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悬臂梁应变测量
悬臂梁应变测量
摘要：
在航空、机械及材料研究领域中，零件的强度是一个很重要问题。
研究强度问题的途径之一便是实验应力分析。
本课程设计便是利用实验应力分析中的电测法来测定弹性元件等强度悬臂梁在力的作用下产生的应变。
具体方法是通过在悬臂梁上粘贴三个应变片，它们均分布在悬臂梁的上表面上，其中一应变片位于纵向轴的中心线上，其余两个应变片分别位于轴中心线的两侧等距离处，且靠近变动端；然后通过增减砝码的个数改变所加的力，利用数字万用表记录、读取数据。
为了减小实验误差，本实验采用多次测量求平均值的方法，并对实验数据利用Excel进行了拟合，作出了应变片的电阻变化值与载荷之间的关系图，再根据有关公式，最终得出在弹性限度内悬臂梁的应变与它所受到的外力大小成线性关系。
关键词：
电测法；应变片；悬臂梁；数字万用表
引言
研究强度问题可以有两种途径，即理论分析和实验应力分析。
实验应力分析是用实验方法来分析和确定受力构件的应力、应变状态的一门科学，通过实验应力分析可以检验和提高设计质量、工程结构的安全性和可靠性，并且可以达到减少材料消耗、降低生产成本和节约能源的要求。
实验应力分析的方法很多，有电测法、光测法、机械测量方法等。
本实验主要是利用电测法。
电测法有电阻、电容、电感测试等多种方法，其中以电阻应变测量方法应用较为普遍。
电阻应变测量方法是用电阻应变片测定构件表面的应变，再根据应变--应力关系确定构件表面应力状态。
工程中常用此方法来测量模型或实物表面不同点的应力，它具有较高的灵敏度和精度。
由于输出的是电信号，易于实现测量数字化和自动化，并可进行遥测。
电阻应变测量可以在高温、高压、高速旋转、强磁场、液下等特殊条件下进行，此外还可以对动态应力进行测量。
由于电阻应变片具有体积小、质量轻、价格便宜等优点，且电阻应变测试方法具有实时性、现场性，因此它已成为实验应力分析中应用最广的一种方法。
它的主要缺点就是，一个电阻应变片只能测量构件表面一个点在某一个方向的应变，不能进行全域性的测量
。
本实验为悬臂梁的应变测量，所谓的悬臂梁，即一端固定，另一端可以动的弹性元件。
应变是描述一点处变形程度的力学量，它是由载荷、温度、湿度等因素引起的物体局部的相对变形，主要有线应变和切应变两类。
电阻应变片是一种将机械构件上应变的变化转换为电阻变化的传感元件。
本实验使用的方法为电测法，通过逐级加减载荷改变悬臂梁所受的力，使之发生不同的形变，用电阻应变片作为传感器，将微小的形变这个非电学量转换成电学量电阻的变化来测量悬臂梁的主应变。
在该实验中电阻的变化量是通过数字万用表直接读数处理得到的，之后通过应力与应变之间的关系得出悬臂梁所受的正应力，利用Excel制作出拟合曲线进行分析。
本实验主要目的在于了解悬臂梁、电阻应变片的结构及工作原理，掌握数字万用表测电阻的方法及原理，理解灵敏度对测量结果的影响，最终利
用数字万用表测量出应变片电阻的微小变化，进而测定悬臂梁的应变。
实验目的与要求
（1）了解应变测量的基本方法：
电测法；
（2）掌握悬臂梁的结构及应变特性；
（3）了解应变片的工作原理；
（4）了解数字万用表的原理及使用，掌握用数字万用表测应变片电阻的微小变化；
（5）学会利用Excel图表处理物理实验数据，掌握最小二乘法处理实验数据。
实验原理和方法
1、应变片的工作原理
（1）应变片的工作原理
电阻应变片工作原理是基于金属导体的应变效应，即金属导体在外力作用下发生机械变形时，其电阻值随着所受机械变形（伸长或缩短）的变化而发生变化。
变化值和应变片粘贴的构件表面的应变成正比，最后通过测量仪器测电阻变化，进而得到构件表面的应变。
现在对金属丝电阻与应变之间的关系作以下简单分析。
由物理学可知，长度为L、横截面积为A和电阻率为ρ的均匀金属丝，其电阻值R由下式给出：
（1）
当金属丝受到轴向拉伸（或压缩）作用时，其电阻值R的变化，可由式
（1）的微分得到，对式
（1）进行微分，并除以总电阻R，得
