《数学建模与数学实验》实验指导书.docx
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《数学建模与数学实验》实验指导书
《数学建模与数学实验》实验指导书
实验1Matlab程序设计与作图
一、实验目的
熟悉MATLAB软件的用户环境;了解MATLAB软件的一般命令;掌握MATLAB向量、数组、矩阵操作与运算函数;掌握MATLAB软件的基本绘图命令;掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构,及其编程规范。
通过该实验的学习,使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题,能借助MATLAB软件的绘图功能,对函数的特性进行探讨,广泛联想,大胆猜想,发现进而证实其中的规律。
二、实验学时数与实验类型
3学时,基础性实验
三、实验内容
1.MATLAB软件的数组操作及运算练习;
2.直接使用MATLAB软件进行作图练习;
3.用MATLAB语言编写命令M文件和函数M文件。
四、实验步骤
1.在D盘建立一个自己的文件夹;
2.开启软件平台——MATLAB,将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中;
3.利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length,rand,size和diag的功能和用法;
4.开启MATLAB编辑窗口,键入你编写的M文件(命令文件或函数文件);
5.保存文件(注意将文件存入你自己的文件夹)并运行;
6.若出现错误,修改、运行直到输出正确结果;
7.写出实验报告,并浅谈学习心得体会。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下具体实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→算法与编程→计算结果或图形→心得体会)
1.已知矩阵
,
要求:
(1)屏幕输出A与B;
(2)A的转置A′;(3)求A+B的值;(4)求A-B的值;(5)求4A;(6)求A×B;(7)求A-1.
2.有一函数f(x,y)=x2+sinxy+2y,写一程序,输入自变量的值,输出函数值。
3.用plot,fplot分别绘制函数y=cos(tan(
x))图形。
4.绘制函数
在
上的图形。
5.作出下列曲面的三维图形:
6.建立一个M-文件:
求所有的“水仙花数”,所谓“水仙花数”是指一个三位数,其各位数字的立方和等于该数本身。
例如:
153是一个水仙花数,因为153=13+53+33。
实验2线性规划建模实验
一、实验目的
学习最优化技术和基本原理,了解最优化问题的分类;掌握线性规划的建模技巧和求解方法;熟悉MATLAB软件求解线性规划模型的基本命令;通过范例学习,熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。
通过该实验的学习,使学生掌握最优化技术,认识面对现实生活中的最优化问题,怎样提出假设和建立优化模型,并且学会使用MATLAB软件进行线性规划模型求解的基本命令。
二、实验学时数与实验类型
2学时,基础性实验
三、实验内容
1.最优化问题的提出,提出不同的假设可以建立不同的最优化模型;
2.建立线性规划模型的基本要素和步骤;
3.使用MATLAB命令对线性规划模型进行计算。
四、实验步骤
1.开启MATLAB软件平台,开启MATLAB编辑窗口;
2.根据问题,建立的线性规划模型,并编写求解规划模型的M文件;
3.保存文件并运行;
4.观察运行结果(数值或图形),并不断地改变参数设置观察运行结果;
5.根据观察到的结果和体会,写出实验报告。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论)
1.应用matlab求解以下线性规划模型
2.某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示,如果生产出的柴油机当季不交货,每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元,试建立一个数学模型,要求在完成合同的情况下,使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小。
季度
生产能力(台)
成本(万元/台)
一
25
10.8
二
35
11.1
三
30
11.0
四
10
11.3
3.投资策略
某部门现有资金10万元,五年内有以下投资项目可供选择:
项目A:
从第一年到第四年每年初投资,次年末收回本金且获利15%;
项目B:
第三年初投资,第五年末收回本金且获利25%,最大投资额为4万元;
项目C:
第二年初投资,第五年末收回本金且获利40%,最大投资额为3万元;
项目D:
每年初投资,年末收回本金且获利6%;
问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大?
