
（6）体积小、重量轻。
与一般减速机比较，输出力矩相同时，谐波齿轮减速机的体积可减小2/3，重量可减轻1/2。
主要缺点：
（1）柔轮周期性变形，工作情况恶劣，从而易于疲劳损坏。
（2）柔轮和波发生器的制造难度较大，需要专门设备，给单件生产和维修造成了困难。
（3）传动比的下限值高，齿数不能太少，当波发生器为主动时，传动比一般不能小于35。
（4）起动力矩大。
1.4应用情况
由于谐波齿轮传动具有许多独特的优点，近几十年来，谐波齿轮传动技术和传动装置已被广泛应用于空间技术，雷达通讯，能源，机床，仪器仪表，机器人，汽车，造船，纺织，冶金，常规武器，精密光学设备，印刷包装机械以及医疗机械等领域。
国内外的应用实践证明，无论是作为高灵敏度随动系统的精密谐波传动，还是作为传递大转矩的动力谐波传动，都表现出了良好的性能；作为空间传动装置和用于操作高温，操作高压管路以及在有原子辐射或其它有害介质下提供的工作的机构，更显示出了其它一些机构难以比拟的优越性。
谐波齿轮一般都是小模数齿轮，谐波齿轮一般都具有小体积和超小体积传动装置的特征。
谐波齿轮传动在机器人领域的应用最多，在该领域的应用数量超过总量的60%。
减速器是工业机器人的三大核心零部件之一，谐波减速器则是当前主要的两种工业减速器之一，因为体积小、重量轻、扭矩大、安装紧凑、传动速比大、传动精度高等特性，被广泛应用于工业自动化领域。
随着军事装备的现代化，谐波齿轮更加广泛的应用于航空，航天，航泊潜艇，宇宙飞船，导弹导引头，导航控制，光电火控系统，单兵作战系统等军事装备中，如在战机的脱机和惯导系统中，在卫星和航天飞船的天线和太阳能帆板展开驱动机构中都得到应用。
2研究现状
自谐波传动问世以来，由于其具有的特殊性能可以满足空间技术、海洋工程以及机器人技术等所需要的高精度大传动比以及封闭空间这些苟刻要求，许多来自世界各地的卓越科研人才都深入地研究了此新型技术。
特别地，谐波传动技术包含了十分复杂的数学理论，这一点吸引了许多国内外的数学专家和优秀的学者。
事实上，在美国、日本以及前苏联等世界数一数二的发达工业国家，谐波传动理论设计和实际加工技术都达到了世界一流水平。
1961年上海纺织科学研究院的孙伟工程师第一次将谐波传动技术介绍到我国国内，在这以后我国十分重视并努力地发展了谐波传动技术，并在很多领域进行了实际应用和研究，例如在我国的“神州号”飞船中得到了很好的应用。
谐波齿轮传动因其自身固有的特性而产生十分复杂和广泛的问题，目前谐波传动领域的相关研究主要集中在啮合原理、齿形曲线、柔轮疲劳强度、材料及加工工艺等方面。
2.1啮合原理的研究
对谐波齿轮传动啮合原理的深入研究是探讨如何提高啮合性能和探索齿轮加工新工艺的基础。
早期对啮合原理的研究是建立在经验和试验的基础上，在研究谐波齿轮传动模型中没有考虑到柔轮薄壁的空间弹性变形会让柔轮齿圈中轮齿对称轴线发生一定程序的偏转，而只是简单将柔轮发生的径向位移作为其空间变形。
最早根据如下两点而提出的直线齿廓：
使轮齿实现面接触以提高其承载能力和满足定传动比要求。
1964年以后，国内外众多学者都对谐波齿轮传动的啮合理论进行了深入地研究以便谐波传动啮合理论可以得到较好地发展和改善。
目前为止，具有一定代表性的研究方法主要有如下六种：
（1）图解分析法：
在已知啮合齿对的其中一个齿廓以后，结合柔轮中性层原始曲线的变形函数，利用啮合过程的几何关系，采用常见的图解或者极坐标仿射原理来求解出另一齿廓；
（2）瞬心线法：
以柔轮齿相对刚轮齿做共轭运动而形成的动定瞬心线来研究齿廓的运动，其优点是具有明确的几何特性和清晰的概念，但是他们只对平面问题进行分析并且没有柔轮空间弹性变形关系。
