高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文.docx

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高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文

教材复习课“导数”相关基础知识一课过

导数的基本运算

[过双基]

1．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝

f（x）＝xn（n∈Q*）

f′（x）＝nxn－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ax

f′（x）＝axln_a

f（x）＝ex

f′（x）＝

f（x）＝logax（a>0，且a≠1）

f′（x）＝

f（x）＝lnx

f′（x）＝

2．导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）′＝（g（x）≠0）．

1．下列求导运算正确的是（　　）

A.′＝1＋　　B．（log2x）′＝

C．（3x）′＝3xlog3eD．（x2cosx）′＝－2sinx

解析：

选B　′＝1－；（log2x）′＝；（3x）′＝3xln3；（x2cosx）′＝2xcosx－x2sinx，故选B.

2．函数f（x）＝（x＋2a）（x－a）2的导数为（　　）

A．2（x2－a2）B．2（x2＋a2）

C．3（x2－a2）D．3（x2＋a2）

解析：

选C　∵f（x）＝（x＋2a）（x－a）2＝x3－3a2x＋2a3，

∴f′（x）＝3（x2－a2）．

3．函数f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，则a的值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　因为f′（x）＝3ax2＋6x，

所以f′（－1）＝3a－6＝4，

所以a＝.

4．（2016·天津高考）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．

解析：

因为f（x）＝（2x＋1）ex，

所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，

所以f′（0）＝3e0＝3.

答案：

3

[清易错]

1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如（xn）′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，（cosx）′＝－sinx.

2．注意公式不要用混，如（ax）′＝axlna，而不是（ax）′＝xax－1.

1．已知函数f（x）＝sinx－cosx，若f′（x）＝f（x），则tanx的值为（　　）

A．1B．－3

C．－1D．2

解析：

选B　∵f′（x）＝（sinx－cosx）′＝cosx＋sinx，

又f′（x）＝f（x），

∴cosx＋sinx＝sinx－cosx，

∴tanx＝－3.

2．若函数f（x）＝2x＋lnx且f′（a）＝0，则2aln2a＝（　　）

A．－1B．1

C．－ln2D．ln2

解析：

选A　f′（x）＝2xln2＋，由f′（a）＝2aln2＋＝0，得2aln2＝－，则a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.

导数的几何意义

[过双基]

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′（x0）·（x－x0）．

1.（2018·郑州质检）已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（　　）

A．－1B．0

C．2D．4

解析：

选B　由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′（3）＝－，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）＋xf′（x），∴g′（3）＝f（3）＋3f′（3），又由题图可知f（3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×＝0.

2．设函数f（x）＝xlnx，则点（1,0）处的切线方程是________．

解析：

因为f′（x）＝lnx＋1，所以f′

（1）＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.

答案：

x－y－1＝0

3．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．

解析：

因为y′＝4x，设切点为（m，n），则4m＝2，所以m＝，则n＝2×2＝，则切点的坐标为.

答案：

4．函数y＝f（x）的图象在点M（1，f

（1））处的切线方程是y＝3x－2，则f

（1）＋f′

（1）＝________.

解析：

因为函数y＝f（x）的图象在点M（1，f

（1））处的切线方程是y＝3x－2，所以f′

（1）＝3，且f

（1）＝3×1－2＝1，所以f

（1）＋f′

（1）＝1＋3＝4.

答案：

4

[清易错]

1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

1．若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于（　　）

A．－1或－B．－1或

C．－或－D．－或7

解析：

选A　因为y＝x3，所以y′＝3x2，

设过点（1,0）的直线与y＝x3相切于点（x0，x），

则在该点处的切线斜率为k＝3x，

所以切线方程为y－x＝3x（x－x0），即y＝3xx－2x，又（1,0）在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，

当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1，所以选A.

2.（2017·兰州一模）已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点（1,3），则实数b的值为________．

解析：

因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点（1,3）处的切线斜率为3＋a，

所以解得

答案：

3

利用导数研究函数的单调性

[过双基]

1．函数f（x）在某个区间（a，b）内的单调性与f′（x）的关系

（1）若f′（x）>0，则f（x）在这个区间上是增加的．

（2）若f′（x）<0，则f（x）在这个区间上是减少的．

（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是常数．

2．利用导数判断函数单调性的一般步骤

（1）求f′（x）．

（2）在定义域内解不等式f′（x）>0或f′（x）<0.