（2）
式中：
——为导线长度的相对变化，即应变
；dA为金属丝中横向应变所造成的横截面面积的改变。
由于横向应变等于-με，如果把金属丝受轴向应变之前的直径记为
那么受应变以后的直径为：
（3）
式中：
—为金属丝材料的泊松比。
由式（3）可得
（4）
将上式代入式
（2）得
（5）
令
（6）
于是
（7）
称为单根金属丝的应变灵敏系数
。
式（7）表明了金属丝的电阻变化率与其轴向应变之间的关系，如果
为常数，则关系为线性的。
应变片就是利用金属丝的这种电阻应变效应制成的。
式（5）表明，导体（如金属丝）的应变灵敏度是由两个因素引起的，一个是导体尺寸的改变，由（
）项来表示；另一个是电阻率的改变，由
项来表示。
（2）电阻应变片的构造
电阻应变片一般由敏感栅、引线、基底、覆盖层和粘结剂构成，其构造简图
如图1。
①敏感栅是用金属丝制成的应变转换元件，是构成电阻应变片的主要部分。
为了使应变片有足够的电阻值，把一定长度的金属丝做成栅状。
②引线作为测量敏感栅电阻值时与外部导线连接之用，一般采用直径0.15～0.3mm的镀银、镀锡或镀合金的软铜丝。
制片时先将其与敏感栅焊接在一起。
因为敏感栅直径比引出线细得多，焊接处容易折断，使用时必须特别小心。
③基底的作用是保持敏感栅的几何形状和相对位置，而盖层是用来护敏感栅的。
基底必须能保证金属丝和被测试件之间的绝缘，并且要求基底有一定的机械强度、热稳定性及易于粘贴。
④粘贴剂是用来将敏感栅固结在覆盖层和基底之间的，粘结剂粘结强度要高，绝缘性要好。
图1电阻应变片基本构造示意图
2、电测法（电阻应变测量）的原理及方法
（1）电测法基本原理
电测法基本原理，是将金属丝等制成的电阻应变片贴在构件待测应变处，当构件受力变形时，金属丝亦随之伸缩，因而其电阻也随之改变。
电阻改变量与金属丝的线应变（即欲测应变）之间存在一定的关系。
通过电阻应变仪将电阻改变量测出，进而可得到所测部位的应变。
电测法使用的主要仪器是电阻应变仪及其传感元件——电阻应变片[3]。
电阻应变测量技术是用电阻应变片测量构件的表面应变，再根据应力应变的关系式，确定构件表面应力状态的一种实验应力分析方法
[4]。
用电阻应变片测量应变的大致过程如下：
将作为检测元件的电阻应变片粘贴或安装在被测构件表面上，然后接入测量线路（该实验中用的是数字万用表）。
当构件——悬梁臂变形时，电阻应变片的栅丝随之变形，导致其电阻值发生相应变化，此变化是构件表面应变的函数。
测量线路由于应变片电阻变化而产生的输出信号经过放大线路放大后，由指示仪表或记录仪器（数字万用表）指示[5]。
这是一种将机械量转换为电量的方法，其转换过程如图2所示：
图2电测法测量过程示意图
（2）应变与应力之间的关系
图3测量等强度悬臂梁应变装置图
图3为等强度悬臂梁应变测量实验装置图。
A、B、C为三个待测应变片，它们按如图3所示位置粘贴在悬臂梁上。
将试件固定在实验台架上，梁在纯弯曲时，同一截面上表面产生压应变，下表面产生拉应变，上下表面产生的拉压应变绝对值相等。
此时，可得到不同横截面的正应力
，计算公式：
（8）
式中
——为应变片发生的应变；
——为所用悬臂梁材料的弹性模量。
截面的弯矩为：
（9）
式中：
——力的作用点到测试点的距离，
——弯矩，
——为对悬臂梁所施加的力，
抗弯截面矩量为：
（10）
式中：
——抗弯截面矩量，
——悬臂梁的厚度，
——为悬臂梁根部的宽度。
故被测构件所受的正应力与应变之间的关系式为：
（11）
实验仪器
电阻应变片、等强度铝合金悬臂梁、数字万用表（型号：
Aligent34401A6
数字万用表）、游标卡尺、导线（细铜丝）、电源、五个质量均为1kg的相同砝码。
实验步骤
1、测量悬臂梁的有关尺寸，确定试件的有关参数。
包括悬臂梁的长度
、
厚度
以及根部宽度
。
2、实验梁的贴片：
A应变片位于梁水平上平面的纵向轴对称中心线上，且在悬臂梁的变形端；B、C应变片位于梁水平上平面的纵向轴对称中心线的垂线上，且它们分列于中心线两侧，二者到中心轴线的距离相等。