K.Kondo和J.Takada提出了利用定动瞬心线间的纯滚动来分析谐波传动中两种轮齿间的啮合运动，但是他们并没有考虑到齿间接触状态而只是应用了摩擦运动模型来分析。
（3）基于包络理论的解析法：
将柔轮的弹性变形转化为共轭运动的一个组成部分，结合包络理论对共轭齿廓进行求解。
为了能求解出共轭齿形，它需要将柔轮薄壁的输出端和轮齿间的啮合端运动关系非常精确地表示出来，但同时也可以得到相对精确的结果。
特别地，在研究柔轮弹性变形对共轭运动影响时该方法比较实用。
（4）等速曲线法：
定义传动比为刚、柔轮的等速曲线长度比，将啮合齿对的啮合过程看作柔轮轮齿和刚轮轮齿分别沿着各自的等速曲线以相等的速度运动，从而建立共轭方程，得到共轭齿形；
（5）幂级数法：
沿用了研究锥齿轮啮合时的近似方法，将柔轮在空间上的变形问题转化为平面问题来解决，将齿廓曲线和共轭条件相应地用级数形式来进行表示和研究；
（6）数字仿真法：
数字仿真法因为计算机快速发展现在已经非常地普及，特别地在采用前面几种方法并能取得有效的解析解以后，利用该方法就非常便捷。
张青和等人釆用数字仿真法对谐波传动的轮齿啮合过程进行了研究，但是采用这种方法得到的结果是否满足实际情况，很大程度上受到使用者所建立模型的合理性以及是否满足实际要求等因素的影响。
上述的谐波齿轮传动啮合理论研究中的问题基本上可归结为两类:
1）已知两轮齿形曲线的任一个，按已知的运动规律求预期共轭的齿形，实质是在考虑柔轮弹性变形的条件下，用古典的包络理论，求共轭齿形，由于谐波齿轮传动的共轭齿形一般不能用初等数学方法描述，故只能获得数值解。
考虑到制造和检验方面的要求，用工艺上易于实现的齿形曲线取代共轭齿形，而又不至导致过大的误差，用数值逼近的方法来解决。
2）给定两轮齿形曲线，按已知的运动规律求柔轮的变形曲线，称为谐波传动理论中的求逆问题。
往往是给定一对工艺上易于实现的共轭齿形，反求柔轮的变形曲线。
实际设计中常常在给定柔轮变形曲线（柔轮在发生器作用下端面中性层的变形曲线）及两轮齿形的情况下，按已知的运动规律，对谐波齿轮传动的啮合参数和传动性能进行直接分析。
由直接法确定的啮合参数虽然不能保证两轮齿形的严格共辘，但在工程上使用十分方便，对于一般应用也足够精确，因为此时可以采用工艺上易于获得的齿形，这种方法在相当程度上解决谐波齿轮传动的平面啮合问题，因而在工程设计中被广泛采用。
无论上述谐波传动啮合理论的那一类问题，哪一种研究方法，它们大都建立以下的基本假设条件：
（1）柔轮轮齿在工作时刚度足够大，仅齿槽中部产生变形；
（2）柔轮共轭发生弹性变形时，其各截面中性线长度不变；（3）没有考虑柔轮沿轴向的不同变形，将柔轮的径向啮合理论视为平面问题。
这些假设在一定程序上简化柔轮复杂的变形问题，方便了谐波齿轮传动的研究，对于普通的谐波齿轮传动的精度足够。
但是，对于高精度要求的谐波传动，在负载状态下的柔轮的畸变和空间性是不容忽视的。
因此，只有正确分析谐波齿轮传动的运动学，找到精确的运动规律，才有可能求解出符合实际要求的齿轮共扼齿廓形状。
2.2传动齿形的研究
（1）直线齿形
谐波齿轮传动创始人C.W.Musser所提出的谐波齿轮传动齿形为直线，他只考虑了柔轮中性层的径向位移从而没有注意到柔轮薄壁发生空间弹性变形时会伴随着出现周向位移和转角位移，因此他提出可以采用直线齿廓来实现谐波传动中的啮合过程。
继他以后研究的学者在经过自己的分析和实验后证明了的简化是不合理的，同时采用图解法分析并提出以采用渐幵线廊来满足和实现柔轮与刚轮之间的啮合。
（2）渐开线齿形
最初提出用渐开线取代直线齿廓是基于两方面的考虑，第一当齿数很多时，渐开线齿形已接近直线齿形，而且以渐开线齿形取代直线齿形所产生的误差，对传动性能不会有本质的影响；第二渐开线齿形在工艺上易于加工。