（3）根据结果确定f（x）的单调性及单调区间．

1．函数f（x）＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是（　　）

A．（1,2）B．（2，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－∞，1）和（2，＋∞）

解析：

选A　解f′（x）＝6x2－18x＋12<0可得1

2．已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　）

解析：

选D　当x<0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f（x）在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间（0，x1）内的值是大于0的，则在此区间内函数f（x）单调递增．只有D选项符合题意．

3．已知f（x）＝x2＋ax＋3lnx在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－2]B.

C．[－2，＋∞）D．[－5，＋∞）

解析：

选C　由题意得f′（x）＝2x＋a＋＝≥0在（1，＋∞）上恒成立⇔g（x）＝2x2＋ax＋3≥0在（1，＋∞）上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0或⇔－2≤a≤2或a>2⇔a≥－2，故选C.

[清易错]

若函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增，则f′（x）≥0，且在（a，b）的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减，则f′（x）≤0，且在（a，b）的任意子区间，等号不恒成立．

若函数f（x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．

解析：

∵f（x）＝x3＋x2＋mx＋1，

∴f′（x）＝3x2＋2x＋m.

又∵f（x）在R上是单调增函数，∴f′（x）≥0恒成立，

∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.

答案：

利用导数研究函数的极值与最值

[过双基]

1．函数的极大值

在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值．

2．函数的极小值

在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

3．函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

1．如图是f（x）的导函数f′（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A　由图象及极值点的定义知，f（x）只有一个极小值点．

2．若函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选D　f′（x）＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′（－3）＝0，即3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，解得a＝5.

3．（2017·济宁一模）函数f（x）＝x2－lnx的最小值为（　　）

A.B．1

C．0D．不存在

解析：

选A　f′（x）＝x－＝，且x>0.令f′（x）>0，得x>1；令f′（x）<0，得0

（1）＝－ln1＝.

4．若函数f（x）＝x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围为________．

解析：

f′（x）＝x－a＋＝（x>0），

因为函数f（x）＝x2－ax＋lnx有极值，

令g（x）＝x2－ax＋1，且g（0）＝1>0，

所以解得a>2.

答案：

（2，＋∞）

5．设x1，x2是函数f（x）＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2

解析：

由题意，f′（x）＝3x2－4ax＋a2＝0，得x＝或a.

又∵x1<2

答案：

（2,6）

[清易错]

1．f′（x0）＝0是x0为f（x）的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点；又如f（x）＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′（0）不存在．

2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．

1．（2017·岳阳一模）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（　　）

A．y＝x3B．y＝ln（－x）

C．y＝xe－xD．y＝x＋

解析：

选D　因为A、B为单调函数，所以不存在极值，C不是奇函数，故选D.

2．设函数f（x）＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

解析：

f′（x）＝3x2－3，

由f′（x）>0可得x>1或x<－1，

由f′（x）<0可得－1

所以函数f（x）的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]．

又因为f（－2）＝－1，f（－1）＝3，f

（1）＝－1，f

（2）＝3，

所以M＝3，m＝－1，

所以M＋m＝2.

答案：

2

一、选择题

1．已知函数f（x）＝logax（a>0且a≠1），若f′

（1）＝－1，则a＝（　　）

A．e　　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选B　因为f′（x）＝，所以f′

（1）＝＝－1，所以lna＝－1，所以a＝.

2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A（1,3），则2a＋b的值为（　　）

A．－1B．1

C．2D．－2

解析：

选C　由曲线y＝x2＋ax＋b，得y′＝2x＋a，

由题意可得解得

所以2a＋b＝2.

3．函数y＝2x3－3x2的极值情况为（　　）

A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值

B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值

C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1

D．以上都不对

解析：

选C　y′＝6x2－6x，

由y′＝6x2－6x>0，可得x>1或x<0，

即单调增区间是（－∞，0），（1，＋∞）．

由y′＝6x2－6x<0，可得0

即单调减区间是（0,1），所以函数在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1.