3、将粘贴好应变片的悬臂梁固定在实验台上，加载点位于悬臂梁的轴对称中心，且选在了变形端。
4、将悬臂梁上的应变片A的两根引线用导线分别接到数字万用表的两个表笔上，待数字万用表示数稳定时，读取并记录电阻值；本实验取初载荷F0=0，Fmax=50N，△F=10N，以后每增加载荷10N,记录一次万用表示数，即电阻值R；共应加载五次，然后卸载。
再重复测量，共测三次。
并将实验数据记录到数据记录表中。
5、再依次分别将应变片B、C接到数字万用表上，均重复步骤（4）的操作。
6、实验完毕，卸载。
实验台和仪器恢复原状。
实验数据的处理及结果分析
1、测应变片在不同载荷下的电阻值，将测量数据记入下列表格中。
表1不同载荷下应变片A的电阻值数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.828
120.828
120.828
1
1
120.849
120.849
120.849
0.021
2
2
120.869
120.869
120.869
0.041
3
3
120.888
120.888
120.888
0.060
4
4
120.908
120.908
120.908
0.080
5
5
120.927
120.927
120.927
0.099
表2不同载荷下应变片B的电阻值数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.885
120.886
120.886
1
1
120.906
120.906
120.906
0.020
2
2
120.924
120.924
120.924
0.038
3
3
120.943
120.942
120.943
0.057
4
4
120.961
120.960
120.961
0.075
5
5
120.978
120.978
120.978
0.092
表3不同载荷下应变片C的电阻值数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.677
120.675
120.676
1
1
120.697
120.696
120.697
0.021
2
2
120.717
120.716
120.717
0.041
3
3
120.738
120.738
120.738
0.062
4
4
120．758
120.758
120.758
0.082
5
5
120.779
120.778
120.779
0.103
（注:
本实验所用应变片的型号为BX120-2AA,电阻值R为：
119.9±0.1Ω，灵敏系数K为2.19，工作温度为-30℃～60℃.）
2、悬臂梁的有关尺寸的测量数据记录表
表4悬臂梁度根部的宽度b的测量数据记录表
测量
1
2
3
4
5
平均值
次数
b的测量值（㎝）
4.990
4.982
4.982
4.986
4.982
4.984
表5悬臂梁的厚度h的测量数据记录表
测量
次数
1
2
3
4
5
平均值
h的测量值（㎝）
0.500
0.504
0.502
0.504
0.502
0.502
表6悬臂梁的长度L的测量数据记录表
测量
次数
1
2
3
4
5
平均值
L的测量值（㎝）
10.890
10.902
10.940
10.900
10.900
10.906
3、Excel作图表处理实验数据
图4、图5、图6三个图分别为电阻应变片A、B、C在砝码作用下随悬臂梁形变所引起的电阻阻值变化关系曲线。
图4应变片A的电阻变化量与所加砝码数的关系图
图5应变片B的电阻变化量与所加砝码数的关系图
图6应变片C的电阻变化量与所加砝码数的关系图
4、通过计算处理实验数据
（1）实验值的计算
①对于应变片A
由图4知，载荷每增加10
，应变片A的电阻改变值
，由公式（7）知：
，所以
②对于应变片B
由图5知，载荷每增加10
，应变片B的电阻改变值
由公式（7）知：
，所以
③对于应变片C
由图6知，载荷每增加10
，应变片C的电阻改变值
由公式（7）知：
，所以
