1999考研数二真题与解析.docx

1、1999考研数二真题与解析1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题 (本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分。把答案填在题中横线上。 )(1)曲线xetsin 2t，在点0,1处的法线方程为yetcost(2)设函数 yy x 由方程 lnx2y x3 y sin x 确定，则 dydx x 0(3)x5dxx26x 13(4)函数 yx213上的平均值为在区间,x222(5)微分方程 y4 ye2x 的通解为二、选择题 (本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。 )1cos x , x

2、0x 是有界函数，则f (x) 在 x0处()(1) 设 f ( x)x，其中 gx2 g x , x0(A)极限不存在 .(B)极限存在，但不连续 .(C)连续，但不可导 .(D)可导 .5 x sin tsin x1(2)dt,x1 t t dt ，则当 x0 时x 是x 的 ()设 xt00(A) 高阶无穷小(B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D) 等价无穷小(3)设 f ( x) 是连续函数， Fx 是 f ( x) 的原函数，则 ()(A)当 f (x) 是奇函数时， F x 必是偶函数 .(B)当 f (x) 是偶函数时， F x 必是奇函数 .(C)当 f (x) 是周

3、期函数时， F x 必是周期函数 .(D)当 f (x) 是单调增函数时， F x 必是单调增函数 .(4) “对任意给定的 0,1 ，总存在正整数 N ，当 n N 时，恒有 xn a 2 ”是数列 xn收敛于 a 的 ()(A) 充分条件但非必要条件 .(B) 必要条件但非充分条件 .(C)充分必要条件 .(D) 既非充分条件又非必要条件 .x2x1x2x32x22x12x22x3x ，则方程 f x0 的根的个数为 ()(5) 记行列式33x24x53x为 f3x54x4x35x74x3(A) 1.(B) 2.(C) 3.(D) 4.三、 (本题满分 5分 )求 lim1tan x1si

4、n xx ln 1xx2.x 0四、 (本题满分 6分 )arctanx计算 1 x2 dx .五、 (本题满分 7分 )yx2y2 dx xdy 0( x 0)求初值问题的解 .y x 10六、 (本题满分 7分 )为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深 30m 30m,抓斗自重 400N , 缆绳每米重 50N ，抓斗抓起的污泥重 2000N ，提升速度为 3m / s,在提升过程中，污泥以 20N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？ (说明： 1N 1m 1J; 其中 m, N , s, J 分别表

5、示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)七、 (本题满分 8 分 )已知函数 yx32 ，求x1(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点(3)函数图形的渐近线 .八、 (本题满分 8 分 )设 函数 f x 在闭 区间 1,1 上 具 有三 阶连 续导 数， 且 f 1 0 ， f 1 1 ，f 0 0 ，证明：在开区间 1,1 内至少存在一点 ，使 f 3.九、 (本题满分 9 分 )设函数 y x x 0 二阶可导，且 y x 0 ， y 0 1.过曲线 y y x 上任意一点P x, y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所

6、围成的三角形的面积记为 S1 ，区间 0, x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S2 ，并设 2S1 S2 恒为 1，求此曲线yy x 的方程 .十、 (本题满分 6 分 )n n设 fx 是区间 0,上单调减少且非负的连续函数， anf kf x dxi 11n1,2, L ，证明数列 an 的极限存在 .十一、 (本题满分 8 分 )111设矩阵A111 ，矩阵 X 满足 A*XA 12 X ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵，111求矩阵 X.十二、 (本题满分5 分 )设向量组 11,1,1,3TTT2,T， 21, 3,5,1 ， 33,2, 1,p 2 ， 46,10,p

7、(1) p 为何值时， 该向量组线性无关？并在此时将向量T1 ,2,44,1,6,10 用线性表出；(2) p 为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析一、填空题(1)【答案】 y 2x 1 0【详解】点0,1 对应 t0 ，则曲线在点0,1的切线斜率为dydyet costetsin tcostsin tdtet，dxdxsin 2t2etcos2tsin 2t2cos2tdt把 t0 代入得 dy1，所以改点处法线斜率为2 ，故所求法线方程为 y 2x 1 0 .dx2(2)【答案】 1【详解】 y(x) 是有方程

8、 lnx2yx3 ysin x 所确定，所以当x 0 时， y 1.对方程 lnx2y x3 ysin x两边非别对 x 求导，得2xy3x2 yx3 ycos x ，x2y把 x0 和 y1代入得 y (0)dy1dx x0(3) 【答案】1ln( x26x13)4arctan x3C22【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即x 5x38dxx26xdxx26xdxx26x1313131d( x26x13)8dx2x26x13( x23） 41d ( x3）ln( x26x13)422x32(） 121ln( x26x13)4arctan x3C223 1(4)【答案】12【详解】按照平

9、均值的定义有13x2y2311dx ，21 x222作变换令 xsin t ，则 dxcostdt ，所以y13 sin 2 t cost dt23 sin2 tdt3161 sin 2 t31 622(31)3(11cos2t) dt(31)1t13sin 2t6222263112(5) 【答案】 y C1e 2xC 2 1 xe2 x ,其中 C1, C 2 为任意常数 .4【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程y 4y 0 的特征方程为：24 0,解得1 2,22 ，故 y 4 y 0的通解为 y1C1e 2 xC2e2 x ,由于非齐次项为