实验3无约束、非线性优化建模实验
一、实验目的
学习无约束、非线性规划模型的标准形式和建模方法;掌握建立无约束、非线性规划模型的基本要素和求解方法;熟悉MATLAB软件求解无约束、非线性规划模型的基本命令;通过范例学习,了解建立无约束、非线性规划模型的全过程,与线性规划比较其难点何在。
通过该实验的学习,使学生掌握最优化技术,认识面对什么样的实际问题,提出假设和建立优化模型,并且使学生学会使用MATLAB软件进行无约束、非线性规划模型求解的基本命令。
二、实验学时数与实验类型
2学时,基础性实验
三、实验内容
1.建立无约束、非线性规划模型的基本要素和步骤;
2.熟悉使用MATLAB命令对无约束、非线性规划模型进行求解;
3.学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。
四、实验步骤
1.开启MATLAB软件平台,开启MATLAB编辑窗口;
2.根据问题,建立无约束或非线性规划模型,并编写求解规划模型的M文件;
3.保存文件并运行;
4.观察运行结果(数值或图形),并不断地改变参数设置观察运行结果;
5.根据观察到的结果和体会,写出实验报告。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论)
1、求解无约束优化
1)画出该曲面图形,直观地判断该函数的最优解;
2)使用fminunc命令求解,能否求到全局最优解?
2、求解非线性规划
试判定你所求到的解是否是最优?
实验4常微分方程的求解与定性分析
一、实验目的
1.归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法;
2.掌握解析、数值解法,并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析;
3.熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令;
4.通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程;
通过该实验的学习,使学生掌握微分方程(组)求解方法(解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等),对常微分方程的数值解法有一个初步了解,同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令,学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念,掌握数学的分析思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
二、实验学时数与实验类型
2学时,基础性实验
三、实验内容
1.微分方程及方程组的解析求解法;
2.微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法;
3.直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解);
4.利用图形对解的特征作定性分析;
5.建立微分方程方面的数学模型,并了解建立数学模型的全过程。
四、实验步骤
1.开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口;
2.根据微分方程求解步骤编写M文件
3.保存文件并运行;
4.观察运行结果(数值或图形);
5.根据观察到的结果和体会写出实验报告。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论)
1.求微分方程的解析解,并画出它们的图形。
y'=y+2x,y(0)=1,0y''+ycos(x)=0,y(0)=1,y'(0)=0;
2.求微分方程
的数值解,要求编写求解程序。
3.Rossler微分方程组:
当固定参数b=2,c=4时,试讨论随参数a由小到大变化(如a∈(0,0.65))而方程解的变化情况,并且画出空间曲线图形,观察空间曲线是否形成混沌状?
4.导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰,如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程?
乙舰行驶多远时,导弹将它击中?
针对该问题,分别采用解析法与数值解法建立其数学模型,并采用Matlab软件进行求解。
实验5统计方法回归分析建模实验
一、实验目的
学习统计方法回归分析的思想和基本原理;掌握建立回归模型的基本步骤,明确回归分析的主要任务;熟悉MATLAB软件进行回归模型的各种统计分析;通过范例学习,熟悉统计分析思想和建立回归模型的基本要素。
通过该实验的学习,使学生掌握回归分析的统计思想,认识面对什么样的实际问题可以建立回归模型,并且对回归模型作统计分析,同时使学生学会使用MATLAB软件进行回归分析和计算的基本命令,了解统计软件的功能和作用;熟悉处理大量数据的要领和方法。
二、实验学时数与实验类型
3学时,基础性实验
三、实验内容
1.线性回归模型的建立与分析步骤(问题假设→模型→参数估计→模型检验→确定最优回归方程→预测);
2.非线性回归模型的建立与分析步骤;
3.使用MATLAB命令对回归模型进行计算与分析(包括模型检验与预测);
4.利用某些数值与图形对统计特征作定性分析。
四、实验步骤
1.开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口;
2.打开其它数据存放的软件平台,如excel、txt等软件;
3.在Matlab平台上调用数据文件;
4.根据问题和数据,建立的线性(或非线性)回归模型,并编写统计分析的M文件;
5.保存文件并运行;
6.观察运行结果(数值或图形);
7.根据观察到的结果和体会,写出实验报告。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论)。
1.某校60名学生的一次考试成绩如下:
93758393918584827776
77959489918886839681
79977875676968848381
75668570948483828078
74737670867690897166
86738094797877635355
1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度,画出直方图;
