1999考研数二真题与解析.docx
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1999考研数二真题与解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
）
（1）
曲线
x
et
sin2t
，在点
0,1
处的法线方程为
y
et
cost
（2）
设函数y
yx由方程ln
x2
yx3ysinx确定，则dy
dxx0
（3）
x
5
dx
x2
6x13
（4）
函数y
x2
1
3
上的平均值为
在区间
x2
2
2
（5）
微分方程y
4y
e2x的通解为
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是
符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
）
1
cosx,x
0
x是有界函数，则
f（x）在x
0处（）
（1）设f（x）
x
，其中g
x2gx,x
0
（A）极限不存在.
（B）极限存在，但不连续.
（C）连续，但不可导.
（D）可导.
5xsint
sinx
1
（2）
dt,
x
1ttdt，则当x
0时
x是
x的（）
设x
t
0
0
（A）高阶无穷小
（B）低阶无穷小
（C）同阶但不等价的无穷小
（D）等价无穷小
（3）
设f（x）是连续函数，F
x是f（x）的原函数，则（
）
（A）当f（x）是奇函数时，Fx必是偶函数.
（B）当f（x）是偶函数时，Fx必是奇函数.
（C）当f（x）是周期函数时，Fx必是周期函数.
（D）当f（x）是单调增函数时，Fx必是单调增函数.
（4）“对任意给定的0,1，总存在正整数N，当nN时，恒有xna2”是数列xn
收敛于a的（
）
（A）充分条件但非必要条件.
（B）必要条件但非充分条件.
（C）充分必要条件.
（D）既非充分条件又非必要条件.
x
2
x
1
x
2
x
3
2x
2
2x
1
2x
2
2x
3
x，则方程fx
0的根的个数为（）
（5）记行列式
3
3x
2
4x
5
3x
为f
3x
5
4x
4x
3
5x
7
4x
3
（A）1.
（B）2.
（C）3.
（D）4.
三、（本题满分5分）
求lim
1
tanx
1
sinx
xln1
x
x
2
.
x0
四、（本题满分6分）
arctanx
计算1x2dx.
五、（本题满分7分）
y
x2
y2dxxdy0（x0）
求初值问题
的解.
yx1
0
六、（本题满分7分）
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口
见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓斗抓
起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重
力需作多少焦耳的功？
（说明：
①1N1m1J;其中m,N,s,J分别表示
米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不
计.）
七、（本题满分8分）
已知函数y
x3
2，求
x
1
（1）函数的增减区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点
（3）函数图形的渐近线.
八、（本题满分8分）
设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且f10，f11，
f00，证明：
在开区间1,1内至少存在一点，使f3.
九、（本题满分9分）
设函数yxx0二阶可导，且yx0，y01.过曲线yyx上任意一点
Px,y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，
区间0,x上以yyx为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1S2恒为1，求此曲线
yyx的方程.
十、（本题满分6分）
nn
设f
x是区间0,
上单调减少且非负的连续函数，an
fk
fxdx
i1
1
n1,2,L，证明数列an的极限存在.
十一、（本题满分8分）
1
1
1
设矩阵A1
1
1，矩阵X满足A*X
A1
2X，其中A*是A的伴随矩阵，
1
1
1
求矩阵X.
十二、（本题满分
5分）
设向量组1
1,1,1,3
T
T
T
2,
T
，2
1,3,5,1，3
3,2,1,p2，4
6,10,p
（1）p为何值时，该向量组线性无关？
并在此时将向量
T
1,
2,,4
4,1,6,10用
线性表出；
（2）p为何值时，该向量组线性相关？
并此时求出它的秩和一个极大线性无关组
.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析
一、填空题
（1）【答案】y2x10
【详解】点
0,1对应t
0，则曲线在点
0,1
的切线斜率为
dy
dy
etcost
et
sint
cost
sint
dt
et
，
dx
dx
sin2t
2et
cos2t
sin2t
2cos2t
dt
把t
0代入得dy
1
，所以改点处法线斜率为
2，故所求法线方程为y2x10.
dx
2
（2）【答案】1
【详解】y（x）是有方程ln
x
2
y
x3y
sinx所确定，所以当
x0时，y1.
对方程ln
x2
yx3y
sinx两边非别对x求导，得
2x
y
3x2y
x3y
cosx，
x2
y
把x
0和y
1代入得y（0）
dy
1
dxx
0
（3）【答案】
1
ln（x2
6x
13）
4arctanx
3
C
2
2
【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即
x5
x
3
8
dx
x2
6x
dx
x2
6x
dx
x2
6x
13
13
13
1
d（x2
6x
13）
8
dx
2
x
2
6x
13
（x
2
3）4
1
d（x
3）
ln（x
2
6x
13）
4
2
2
x
3
2
（
）1
2
1
ln（x2
6x
13）
4arctanx
3
C
2
2
31
（4）【答案】
12
【详解】按照平均值的定义有
1
3
x2
y
2
3
1
1
dx，
2
1x2
2
2
作变换令x
sint，则dx
costdt，所以
y
1
3sin2tcostdt
2
3sin2tdt
3
1
6
1sin2t
3
16
2
2
（31）3（
1
1
cos2t）dt
（31）
1
t
1
3
sin2t
6
2
2
2
2
6
31
12
（5）【答案】yC1e2x
C21x
e2x,其中C1,C2为任意常数.
4
【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解
.
