初中数学常用的概念公式和定理.docx

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初中数学常用的概念公式和定理

初中数学常用的概念、公式和定理

1.  整数（包括:

正整数、0、负整数）和分数（包括:

有限小数和无限环循小数）都是有理数.

如:

－3,,0.231,0.737373…,,.无限不环循小数叫做无理数..如:

π,－,0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）.有理数和无理数统称为实数.

2.  绝对值:

a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=－a.

如:

丨－丨=;丨3.14－π丨=π－3.14.

3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:

0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.

4.把一个数写成±a×10n的形式（其中1≤a<10,n是整数）,这种记数法叫做科学记数法.

如:

－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位.

如:

已知=0.4858,则=48.58;已知=1.558,则=0.1588.

6.整式的乘除法:

①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.

②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项

分别除以这个单项式.

7.幂的运算性质:

①am×an=am+n.②am÷an=am－n.③（am）n=amn.④（ab）n=anbn.⑤（）n=n.⑥a－n=n,特别:

（）－n=（）n.⑦a0=1（a≠0）.

如:

a3×a2=a5,a6÷a2=a4,（a3）2=a6,（3a3）3=27a9,（－3）－1=－,5－2==,（）－2=（）2=,（－3.14）0=1,（－）0=1.

8.乘法公式（反过来就是因式分解的公式）:

①（a+b）（a－b）=a2－b2.②（a±b）2=a2±2ab+b2.③（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3.④（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3;a2+b2=（a+b）2－2ab,（a－b）2=（a+b）2－4ab.

9.选择因式分解方法的原则是:

先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:

二项式用平方差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法（特殊的用完全平方公式）,三项以上用分组分解法.注意:

因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

10.分式的运算:

乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法应先把分母分解因式,再通分（不能去分母）.注意:

结果要化为最简分式.

11.二次根式:

①（）2=a（a≥0）,②=丨a丨,③=×,④=（a>0,b≥0）.

如:

①（3）2=45.②=6.③a<0时,=－a.④的平方根=4的平方根=±2.

12.一元二次方程:

对于方程:

ax2+bx+c=0:

①求根公式是x=,其中=b2－4ac叫做根的判别式.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.注意:

当Δ≥0时,方程有实数根.③若方程有两个实数根x1和x2,则

x1+x2=－,x1x2=,并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a（x－x1）（x－x2）.④以a和b为根的一

元二次方程是x2－（a+b）x+ab=0.

13.解分式方程（去分母或换元）和无理方程（两边平方或换元）必须检验.形如:

的方程组,用代入法解;形如:

的方程组,先把一个方程分解为两个一次方程,再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组,再用代入法分别解这两个方程组.

14.不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向.

15.平面直角坐标系:

①各限象内点的坐标如图所示.

②横轴（x轴）上的点,纵坐标是0;纵轴（y轴）上的点,横坐标是0.

③关于横轴对称的两个点,横坐标相同（纵坐标互为相反数）;

关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同（横坐标互为相反数）;

关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数.

16.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标）.当k>0时,y随x的增大而增大（直线从左向右上升）;当k<0时,y随x的增大而减小（直线从左向右下降）.特别:

当b=0时,y=kx又叫做正比例函数（y与x成正比例）,图象必过原点.

17.反比例函数y=（k≠0）的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限（从左向右降）;当k<0时,双曲线在二、四象限（从左向右上升）.因此,它的增减性与一次函数相反.

18.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线（c是抛物线与y轴的交点的纵坐标）.①a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.②顶点坐标是（－,）,对称轴是直线x=－.

特别:

抛物线y=a（x－h）2+k的顶点坐标是（h,k）,对称轴是直线x=h.

注意:

求解析式的设法①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标（h,k）,则设为顶点式y=a（x－h）2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标（x1,0）和（x2,0）,则设为交点式y=a（x－x1）（x－x2）.

19.抛物线与x轴的位置关系:

对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ<0时,它与x没有交点.②Δ=0时,它与x轴只有一个交点（与x轴相切）.③Δ>0时,它与x轴有两个交点（x1,0）和（x2,0）,其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.

20.统计初步:

（1）概念:

①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.②在一组数据中,出现次数最多的数（有时不止一个）,叫做这组数据的众数.③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.

（2）公式:

设有n个数x1,x2,…,xn,那么:

①平均数=（x1+x2+…+xn）.②方差S2=[（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2.（是整数时用）

③S2=[（x12+x22+…+xn2）－n（）2].注:

各数据的数位较少或平均数是分数时,用此公式.

④若将n个数x1,x2,…,xn各减去一个适当的数a,得到一组新数x1,,x2,,…,xn,,那么原来那组数的方差S2=这组新数的方差,平均数=a+,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准差

（3）频率:

①把一组数分成若干个小组,组距=（最大值－最小值）÷组数（求组数时,用收尾

法取整数）,这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总

个数的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于1.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1.

21.锐角三角函数:

①设∠A是RtΔ的任一锐角,则∠A的正弦:

sinA=,∠A的余弦:

cosA=,∠A的正切:

tanA=,∠A的余切:

cotA=.