2)检验分布的正态性;
3)若检验符合正态分布,估计正态分布的参数并检验参数。
2.观测物体降落的距离s与时间t的关系,得到数据如下表,求s关于t的回归方程
。
3.电影院调查电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响,得到下面的数据,试建立回归模型,并进行检验(写出模型检验的依据),并预测电视广告费用为1,报纸广告费用为6时的周收入(写出预测的程序指令)。
每周收入
96
90
95
92
95
95
94
94
电视广告费
1.5
2.0
1.5
2.5
3.3
2.3
4.2
2.5
报纸广告费
5.0
2.0
4.0
2.5
3.0
3.5
2.5
3.0
实验6插值与拟合建模实验
一、实验目的
了解插值与拟合的基本原理和方法;掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法;通过范例展现求解实际问题的初步建模过程;
通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题,提高探索和解决问题的能力。
这对于学生深入理解数学概念,掌握数学的思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验学时数与实验类型
2学时,基础性实验
三、实验内容
1.编写插值方法的函数M文件;
2.用MATLAB中的函数作函数的拟合图形;
3.针对实际问题,试建立数学模型,并求解。
四、实验步骤
1.开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口;
2.根据各种数值解法步骤编写M文件;
3.保存文件并运行;
4.观察运行结果(数值或图形);
5.写出实验报告,并浅谈学习心得体会。
五、实验要求与任务
根据实验内容和步骤,完成以下具体实验,要求写出实验报告(实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会)。
1.天文学家在1914年8月的7次观测中,测得地球与金星之间距离(单位:
米),并取得常用对数值,与日期的一组历史数据如下表:
日期(号)
18202224262830
距离对数
9.961779.954369.946819.939109.931229.923199.91499
由此推断何时金星与地球的距离(米)的对数值为9.93518?
2.在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出,船的吃水深度为5英尺,在矩形区域(75,200)*(-50,150)里的哪些地方船要避免进入。
x
y
z
129140103.588185.5195105
7.5141.52314722.5137.585.5
4868688
x
y
z
157.5107.57781162162117.5
-6.5-81356.5-66.584-33.5
9988949
(1)输入插值基点数据;
(2)在矩形区域(75,200)x(-50,150)作二维插值;
(3)作海底曲面图;
(4)作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线。
3.用电压V=10伏的电池给电容器充电,电容器上t时刻的电压为
,其中V0是电容器的初始电压,
是充电常数。
试由下面一组t,v数据确定V0和
。
t(秒)
0.51234579
v(伏)
6.366.487.268.228.668.999.439.63
实验7人口增长模型及其数量预测
一、实验目的
学习由实际问题去建立数学模型的全过程;训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题;应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能,设计matlab程序来求解其中的数学模型;提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力。
通过完成该实验,学习和实践由简单到复杂,逐步求精的建模思想,学习如何建立反映人口增长规律的数学模型,学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时,如何调整初值,变换函数和数据使优化迭代过程收敛。
二、实验学时数与实验类型
2学时,综合性实验
三、实验内容
1.数学建模的基本方法;
2.查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型;
3.Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理;
4.误差分析与模型检验。
四、实验步骤
1.分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型;
2.利用Matlab软件求解上述两个模型;
3.设计数据拟合方法;
4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形),并进行误差分析;
5.利用至少两种模型预测人口数量;
6.分析、整理和总结,写出实验报告。
五、实验要求与任务
从1790—1990年间美国每隔10年的人口记录如下表所示:
用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进,并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。
提示1:
Malthus模型的基本假设是:
人口的增长率为常数,记为r。
记时刻t的人口为x(t)(即x(t)为模型的状态变量),且初始时刻的人口为
,于是得到如下微分方程:
提示2:
阻滞增长模型(或Logistic模型)由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,人口增长到一定数量后,增长率会下降,假设人口的增长率为x的减函数,如设r(x)=r(1-x/xm),其中r为固有增长率(x很小时),xm为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),于是得到如下微分方程:
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