相似三角形的相关习题和知识点.docx

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相似三角形的相关习题和知识点

类型一：

相似三角形的判定方法

Ⅰ

（一）.三角形中的平行线

①定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；

②推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

【经典例题1】如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：

___________

【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿DE向下翻折，使点A落在BC边上，且DE平行于BC，则下列结论中不成立是（）

A、角AED=角CB、AD/DB=DE/BC

C、DE=1/2BCD、三角形ADB是等腰三角形

【搭配练习2】如图在□ABCD中P，Q三等分AC，DP的延长线交BC于E，EQ的延长线交AD于F，已知BC=18，求AF的长。

（2）两角对应相等，三角形相似

【经典例题1】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，

。

【搭配习题】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？

说明理由．

（3）两边对应成比例，夹角相等，三角形相似

【典型例题1】已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD

求证：

△DBE∽△ABC

【典型例题2】如图，△ABC中，若a∶b∶c=4∶5∶6,

求证：

∠ACB=2∠A

【搭配练习1】如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：

△ABC∽△CBD。

B

【搭配练习2】如图，Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC'交斜边于点E，CC'的延长线交BB'于点F．

（1）证明：

△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=，∠CAC'=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

（4）三边对应成比例，三角形相似

【经典例题1】下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm,30cm,36cm，要估做一个与它相似的铁质三角形框架，现有长为27cm,45cm,的两根铁材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（）

A,0B,1C,2D,3

【搭配练习2】如图：

四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，

（1）求证：

△AEF∽△CEA。

（2）求证：

∠AFB+∠ACB=45°。

【搭配练习3】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

（1）　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（2）　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由

类型二：

相似三角形的性质

（1）相似证线段成比例

【典型例题1】如图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,

则AM∶AN=________,BN∶NC=________

【典型例题2】已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：

DE2=BE·CE.

【搭配练习1】如图四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：

OG2=GE·GF.

【搭配练习2】已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。

求证：

（1）MA2=MDME；

（2）

（2）相似证角相等

【经典例题1】已知：

如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。

求证：

∠AEF=∠FBD

【搭配练习1】如图一,等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC,连结AE.

（1）求证:

AE//BC;

（2）如图二,将

（1）中等边三角形ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作三角形EDC该成相似于三角形ABC.请问:

是否仍有AE//BC?

证明你的结论。

（3）相似证线段相等

【经典例题1】直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：

FC=FG

【搭配练习1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB。

（1）求证：

CE=EF。

（2）求EG的长。

【搭配练习2】已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F。

求证：

OE=OF。

（4）相似得到两线平行

【经典例题】已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：

AF∥CD

【搭配练习】如图，△ABC中，P是中线AD上的任意一点，BP，CP的延长线分别与AC，AB相交于E，F，求证：

EF∥BC

（四）相似中的面积与周长比

【经典例题1】.已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长比，如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.

【搭配练习1】如图，△ABC中，AD∥BC，连结CD交AB于E，且AE∶EB=1∶3，过E作EF∥BC，交AC于F，S△ADE=2cm2，求S△BCE，S△AEF.

【搭配练习2】如图，在梯形AGHB中，AB∥CD∥EF∥GH，且面积S1=S2=S3

求证：

AB2+GH2=CD2+EF2

类型三：

相似中常见的图形

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；

（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

（4）当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．

【搭配练习】1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.

2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3,则BM=______.

4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.

6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.

7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.

9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.

10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.

11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.

12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.

13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,

则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.

14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.

15.已知:

如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:

ΔAEF∽ΔACB.

16.已知:

如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.

求证:

AB·BC=AC·CD.

17．已知:

如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP。

求证:

（1）CE2=AE·EB;

（2）AE·EB=ED·EP

18.已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：

△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。

类型五：

相似中常用的辅助线作法

【能力提升部分】

1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．

（1）请你用含的代数式表示．

（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？

2.如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．

（1）求的面积；

（2）求矩形的边与的长；

（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．

3.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？