10、f (x)e2 x , 因此原方程的特解可设为y*Axe2 x , 代入原方程可求得A1，故所求通解为yy1 y*C1e 2 xC2 1 xe2 x44二、选择题(1)【答案】 (D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手 .f ( x)f (0)1cosx1 x2因为f (0)limlimlim20,x 0x 0x 0x xx 0 x xf (0)limf ( x)f (0)lim x2g ( x)limxg(x)0,x 0x0x 0xx 0从而， f (0) 存在，且f (0)0 ，故正确选项为 (D).(2)【答案】 (C)【详解】当 x0 有，( x)5 x s

11、in tdtsin 5x5limlim0tlim5x( x)sin x11x0x 0x0(1 t )t dt(1 sin x)sin x cos x05lim sin5x115 115x0 5xlim(1sin x)sin xe1elimcos xsin x0x 0所以当 x0 时x 是x 同阶但不等价的无穷小 .(3)【答案】 (A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性 .xf (t)dtC, 于是f (x) 的原函数 F ( x) 可以表示为 F (x)0F ( x)xu t xuC.f (t)dt Cf ( u)d00当 f (x) 为奇函数时，f ( u)f (u) ，

12、从而有xf (u)du CxF ( x)f (t)dt C F ( x)00即 F(x)为偶函数 . 故(A) 为正确选项 .(B)、 (C) 、 (D) 可分别举反例如下：f ( x)x2 是偶函数，但其原函数 F (x)1 x31不是奇函数，可排除(B)；31 x1 sin 2x 不是周期函数，可排除f (x)cos2 x 是周期函数，但其原函数F (x)24(C)；f (x) x 在区间 ( , ) 内是单调增函数， 但其原函数 F (x) 1 x2 在区间 ( , )2内非单调增函数，可排除 (D).(4)【答案】 (C)【详解】【方法 1】“必要性 ”：数列极限的定义“对于任意给定的

13、10 ，存在 N10 ，使得当 n N1时恒有 | xna |1 ” .由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；“充分性 ”：对于任意给定的 10，取min1, 1，这时(0,1)，由已知， 对于此存在N 0，33使得当 nN 时，恒有 | xna |2，现取 N1N1 ，于是有当 n NN1 时，恒有 | xn a |211 .这证明了数列xn 收敛于 a . 故(C) 是正确的 .30 ，总存在 N 0 ，使得当 nN 时【方法 2】数列极限的精确定义是：对于任意给定的| xna |，则称数列xn收敛于 a .这里要抓住的关键是要能够任意小，才能使| xna | 任意小 .将本题的说法改成

14、：对任意12(0,2) 0，总存在 N1 0，使得当nNN1 时，有 | xna |21 ，则称数列xn 收敛于 a .由于1(0, 2) 可以任意小，所以| xn a |能够任意小 . 故两个说法是等价的 .(5)【答案】 (B)【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别 .x2x1x2x32x 2 2x 1 2x 2 2x 3f ( x)2 4x 5 3x53x 3 3x4x4x35x74x32列 1列 x 2101x 21003列 1列 2x 2101 4列2列 2x 2 1004列1列3x 31x 223x 3 1x 214 x3 x 734x3 x 76x21x2

15、1AB2x21x7( 若 A, B, C 均为 n 阶方阵，则A C )6OC( x2) 1(2 x2)1 6( x2)( 1)(x 7)( x) ( 5x 5) 5x ( x 1)故f ( x) x (5x5)0 有两个根 x10, x21，故应选 (B).三【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则，【方法 1】 lim1 tan x1sin xlim (1tan x1sin x)(1 tan x1 sin x)x 0xln 1xx2x0(x ln1xx2)( 1tanx1sin x)tan xsin x1gsin x g1cos xlimlimcos xxx 0x(ln 1xx)g2x 0

16、2xln1x1 lim1cos x洛 1lim(1x)sin x12 x 0 ln 1 x x2 x 0x2【方法2】 lim1tan x1 sin xlimtan x sin xxln1xx2x(ln1xx)g2x0x0lim tan x(1cos x)limx(1cos x)x)1 lim1cos xxx 0 2x(ln1xx)x0 2x(ln 1x2 x0 ln 1x1 limx22洛 1 limx= 1 lim112 x 0 ln 1 x x2 x 0x (1 x) 2 x 0 1 x2四【详解】采用分部积分法arctanx dxarctanxd ( 1 )1 arctanx1 g1dx1x21xx11x 1 x21( 1x2 )dxln x1 ln(1x2 )4x1x4214lnx|141 ln 21x22五【详解】将原方程化简dyyx2y2y1 ( y) 2xdxxx令 yu ，则 dyux du ，代入上式，得ux duu1u2 ，xdxdxdx化简并移项，得dudx ，1u2x由积分公式得ln(u1u2 )ln(Cx) ，其中 C 是常数，