4．若f（x）＝－x2＋mlnx在（1，＋∞）是减函数，则m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（－∞，1]D．（－∞，1）

解析：

选C　由题意，f′（x）＝－x＋≤0在（1，＋∞）上恒成立，即m≤x2在（1，＋∞）上恒成立，又因为x2>1，所以m≤1.

5．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，2）B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

解析：

选D　依题意得f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，令f′（x）>0，解得x>2，∴f（x）的单调递增区间是（2，＋∞）．故选D.

6．已知函数f（x）＝x（x－m）2在x＝1处取得极小值，则实数m＝（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选B　f（x）＝x（x2－2mx＋m2）＝x3－2mx2＋m2x，所以f′（x）＝3x2－4mx＋m2＝（x－m）（3x－m）．由f′

（1）＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′（x）＝3（x－1）（x－3），当13时，f′（x）>0，此时在x＝1处取得极大值，不合题意，∴m＝1，此时f′（x）＝（x－1）（3x－1），当1时，f′（x）>0，此时在x＝1处取得极小值．选B.

7．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）

A．3B．2

C．1D.

解析：

选A　已知曲线y＝－3lnx（x>0）的一条切线的斜率为，由y′＝x－＝，得x＝3，故选A.

8．若函数f（x）＝的值域为[0，＋∞），则实数a的取值范围是（　　）

A．[2,3]B．（2,3]

C．（－∞，2]D．（－∞，2）

解析：

选A　当x≤0时，0≤f（x）＝1－2x<1；

当x>0时，f（x）＝x3－3x＋a，f′（x）＝3x2－3，

当x∈（0,1）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，

所以当x＝1时，函数f（x）取得最小值f

（1）＝1－3＋a＝a－2.由题意得0≤a－2≤1，解得2≤a≤3，选A.

二、填空题

9．若函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1＋，要使函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在（0，＋∞）上有解，即x＝－a，∴a<0.

答案：

（－∞，0）

10．已知函数f（x）＝lnx－f′（－1）x2＋3x－4，则f′

（1）＝________.

解析：

∵f′（x）＝－2f′（－1）x＋3，

∴f′（－1）＝－1＋2f′（－1）＋3，

∴f′（－1）＝－2，∴f′

（1）＝1＋4＋3＝8.

答案：

8

11．已知函数f（x）的图象在点M（1，f

（1））处的切线方程是y＝x＋3，则f

（1）＋f′

（1）＝________.

解析：

由题意知f′

（1）＝，f

（1）＝×1＋3＝，

∴f

（1）＋f′

（1）＝＋＝4.

答案：

4

12．已知函数g（x）满足g（x）＝g′

（1）ex－1－g（0）x＋x2，且存在实数x0，使得不等式2m－1≥g（x0）成立，则实数m的取值范围为________．

解析：

g′（x）＝g′

（1）ex－1－g（0）＋x，

令x＝1时，得g′

（1）＝g′

（1）－g（0）＋1，

∴g（0）＝1，g（0）＝g′

（1）e0－1＝1，

∴g′

（1）＝e，

∴g（x）＝ex－x＋x2，g′（x）＝ex－1＋x，

当x<0时，g′（x）<0，当x>0时，g′（x）>0，

∴当x＝0时，函数g（x）取得最小值g（0）＝1.

根据题意得2m－1≥g（x）min＝1，∴m≥1.

答案：

[1，＋∞）

三、解答题

13．已知函数f（x）＝x＋＋b（x≠0），其中a，b∈R.

（1）若曲线y＝f（x）在点P（2，f

（2））处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f（x）的解析式；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若对于任意的a∈，不等式f（x）≤10在上恒成立，求实数b的取值范围．

解：

（1）f′（x）＝1－（x≠0），

由已知及导数的几何意义得f′

（2）＝3，则a＝－8.

由切点P（2，f

（2））在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x－＋9.

