浙江专版学年高中数学第一章空间几何体13空间几何体的表面积与体积学案新人教A版必修2.docx

1、浙江专版学年高中数学第一章空间几何体13空间几何体的表面积与体积学案新人教A版必修21.3 13.1柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P2327，思考并完成以下问题1棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 1柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧r

2、l表面积：Srlr2圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l(rr)表面积：S(r2r2rlrl)2柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V(SS)h.点睛(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()答案：(1)(2)2侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A. a2 B. a2C. a2 D. a2解析：选

3、A侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，S表a232a2.3若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是_解析：由已知圆锥的高h4，所以V圆锥32412.答案：12柱、锥、台的表面积典例现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积解如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8.直四棱柱的侧面积S485160.(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体

4、的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解活学活用1(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34解析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为222121243.2圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()A81 B100C168 D169解析：选C先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解圆台的轴截面如图

5、所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l5r10，所以r2，R8.故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.柱体、锥体、台体的体积典例一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A22 B42C2 D4解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为()2，所以该几何体的体积为2.答案C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后

6、根据条件求解活学活用1已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上r2，S下R24，r1，R2，S侧(rR)l6，l2，h，V(122212).答案：2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于_解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V34543324.答案：24几何体体积的求法题点一：等积变换法1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_解析：V三棱锥ADED1V三棱锥EDD1A111.答案：

7、2.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.解：三棱锥的体积VSh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解故VSPACPB2434.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积解：如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V三棱锥FEBCV三棱锥C

8、EFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.题点三：补形法4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.5已知四面体ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则VDABEDESABEV长方体，同理，VCABFVDACGVDBCHV长方体，V四面体A

9、BCDV长方体4V长方体V长方体而V长方体23424，V四面体ABCD8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积 层级一学业水平达标1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A22 B20C10 D11解析：选A所求长方体的表面积S2(12)2(13)2(23)22.2若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1C1 D.2解析：选C设

10、圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lr.S侧rlr2，S底r2，S底S侧1.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A. B.C. D.解析：选B由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12.4已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为()A7 B6C5 D3解析：选A设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧3(r3r)84，解得r7.5.如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B. C. D.

11、 解析：选CVCABCVABCABC，VCAABB1.6棱长都是3的三棱锥的表面积S为_解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S4329.答案：97若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_解析：易知圆锥的母线长l2，设圆锥的底面半径为r，则2r22，r1，圆锥的高h，则圆锥的体积Vr2h.答案：8如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a_.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V33，所以a.答案：9如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体(1)画出该几何体的三视

12、图；(2)求出该几何体的表面积解：(1)如图所示(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，作CF垂直AB于F点由已知得：DE2，CE2，CF4，BF523.BC5.下底圆面积S125，台体侧面积S2(25)535，锥体侧面积S3224，故表面积SS1S2S3(604).10.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，3aha22.ah.SOOE，SO2OE2SE2.322h2.h2，ah6.S底a2629，S侧2S底18.S表S侧S底18927.层级二应试能力达标1正方体的表面积为96，则正