浙江专版学年高中数学第一章空间几何体13空间几何体的表面积与体积学案新人教A版必修2.docx
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浙江专版学年高中数学第一章空间几何体13空间几何体的表面积与体积学案新人教A版必修2
1.3
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
预习课本P23～27，思考并完成以下问题
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？
4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
1．柱体、锥体、台体的表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积：
S底＝πr2
侧面积：
S侧＝2πrl
表面积：
S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：
S底＝πr2
侧面积：
S侧＝πrl
表面积：
S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：
S上底＝πr′2
下底面面积：
S下底＝πr2
侧面积：
S侧＝πl（r＋r′）
表面积：
S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl）
2．柱体、锥体、台体的体积公式
柱体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为高）；
锥体的体积公式V＝
Sh（S为底面面积，h为高）；
台体的体积公式V＝
（S′＋
＋S）h.
[点睛]
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）锥体的体积等于底面面积与高之积（ ）
（2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差（ ）
答案：
（1）×
（2）√
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
a2 B.
a2
C.
a2D.
a2
解析：
选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于
a，∴S表＝
a2＋3×
×
2＝
a2.
3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
解析：
由已知圆锥的高h＝4，
所以V圆锥＝
π×32×4＝12π.
答案：
12π
柱、锥、台的表面积
[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
[解] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝
2＋
2＝
＝
＝64，∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
（1）求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
（2）结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．
[活学活用]
1．（陕西高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π
C．2π＋4D．3π＋4
解析：
选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
表面积为2×2＋2×
×π×12＋π×1×2＝4＋3π.
2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为（ ）
A．81πB．100π
C．168πD．169π
解析：
选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝
＝
＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
柱体、锥体、台体的体积
[典例] 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2π＋2
B．4π＋2
C．2π＋
D．4π＋
[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为
，高为
，所以体积为
×（
）2×
＝
，所以该几何体的体积为2π＋
.
[答案] C
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
（1）求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
（2）求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[活学活用]
1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
解析：
设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π（r＋R）l＝6π，∴l＝2，∴h＝
，∴V＝
π（12＋22＋1×2）×
＝
π.
答案：
π
2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________．
解析：
根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V＝
×3×4×5－
×
×4×3×3＝24.
答案：
24
几何体体积的求法
题点一：
等积变换法
1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________．
解析：
V三棱锥ADED1＝V三棱锥EDD1A＝
×
×1×1×1＝
.
答案：
2.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.
解：
三棱锥的体积V＝
Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故V＝
S△PAC·PB＝
×
×2×4×3＝4.
题点二：
分割法
3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
解：
如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积
V四棱锥EABCD＝
×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥FEBC＝V三棱锥CEFB＝
V三棱锥CABE＝
V三棱锥EABC＝
×
V四棱锥EABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥EABCD＋V三棱锥FEBC＝16＋4＝20.
题点三：
补形法
4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
解：
用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
5．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝
，BC＝AD＝2
，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
解：
以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则
∴
∵VDABE＝
DE·S△ABE＝
V长方体，
同理，VCABF＝VDACG＝VDBCH＝
V长方体，
∴V四面体ABCD＝V长方体－4×
V长方体＝
V长方体．
而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.
（1）三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法（或称等积法）．
（2）当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．
层级一 学业水平达标
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为（ ）
A．22 B．20
C．10D．11
解析：
选A 所求长方体的表面积S＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）
A．1∶2B．1∶
C．1∶
D.
∶2
解析：
选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝
r.∴S侧＝πrl＝
πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶
.
3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A.
πB.
π
C.
πD.
π
解析：
选B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为
×
×π×12×
＝
π.
4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（ ）
A．7B．6
C．5D．3
解析：
选A 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得r＝7.
5.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选C ∵VCA′B′C′＝
VABCA′B′C′＝
，∴VCAA′B′B＝1－
＝
.
6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
解析：
因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4×
×32＝9
.
答案：
9
7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
解析：
易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝
×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝
＝
，则圆锥的体积V＝
πr2h＝
π.
答案：
π
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3
，则a＝________.
解析：
由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×
＝3
，所以a＝
.
答案：
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2
，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）求出该几何体的表面积．
解：
（1）如图所示．
（2）过C作CE垂直AD延长线于E点，
作CF垂直AB于F点．
由已知得：
DE＝2，CE＝2，
∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴BC＝
＝5.
∴下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×（2＋5）×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×2
＝4
π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝（60＋4
）π.
10.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：
如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴
·3a·h′＝
a2×2.
∴a＝
h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋
2＝h′2.
∴h′＝2
，∴a＝
h′＝6.
∴S底＝
a2＝
×62＝9
，S侧＝2S底＝18
.
∴S表＝S侧＋S底＝18
＋9
＝27
.
层级二 应试能力达标
1．正方体的表面积为96，则正
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