（2）由

（1）知f′（x）＝1－（x≠0）．

当a≤0时，显然f′（x）>0，这时f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上是增函数．

当a>0时，令f′（x）＝0，解得x＝±，

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－

）

－

（－

，0）

（0，

）

（

，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

所以当a>0时，f（x）在（－∞，－），（，＋∞）上是增函数，在（－，0），（0，）上是减函数．

（3）由

（2）知，对于任意的a∈，不等式f（x）≤10在上恒成立等价于即对于任意的a∈成立，从而得b≤，

所以实数b的取值范围是.

14．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

解：

（1）对f（x）求导，得f′（x）＝－－（x>0），由f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x，

知f′

（1）＝－－a＝－2，解得a＝.

（2）由

（1）知f（x）＝＋－lnx－，

则f′（x）＝，

令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．

当x∈（0,5）时，f′（x）<0，故f（x）在（0,5）内为减函数；

当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．

由此知函数f（x）在x＝5时取得极小值f（5）＝－ln5，无极大值．

高考研究课

（一）

导数运算是基点、几何意义是重点

[全国卷5年命题分析]

考点

考查频度

考查角度

导数的几何意义

5年8考

求切线、已知切线求参数、求切点坐标

导数的运算

[典例]　

（1）（2018·惠州模拟）已知函数f（x）＝cosx，则f（π）＋f′＝（　　）

A．－　　　　　　　　B．－

C．－D．－

（2）已知f1（x）＝sinx＋cosx，fn＋1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N*，则f2018（x）等于（　　）

A．－sinx－cosxB．sinx－cosx

C．sinx＋cosxD．cosx－sinx

（3）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，则f′

（1）＝（　　）

A．－eB．－1

C．1D．e

[解析]　

（1）∵f′（x）＝－cosx＋（－sinx），

∴f（π）＋f′＝－＋·（－1）＝－.

（2）∵f1（x）＝sinx＋cosx，

∴f2（x）＝f1′（x）＝cosx－sinx，

∴f3（x）＝f2′（x）＝－sinx－cosx，

∴f4（x）＝f3′（x）＝－cosx＋sinx，

∴f5（x）＝f4′（x）＝sinx＋cosx，

∴fn（x）是以4为周期的函数，

∴f2018（x）＝f2（x）＝cosx－sinx，故选D.

（3）由f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，得f′（x）＝2f′

（1）＋.

∴f′

（1）＝2f′

（1）＋1，则f′

（1）＝－1.

[答案]　

（1）C　

（2）D　（3）B

[方法技巧]

1．可导函数的求导步骤

（1）分析函数y＝f（x）的结构特点，进行化简；

（2）选择恰当的求导法则与导数公式求导；

（3）化简整理答案．

2．求导运算应遵循的原则

求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．　　

[即时演练]

1．（2018·江西九校联考）已知y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3），则y′＝（　　）

A．3x2－12x＋6B．x2＋12x－11

C．x2＋12x＋6D．3x2＋12x＋11

解析：

选D　法一：

y′＝（x＋2）（x＋3）＋（x＋1）（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）＝3x2＋12x＋11.

法二：

∵y＝（x2＋3x＋2）（x＋3）＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝3x2＋12x＋11.

2．已知函数f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝________.

解析：

f′（x）＝lnx＋1，由f′（x0）＝2，

即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.

答案：

e

导数的几何意义

导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第1问中，难度较低，属中、低档题.

常见的命题角度有：

求切线方程；

确定切点坐标；

已知切线求参数值或范围；

切线的综合应用

角度一：

求切线方程

1．已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程是________．

解析：

∵f′（x）＝－1＋2x，∴f′

（1）＝，f

（1）＝ln2，∴曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－ln2＝（x－1），即3x－2y＋2ln2－3＝0.

答案：

3x－2y＋2ln2－3＝0

角度二：

确定切点坐标

2．（2018·沈阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：

y＝x3－x－1上，且在第三象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．

解析：

∵y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±1，

又∵点M在第三象限，

∴x＝－1，∴y＝（－1）3－（－1）－1＝－1，

∴点M的坐标为（－1，－1）．

答案：

（－1，－1）

角度三：

已知切线求参数值或范围

3．（2017·武汉一模）已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x