椭圆的基本概念及性质.docx

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椭圆的基本概念及性质

椭圆的基本概念及性质

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

苏教版

课时时长（分钟）

120

知识点

1、椭圆的定义、几何图形、标准方程•

2、椭圆的基本量.

教学目标

1、使学生掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程•

2、使学生掌握椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法

教学重点

1、椭圆的标准方程的求法；

2、椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法；

教学难点

椭圆离心率的求法

教学过程

课堂导入

1

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为㊁，焦距为8,则该椭圆的方程是

椭圆中的基本量a.b.c分别代表什么，离心率、准线方程的公式，标准方程的公式分别应该怎么求？

下面进入我们今天的学习！

复习预习

1椭圆的定义、几何图形、标准方程

2、椭圆的基本量.

知识讲解

考点1

椭圆的定义

平面内到两个定点Fl、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点Fl、F2间的距离叫做椭圆的焦距.

考点2

椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

22

xy

孑+~b2=1（a>b>0）

22

yx

r+口=1（a>b>0）

ab

1rI

Ma

/

/d^\

图形

/

_L一

Bi―Jfi,x

—a

—b

范围

—b

—awywa

井壬对称性

性质

对称轴：

x轴，

y轴对称中心：

（0,0）

A（—a,0）

Ai（0，—a）

A（a,0）

A2（0,a）

顶点

B（0,—b）

Bi（—b,0）

B2（0,b）

R（b,0）

轴

长轴AA的长为2a

短轴BR的长为2b

焦距

F1F2=2c

离心率

c

e拧（0，1）

a、b、c

的关系

22.2c=a—b

例题精析

例1设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍•又点P（4,1）在椭圆上，求该椭圆的方程.

【答案】

【解析】

421

2+2=

4bb2

22,22

xy亠4xy

■+=1或+=1

20+565+65

22

设该椭圆的方程为扌+討1

22

yx

或2+2=1（a>b>0），依题意，2a=2（2b）a=2b.由于点P（4,1）在椭圆上，所以

ab

42

1或衬孑二

6522422

1.解得b2=5或孑这样归20或65，故该椭圆的方程为20+5=1或孟+命「

x2y2'<

例2在平面直角坐标系中，有椭圆-^-2=1（a>b>0）的焦距为2c,以0为圆心，a为半径的圆•过点一，0作圆的两切

ab

线互相垂直，则离心率e=.

【答案】-2

【解析】如题图，PAPB与圆0相切，由于切线PAPB互相垂直，所以四边形OAP助正方形，0P={20A这样就得

到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值C（e）的值•由已知条件，四边形OAP助正方形，所以0吐,20Aa

所以，寸2a，解得£=¥，即

ca22

22

xy

例3椭圆二+2二1（a>b>0）的右焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点

ab

F,则椭圆离心率的取值范围是.

【解析】（解法1）由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,所以|PF|=|FA|,

22

aa一22

而|FA|=c—c,|PF|wa+c,所以——c

c221

又e=—,所以2e+e>1,所以2e+e—1>0,即（2e—1）（e+1）>0.又0

a2

|FA|,

（解法2）设点P（x,y）•由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,所以|PF|

|PF|

由椭圆第二定义，—L二

a—xc

22

aa

e,所以|PF|=；e—ex=a—ex,而|FA|=；—c,

1a2

x二e（a+c—c）-

2

a

所以a—ex=——c,解得

c

所以2e2+e—1>0,即（2e—1）（e+1）>0.

又0

例4如图，在平面直角坐标系

xOy中，椭圆C:

笃+右=1（a>b>0）的离心率为以原点为圆心，椭圆C的短半轴长

为半径的圆与直线x—y+2=0相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P（0,1）,Q（0,2）•设MN是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T,求证:

点T在椭圆C上.

22

xy

【答案】⑴椭圆c的方程为8+专二1.

yo—1_

⑵证明：

由题意可设MN的坐标分别为（xo,yo），（-xo，yo），则直线PM勺方程为y_—x+1,①xo

yo-2

直线QN的方程为y=—x+2.②—Xo

1xo213yo—42x0+4（3yo-4））

口为82yo-3+22yo-3二8（2y°—3）2

2_32y0—96y°+72_8（2y°—3）2_

8（2yo-3）2_8（2yo-3）2_8（2yo-3）2_

3y-4

yo=亍3.

22

由¥+y?

_1可得x2_8-4y0.

82

二8-4y0+4（3yo"二32y0-96yo+72二8（2yo-3）二1,所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.

x

（证法2）设T（x，y）•联立①②解得x°=

2y—3

因为+2_x所以2：

2+2労三2_j整理得t+

x（3y24）=（2y-3）2,所以；+9y-12y+8二4y2-12y

22

+9,即8+号1.

所以点T坐标满足椭圆

C的方程，即点T在椭圆C上.

【解析】

（1）解：

由题意知

b=

2.

因为离心率e=C=甲，所以~=1—t=1.所以a=2J2.

a2a寸归丿2y

22

所以椭圆c的方程为8+2=1.

⑵证明：

由题意可设MN的坐标分别为（x0,yo）,（—xo,

y0—1

yo），则直线PM勺方程为y=一x+1,①

Xo

直线QN的方程为y二y——务+2・②

22

Xoyo22

由：

+十=1可得xo=8—4yo.

o2

因为8着2+22JM2-警逬产

所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.

课程小结

1•椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点Fl,F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点Fl，F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在.

2.已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论•当椭圆

22

XV22

焦点位置不明确时，可设为m+n=1（m>0，n>0，n），也可设为Ax+By=1（A>0，B>0，且AmB）.

3.求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用

e=—或e

a

1-但］2去整体求解.

2丿