三角形复习学案.docx

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三角形复习学案

平行线与三角形

（一）梳理知识，形成网络

1.三角形的概念和三角形中的主要线段：

三角形的中线、三角形的角平分线，三角形中位线和三角形的高。

1.由不在同一平面上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫做三角形.

2.组成三角形的线段叫做三角形的边。

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角。

3.三角形的角平分线：

三角形的角平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合）

4.三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

（三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形）

5.三角形的高：

从三角形的顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

6.中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2.）三角形的三边关系和三角关系以及三角形外角和内角的关系。

1.定理三角形两边的和大于第三边。

2.推论三角形两边的差小于第三边。

3.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。

4.推论1直角三角形的两个锐角互余。

5.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

6.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

特殊三角形

一、等腰三角形

1、等腰三角形定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

2、等腰三角形性质

（1）等腰三角形的两腰相等、两个底角相等

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

3、等腰三角形判定

（1）定义：

有两边相等的三角形是等腰三角形。

（2）判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形

二、等边三角形

1、等边三角形定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形

2、等边三角形性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

3、等边三角形判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）三条边都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形

1、直角三角形：

如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2、直角三角形性质：

（1）在直角三角形中，两个锐角互余

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（4）直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么

3、直角三角形判定

（1）根据定义判定

（2）两内角互余的三角形是直角三角形.

（3）如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

四、勾股定理

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：

在△ABC中，∠C=90°（已知）

2、勾股定理的应用：

（1）已知两边（或两边关系）求第三边；

（2）已知一边求另两边关系；

（3）证明线段的平方关系；

（4）作长为

的线段.

3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

1．先找出最大边（如c）

2．计算

与

，并验证是否相等

若

，则△ABC是直角三角形

若

，则△ABC不是直角三角形

3.）三角形按角可分为：

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

4.）全等图形及全等三角形的概念。

5全等三角形的性质和条件。

①SSS，②SAS，③ASA，④AAS

1.全等三角形的对应边、对应角相等

2.边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

3.角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

4.推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

5.边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

6.斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

平行线知识要点

一．余角、补角、对顶角

1，余角：

如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.

2，补角：

如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.

3，对顶角：

如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

4，互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3.

5，互为补角的有关性质：

①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.

6，对顶角的性质：

对顶角相等.

二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质

7，同一平面内两条直线的位置关系是：

相交或平行.

8，“三线八角”的识别：

三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.

正确认识这八个角要抓住：

同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.

三．平行线的性质与判定

9，平行线的定义：

在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.

10，平行线的性质：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

11，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

12，两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.

13，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

14，平行线的判定：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角.

15，常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.

四．尺规作图

16，只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.

◆典例精析

【例题1】判断题：

（正确的画“∨”，错误的画“×”）

（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（）

（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）

（3）等腰三角形两腰上的高相等；（）

（4）等边三角形的三条高相等；（）

（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）

（6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）

评析：

本题主要考查等腰三角形的性质与判定．

（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．

（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．

答案：

（1）∨

（2）×（3）∨（4）∨（5）×（6）×

评析：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．

【例题2】

（1）已知：

a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断△ABC的形状．

（2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：

△ABC为直角三角形．

解题思路：

由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．

（1）解：

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，

∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，

∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，

∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形．

（2）证明：

∵CD⊥AB，

∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB，

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2．

∴△ABC为直角三角形．

评析：

（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方．

（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，先分别在Rt△ACD和Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形．

【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值．

解题思路：

（1）木棍在滑动过程中，OP始终是Rt△AOB斜边中线，故为斜边AB的一半，而AB的长为定长，所以OP不变．

（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，△AOB的面积为最大，所以当OP⊥AB（即OA=OB）时，△AOB面积最大．

解：

（1）不变．理由：

在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变．

（2）当△AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，如图，若h与OP不相等，则总有h

此时，S△AOB=

AB·h=

×2a·a=a2．

所以△AOB的面积最大值为a2．

评析：

（1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系．

（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得．

◆探究实践

【问题1】已知△ABC的两边AB、AC长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

解题思路：

（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，再用判别式和根与系数的关系检验．

（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．

解：

（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：

∵AC2+AB2=（AC+AB）2-2AC·AB．

∴25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），

∴k1=-5，k2=2．

当k=-5时，方程的两根为负值，不合题意，舍去．

∴k=2，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

（2）∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴AC≠AB．

当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4．

k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC的周长为14．

k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6．△ABC的周长为16．

评析：

这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解．另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去．

例2、已知：

如图：

BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠C=70，求∠ADE的度数。

解：

∠1=∠2（已知）

ED∥BC（内错角相等，两直线平行）。

由图可知，ED、BC被AC所截，

∠C=∠ADE（两直线平行，同位角相等）。

又

∠C=70（已知），

∠ADE=70。

例3、如图BE平分∠ABC，EC平分∠BCD，∠E=90°那么AB∥CD吗？

为什么？

解：

∠E=90°（已知），

∠1+∠2=90°（三角形内角和性质）。

又

BE平分∠ABC（已知），EC平分∠BCD（已知）。

∠ABE+∠DEC=90°（角平分线的定义）。

∠ABC+∠BCD=180°（等量代换）

AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。

例4、如图，已知

，

于D，

为

上一点，

于F，

交CA于G.求证

.

例5、已知：

如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？

试说明理由．