并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.00,ctgA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小.

②余角公式:

sin（900－A）=cosA,cos（900－A）=sinA,tg（900－A）=ctgA,ctg（900－A）=tgA.

③特殊角的三角函数值:

sin300=cos600=,sin450=cos450=,sin600=cos300=,sin00=

cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300=,tg00=ctg900=0.

④斜坡的坡度i==.设坡角为α,则i=tgα=.

22.三角形:

（1）在一个三角形中:

等边对等角,等角对等边.

（2）.证明两个三再形全等的方法有:

SAS,AAS,ASA,SSS,HL.（3）在RtΔ中,斜边上的中线等于斜边的一半.（4）证明一个三角形是直角三角形的方法有:

①先证明有一个角等于900.

②先证明最长边的平方等于另两边的平方和.③先证明一条边的中线等于这条边的一半.（5）三角形的中位线平行于笫三边,并且等于笫三边的一半.（6）等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合.

23.四边形:

（1）n边形的内角和等于（n－2）1800,外角和等于3600.

（2）平行四边形的性质:

对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.

（3）证明一个四边形是平行四边形的方法有:

①先证两组对边平行.②先证两组对边相等.

③先证一组对边平行且相等.④先证两条对角线互相平分.⑤先证两组对角分别相等.

（4）矩形的对角线相等且互相平分;菱形的对角线互相垂直平分,并且四条边相等.

（5）证明一个四边形是矩形的方法有:

①先证明它有三个角是直角.②先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等.

（6）证明一个四边形是菱形的方法有:

①先证明它的四条边相等.②先证它是平行四边形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直.

（7）正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质.

（8）梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半.

（9）轴对称图形有:

线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.中心对称图形有:

线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆.

24.证明两个三角形相似的方法有:

①先证两组对应角相等.②先证两边对应成比例并且夹角相等.③先证三边对应成比例.④先证斜边和一条直角边对应成比例.相似三角形的性质:

对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于相似比.面积的比等于相似比的平方.

25.平行切割定理:

①如图1,DE∥BC=.

②如图2,若AB∥CD∥EF则=,=.

26.射影定理:

如图3,ΔABC中,若∠ACB=900,

CD⊥AB,则:

①AC2=AD·AB.②BC2=BD·BA.③AD2=DA·DB.

27.圆的有关性质:

（1）垂径定理:

如果一条直线具备以下五个性质中的

任意两个性质:

①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;

⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:

具备①,③时,弦不能是直径.

（2）两条平行弦所夹的弧相等.（3）在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等.（4）圆心角的度数等于它所对的弧的度数.（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（6）圆周角等于它所对的弧的度数的一半.（7）弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.（8）同弧或等弧所对的圆周角相等.（9）在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.（10）.900的圆周角所对的弦是直径.（11）圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.

28.直线和圆的位置关系:

（1）若⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则:

①dr直线L和⊙O相离.

（2）切线的判定定理:

经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.反之:

切线垂直过切点的半径.（3）切线长定理,弦切角定理,相交弦定理及其推论,切割线定理及其推论.（4）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.

（5）RtΔ的内切圆的半径R内=,任意多边形的内切圆的半径R内=.

（6）圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和.

29.圆和圆的位置关系:

（1）设两圆半径为R和r,圆心距为d,则:

①d>R+r两圆外离.

②d=R+r两圆外切.③R－r

⑤d

30.圆中常作的辅助线:

（1）两圆相交,常作公共弦,连心线.

（2）两圆相切,常作公切线,连心线.（3）已知切线,常过切点作半径.（4）已知直径,常作直径所对的圆周角.（5）求解有关弦的问题,作弦心距.（6）弧的中点常和圆心连结.

31.各顶点等分圆周正n边形各边相等,各角相等,且每个内角=度,中心角=外角=度.

32.面积公式:

①S正Δ=×（边长）2.②S平行四边形=底×高.③S菱形=底×高=×（对角线的积）

④S圆=πR2.⑤C圆周长=2πR.⑥弧长L=.⑦S扇形==LR.⑧S圆柱侧=底面周长×高.

⑨S圆锥侧=×底面周长×母线=πrR,并且2πr=（如上图）.

初中代数

【实数的分类】

【自然数】

表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数

【质数与合数】

一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。

一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。

【相反数】

只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。

零的相反数是零。

【绝对值】

一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

【倒数】

1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。

零没有倒数。

【完全平方数】

如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。

【方根】

如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。

【开方】

求一数的方根的运算叫做开方。

【算术根】

正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。

【代数式】

用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。

【代数式的值】

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。

【代数式的分类】

【有理式】

只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式

【无理式】

根号下含有字母的代数式叫做无理式

【整式】

没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式　

【分式】

除式中含字母的有理式叫分式

初中数学概念总结（几何部分）

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半L=（a+b）÷2S=L×h

83

（1）比例的基本性质如果a:

b=c:

d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:

b=c:

d

84

（2）合比性质如果a／b=c／d,那么（a±b）／b=（c±d）／d

85（3）等比性质如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0）,那么

（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定