随着谐波齿轮传动运动学和啮合理论的逐步完善，渐开线齿形参数的研究也比较完善。
渐开线齿形角主要有28.6°、30°和20°三种。
28.6°齿形角是美国的Musser根据柔轮变形实验提出的，并用于双波谐波齿轮传动。
采用28.6°齿形角不会产生齿廓重迭干涉，但必须使用专门的非标准的谐波齿轮刀具进行加工。
30°齿形角是根据渐开线花键齿形角为30°而提出的，日本采用30°齿形角。
采用30°齿形角也不会产生齿廓重迭干涉，但波发生器的径向载荷会增大，使传递转矩下降。
20°齿形角由前苏联提出。
采用20°齿形角的优点是可以沿用现行的各种标准的齿轮刀具进行加工，但极易产生齿廓重迭干涉，为此，须采用短齿和正变位来修正。
渐开线齿在空载状态下同时参与啮合的轮齿只是有限的几对。
在传递名义力矩时，同时啮合的齿对数虽然可以大大增加，但大多数齿均处于边缘啮合状态，这种边缘接触不利于齿间油膜的形成。
为了改善轮齿接触状态，并且考虑柔轮变形的空间性、对渐开线齿廓进行合理的修形。
为了解决渐开线齿形的齿顶干涉和边缘啮合的状态，Maiti教授提出波发生器凸轮形状采用两段圆弧两段椭圆弧的曲线，在长轴啮合弧段采用圆弧，在脱开啮合段采用椭圆曲线与圆弧相切的，圆弧的曲率中心与刚轮中心的距离为刚轮与柔轮的齿数差乘二分之一模数。
这种方法使谐波齿轮传动渐开线齿廓啮合实现了理论啮合共扼，解决了齿顶干涉和边缘啮合的问题。
但是，作者没有考虑到虽然波发生器的一段为圆弧，但对应柔轮中性线并非圆弧。
因此，从20世纪60年代开始，渐幵线齿廓在谐波传动领域得到了广泛的应用和发展，欧美等各发达国家普遍釆用渐开线齿形，这是因为在柔轮的齿数足够多的前提下，渐开线齿廓曲线基本可以等价为直线形式，更重要的是渐开线齿廓在实际加工工艺上具有相当明显的优势。
所以在20世纪90年代以前，渐开线齿廓和修形的渐开线齿廓在谐波齿轮研究领域中得到了广泛的应用和推广，但是渐开线齿廓存在自身的缺点，如齿根部易疲劳断裂；轮齿接触应力大，啮合区间小；重载传动时尖点啮合柔轮易发生畸变，难以实现高刚度，并会引起啮合齿廓干涉或滑齿，影响整体承载能力等。
这些缺点使得渐开线齿形无法满足伺服传动机构的设计要求，因此，齿形的研究逐渐成为谐波齿轮传动领域的热点。
目前，国内常采用的谐波减速器齿形仍为渐开线齿形，一般柔轮采用齿形角28°36'，刚轮采用齿形角29°12'，通过柔轮的变形来补偿齿形角的角度差。
这种齿形比较方便加工，并且在使用的过程中不容易产生啮合干涉。
然而当齿数过多、过小的时候，渐开线齿形就非常接近直线，这对于传动是非常不利的，尤其在载荷较大时，容易发生齿顶的干涉和齿根的应力集中现象。
针对这些弊端，在不改变压力角的前提下，把参与啮合传动的接近齿顶部分齿廓用大曲率的圆弧代替，相应的齿根部分也用一段圆弧代替。
（3）圆弧齿形
20世纪70年代，E.Г.ГHH3sypr和B.H.Pomarnhx等人提出谐波齿轮传动采用圆弧齿形，如图2-1所示，柔轮齿形具有公切线式双圆弧齿廓，刚轮齿形由单圆弧齿廓与直线齿廓组合而成。
圆弧齿形谐波齿轮传动中刚轮的凸圆弧齿廓与柔轮的凹圆弧齿廓相啮合，使得当量曲率半径有所增大，接触强度得到了提高。
文献针对采用该齿形的谐波齿轮传动的运动特性进行了分析，通过工作过程中的同时啮合齿对数、理论啮合弧长以及啮合侧隙，从理论上论证了该齿形提高了谐波齿轮的传动精度以及柔轮的疲劳强度，具备良好的工作性能。
但是该齿形存在的缺点是刚、柔轮齿廓并非严格共轭，致使轮齿啮合接触面积小，制造时需要的刀具数量多。
图2-1前苏联提出的圆弧齿形