【详解】原方程对应齐次方程
y"4y0的特征方程为：
2
40,解得12,2
2，
故y"
4y0的通解为y1
C1e2x
C2e2x,
由于非齐次项为
f（x）
e2x,因此原方程的特解可设为
y*
Axe2x,代入原方程可求得
A
1
，故所求通解为
y
y1y*
C1e2x
C21x
e2x
4
4
二、选择题
（1）【答案】（D）
【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.
f（x）
f（0）
1
cosx
1x2
因为f（0）
lim
lim
lim
2
0,
x0
x0
x0
xx
x0xx
f（0）
lim
f（x）
f（0）
limx2g（x）
lim
xg（x）
0,
x0
x
0
x0
x
x0
从而，f（0）存在，且
f（0）
0，故正确选项为（D）.
（2）【答案】（C）
【详解】当x
0有，
（x）
5xsint
dt
sin5x
5
lim
lim
0
t
lim
5x
（x）
sinx
1
1
x
0
x0
x
0
（1t）tdt
（1sinx）sinxcosx
0
5limsin5x
1
1
51
1
5
x
05x
lim
（1
sinx）sinx
e
1
e
limcosx
sinx
0
x0
所以当x
0时
x是
x同阶但不等价的无穷小.
（3）【答案】（A）
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
x
f（t）dt
C,于是
f（x）的原函数F（x）可以表示为F（x）
0
F（x）
x
utx
u
C.
f（t）dtC
f（u）d
0
0
当f（x）为奇函数时，
f（u）
f（u），从而有
x
f（u）duC
x
F（x）
f（t）dtCF（x）
0
0
即F（x）为偶函数.故（A）为正确选项.
（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：
f（x）
x2是偶函数，但其原函数F（x）
1x3
1不是奇函数，可排除
（B）；
3
1x
1sin2x不是周期函数，可排除
f（x）
cos2x是周期函数，但其原函数
F（x）
2
4
（C）；
f（x）x在区间（,）内是单调增函数，但其原函数F（x）1x2在区间（,）
2
内非单调增函数，可排除（D）.
（4）【答案】（C）
【详解】
【方法1】“必要性”：
数列极限的定义
“对于任意给定的
1
0，存在N1
0，使得当nN1
时恒有|xn
a|
1”.由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；
“充分性”：
对于任
意给定的1
0
，取min
1
1
，这时
（0,1）
，由已知，对于此
存在N0，
3
3
使得当n
N时，恒有|xn
a|
2
，现取N1
N
1，于是有当nN
N1时，恒
有|xna|
2
11.
这证明了数列
xn收敛于a.故（C）是正确的.
3
0，总存在N0，使得当n
N时
【方法2】数列极限的精确定义是：
对于任意给定的
|xn
a|
，则称数列
xn
收敛于a.
这里要抓住的关键是
要能够任意小，才能使
|xn
a|任意小.
将本题的说法改成：
对任意
1
2
（0,2）0，总存在N10，使得当
n
N
N1时，有|xn
a|
21，则称数列
xn收敛于a.
由于
1
（0,2）可以任意小，所以
|xna|能够任意小.故两个说法是等价的.
（5）【答案】（B）
【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别.
x
2
x
1
x
2
x
3
2x22x12x22x3
f（x）
24x53x
5
3x33x
4x
4x
3
5x
7
4x
3
2列1列x2
1
0
1
x2
1
0
0
3列1列2x2
1
0
14列
2列2x21
0
0
4列
1列
3x3
1
x2
2
3x31
x2
1
4x
3x7
3
4x
3x7
6
x
2
1
x
2
1
A
B
2x
2
1
x
7
（若A,B,C均为n阶方阵，则
AC）
6
O
C
[（x
2）1
（2x
2）1][
6（x
2）
（1）（x7）]
（x）（5x5）5x（x1）
故f（x）x（5x
5）
0有两个根x1
0,x2
1
，故应选（B）.
三【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则，
【方法1】lim
1tanx
1
sinx
lim（
1
tanx
1
sinx）（
1tanx
1sinx）
x0
xln1
x
x
2
x
0
（xln
1
x
x
2
）（1
tanx
1
sinx）
tanx
sinx
1gsinxg
1
cosx
lim
lim
cosx
x
x0
x（ln1
x
x）g2
x0
2
x
ln
1
x
1lim
1
cosx
洛1
lim
（1
x）sinx
1
2x0ln1xx
2x0
x
2
【方法
2】lim
1
tanx
1sinx
lim
tanxsinx
xln
1
x
x
2
x（ln
1
x
x）g2
x
0
x
0
limtanx（1
cosx）
lim
x（1
cosx）
x）
1lim
1
cosx
x
x02x（ln
1
x
x）
x
02x（ln1
x
2x
0ln1
x
1lim
x2
2
洛1lim
x
=1lim
1
1
2x0ln1xx
2x0
x（1x）2x01x
2
四【详解】采用分部积分法
arctanxdx
arctanxd
（1）
1arctanx
1g
1
dx
1
x2
1
x
x
1
1
x1x2
1
（1
x
2）dx
lnx
1ln（1
x2）
4
x
1
x
4
2
1
4
ln
x
|1
4
1ln2
1
x2
2
五【详解】将原方程化简
dy
y
x2
y2
y
1（y）2
x
dx
x
x
令y
u，则dy
u
xdu，代入上式，得
u
xdu
u
1
u2，
x
dx
dx
dx
化简并移项，得
du
dx，
1
u2
x
由积分公式得
ln（u
1
u2）
ln（Cx），其中C是常数，
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