圆弧齿形由于具有较宽的齿槽从而相对渐开线齿廓在工作时产生应力集中的情况就比较少，与此同时因柔轮变形所产生的柔性补偿会形成有效的楔形侧隙，从而在啮合过程中比较容易形成油膜。
其缺点是加工时只能使用特制的刀具导致制造成本较高从而不能得到广泛的应用。
由于日，美等国对于谐波齿轮传动设计和技术资料实行保密，因此无法获得有关圆弧谐波齿轮传动的详细资料。
目前，我国的技术研究人员正致力于谐波齿轮传动啮合刚度，承载能力和传动寿命的圆弧齿廓谐波齿轮传动技术的研究，并且已经获得了前期理论研究成果。
在我国，辛洪兵、陈晓霞、曾世强等人是较早开始对谐波齿轮传动采用圆弧齿廓的啮合特性进行研究的。
辛洪兵指出由于圆弧齿轮无法通过变位加工，因此需在合理确定波发生器形式和柔轮径向变形系数的前提下进行圆弧齿形谐波传动的设计。
基于此理论，辛洪兵设计了采用椭圆凸轮波发生器的双圆弧谐波齿轮传动，完成了双圆弧谐波齿轮滚齿刀、双圆弧谐波齿轮插齿刀和双圆弧谐波齿轮传动样机的制造加工。
在此基础上，通过理论分析和实验证明了双圆弧齿廓“双共轭”的啮合优点对于柔轮强度、传动精度和扭转刚度有着明显的提高和改善。
陈晓霞深入分析了啮合参数对双圆弧齿廓谐波传动的共轭区间、啮合侧隙的影响，通过啮合仿真对圆弧半径、压力角等齿形参数进行优化。
（4）S齿形
日本学者S.Ishikawa在1989年提出了“S齿形”，如图2-2所示。
这种齿形的核心技术是映射基准曲线，事实上它是柔轮齿顶上一点在参与共轭的过程中相对刚轮而形成的固有的运动轨迹曲线。
这种新提出的齿形改善了传统齿形只有在负载情况下产生附加变形才能实现连续接触这一缺点，即使是空载也能实现连续的啮合运动，从而使啮合性能得到了提高，承载得到了较均匀的分布。
研究数据表明，与渐开线齿相比S齿形在工作屮同时能参与齿合的总齿数明显得到了大幅增涨，与此同时柔轮的抗疲劳强度也有一定程度的提高，因为齿根圆角加大了，但扭转刚度也不可避免的有一定程度的增加。
图2-2日本提出的Ｓ形齿形
1995年，Ishikawa和YoshihideKiyosa.wa在S齿形的基础上进行了改进。
因为考虑到了柔轮薄壁变形的空间特性，这就使柔轮在波发生器长轴处的变形沿轴向线性缩小，所以他们改进以后的柔轮齿形是由直线和两段圆弧相连接而组成的，学术界将其称作双圆弧齿形。
综合分析后发现它的工艺性比较好，而且可以近似地在啮合区连续接触，不需象渐开线齿形那样一定要在受载状态才能连续接触，且轮齿间的啮合侧隙分布比较均匀，因此可以提高传动精度。
此后，又有许多学者针对＂S齿形＂，对消除干涉、增加啮入深度等方面做出了探讨，为该齿形的发展作了进一步的完善。
S齿形相比于传统齿形，在啮合特性、额定载荷等方面得到了改善和提高，它的出现是谐波齿轮传动啮合齿廓研究方面的一个重大突破。
但是其不足之处在于发明者没有对运动规律进行彻底地分析，在求解齿形曲线时，用研究齿条的方法来研究两齿轮的啮合特性，使得这种齿形的应用受到了限制。
虽然S齿形在理论基础上显得有些欠缺，需要应用专用刀具进行制造，相对成本提高，但仍是当今谐波传动最先进的技术，并己被欧、美、日谐波传动制造商所采用。
日本著名的HarmonicDrive公司生产的CSF、CSD、SHF等型号的谐波齿轮减速器系列正是采用了该齿形，可提高机器人关节的扭转刚度，并已在机器人领域得到了应用。
（5）摆线齿形
日本学者K.Kond介绍了类似摆线针轮行星传动，柔轮齿廓曲线为摆线，刚轮圆周上安放滚针。
韩国KwangSeopJeong，DaiGilLee在介绍了摆线型谐波传动，柔轮齿为摆线，刚轮齿为半圆形。
柔轮齿用成形法加工，为了使柔轮在周向具有较大的扭转刚度，而在径向要求有较好的柔度，采用复合材料实现，提高谐波齿轮传动的动态性能开辟了一条新路。
（6）“P”型齿
苏州绿的谐波传动科技有限公司提出了“P”型齿，如图2-3所示，也已在工业机器人领域得到广泛地应用。
相比于其它齿形，该齿形的特点是齿高较低，齿宽较大，即使啮合距离不深，啮合区间却较大。
除此之外，该齿形的柔轮变形量较小，齿根弧度增大，可避免发生断裂失效，进而提高了柔轮的使用寿命。
图2-3绿的公司提出的“P”型齿
2.3柔轮疲劳强度的研究
谐波齿轮传动可能出现多种破坏和失效方式，最常见的是柔轮疲劳断裂。
国内外许多专家学者在这方面作了大量研究，内容涉及承载变形、载荷分布、应力和强度分析等。
柔轮为薄壁圆筒，其齿圈部位为正交各向异性的薄壳。
负载状态下壳体的应力应变非常复杂，几乎不能通过理论的计算获得精确的结果，目前只能通过实验测得。
在谐波齿轮装置中，一般输入端也就是波发生器的转速较高，柔轮在其作用下产生的周期性的弹性变形使得柔轮反复弯曲，处于交变应力作用的状态下，容易产生疲劳损坏，故而谐波齿轮的寿命主要取决于柔轮的寿命。
在柔轮的变形及其应力、应变状态的研究上，目前主要有理论公式法、实验归纳法和计算机辅助模拟分析法等方法。
为了使问题便于分析，其数学模型都需要基于一定的假定条件。
理论公式法是将柔轮简化为光滑的圆柱壳体模型，根据弹性薄壳体的几何非线性理论进行分析并推导应力应变公式进行计算。
由于数学模型存在很多假设，因此需要对结果进斤实验数值修正。
这方面前苏联学者做了大量深入的研究，比较有代表性的如利用四力作用模型来模拟柔轮的变形形状，并利用这一结果，结合薄壳理论推导出了柔轮的应力分布状况。
我国学者在这方面也做了大量工作，如李玉光、尤竹平研究了啮合时齿间载荷分布规律，为进一步分析柔轮应力作了准备。
乐可锡等通过建立单力圆环叠加计算模型，得出了柔性轴承上载荷分布的一种算法。
实验的方法是研究柔轮的变形规律的一种准确方法，伊万诺夫作了系统的研究，他认为谐波传动属于有预应力的结构，传动装配时，由于波发生器的作用使得柔轮变形，产生了预载。
这个预载是按照圆环模型求出圆环的变形，然后对变形力求解。
由于间隙和载荷的非单值，求解是近似的。
计算简图利用了实验得到的几个结论:
1）啮入弧上，柔轮与波发生器的间隙在名义载荷一半情况下就己经消除；2）整个啮出弧上，柔轮与波发生器事实上是相分离的；3）在载荷下，消除啮入弧上间隙的同时，在波发生器长轴的左边形成了定半径弧，弧半径受刚轮半径的限制，定半径弧的大小随着载荷的增大而增大；4）与定半径弧相对应，啮合工作区将向波发生器长轴的另一边扩展。
总的来说，他在研究柔轮的应力、位移时，确定载荷分布，建立计算简图的方法主要是建立在实验基础上，较为符合实际情况，但这种方法受到实验条件的限制。
若没有实验条件，也可用有限元法对柔轮的变形和应力应变进行分析与验证。
用有限元法比理论公式法更加适合对柔轮的状态进行研究，国内外有很多学者都采用有限元法对柔轮的变形和应力应变进行分析。
用有限元法进行研究可降低研巧周期、节省研究成本，近年来随着计算机技术的发展，作为数值分析方法研究领域内重大突破的有限元方法已经成为结构分析的一种非常有效的手段。
例如崔博文在对载荷分布不作任何假定的情况下，应用有限元线性规划法计算出柔轮的变形形状，获得了齿间啮合力的分布规律。
HanSuJeon和SeHoonOh利用软件对传统钢制柔轮与钢和碳纤维或玻璃纤维制的混合结构柔轮作了比较，发现混合结构柔轮在应力分布、吸震能力和固有频率方面均优于钢制柔轮。
付军锋将柔轮齿圈简化为等效圆环，分析了空载时柔轮的应力分布状况，并比较了不同波发生器对应力的影响。
有限元法研究柔轮的位移场分布有以下三个主要问题:
1）确
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