（2）理论值的计算
由公式（11）知：
（3）相对误差的计算
①对于应变片A
相对误差
②对于应变片B
相对误差
③对于应变片C
相对误差
5、误差分析及减小误差的措施：
影响本实验的因素主要是应变片的安装位置变动以及测量仪器的精度,人读数时的误差，实验数据时有效数字的取舍。
在安装应变片时应事先熟悉安装步骤及安装方法，由于本实验所测的是悬臂梁弯曲引起的上表面拉应变，因此，需要将应变片的位置尽可能的放置于悬臂梁的上表面，以减小误差。
为了测量微小形变，需用较高精度的仪器,以使测量结果尽可能精确；并且采取多次测量求平均数的方法，减小实验误差。
注意事项
1、注意应变片的保护，要做好应变片的防潮、防湿工作，确保在应变片烘干后进行测量。
2、实验中应当注意仪器的保护，并在老师的正确指导下进行仪器的操作，特别是应变片的安装。
3、实验后应把仪器归类放好，并整理实验台。
总结
1、结论
通过利用Excel作出的图可以看出，在弹性范围内，应变片A、B、C的电阻的相对改变量与悬臂梁上所加砝码的质量都是成线性关系，因而可推知电阻改变量与悬臂梁所受的力成正比关系，由
知，
与力
成正比关系；同时在理论上由公式
知：
在悬臂梁一定，即其相关参数长度
，厚度
，以及根部宽度
，所用材料的弹性模量
一定时，
与力
成正比关系。
通过计算以及实验值和理论值的比较可以看出，在改变相同力的作用下，位于中心轴线上的A应变片的应变量与理论值相比误差最小，应变片B、C的应变值与理论值的误差稍大一些。
2、个人体会
通过本次实验课程设计，对与悬臂梁有关的知识有了一定的了解，掌握了有关应变的测量方法，对数字万用表也有了一定的了解，在此过程中培养了自己查阅资料的能力，以及动手操作能力，对于计算机的一些技术也学会了好多，比如如何编公式，如何制作表格。
总的来说在许多方面都有所提高。
3、应用前景展望
这种实验技术在民用建筑，医学，道路，桥梁等方面有着巨大的应用前景，例如在医学方面，可用于测量人脑骨骼的微小变化，对病症的诊断有着很大的帮助。
在桥梁工程中，这种微小变化由于各种原因（温度改变，风，地壳运动）随时随地存在，而这些因素均对桥梁的安全及寿命有着很大的影响。
因此，我们可以使用这种实验技术，在室内，模拟的测量或检验桥梁的安全程度，目前这项技术已经在三峡工程中得到了应用。
但由于技术的局限性，在近期内，我们只能通过模拟实验的形式来间接反映实际物体的微小形变。
但是随着这项实验技术及相关技术的不断进步与完善，我们相信在不久的将来，它将会得到更加完善的发展，从而在现实生活中起到更大的不可估量的作用。
参考文献
[1]曹以柏，施步洲，虞伟健，等.材料力学测试原理及实验[M].第2版.北京：
航空工业出版社，1999:
1-8.
[2]邢世建.材料力学实验[M].重庆：
重庆大学出版社,1998：
68-71.
[3]孙仁博，王天明.材料力学[M].北京:
中国建筑工业出版社,1997:
15.
[4]刘鸿文,吕荣坤.材料力学实验[M].北京：
高等教育出版社，1992:
89-90.
[5]张彦纯.大学物理实验[M]．北京：
机械工业出版社，2006：
211-215.
附录
附录一应变片的粘贴方法
1、试件表面处理：
贴片处先用打磨机打磨平整，然后用纱纸打磨出刻痕，接着用酒精棉球或丙酮液体反复擦洗贴处，直到棉球无黑迹为止。
2、在应变片基底上挤一小滴502胶水，轻轻涂抹均匀，立即放在应变贴片位置，然后用塑料薄膜覆盖在应变片上，压挤，把气泡挤出来，否则会影响测量结果的准确性。
3、焊线:
用电烙铁将应变片的引线焊接到应变片的两对固定端子上，再用电烙铁将导引线焊接到靠外的一对固定端子。
分别固定引线和导线避免了拉动导线时同时影响到应变丝，从而影响测量结果的准确性。
⑴ 电烙铁在焊前蘸少量香，起到防潮，促进焊点形成作用 ；⑵ 把应变片的引线焊接到两对端子上；⑶ 把导线焊接到靠外的一对端子上 ；⑷ 把多余的应变片引线剪除，以免造成短路。
4、用兆欧表检查：
应变片与试件之间的绝缘组织，应大于500M欧；两导线的末端电阻应等于应变片阻值（120欧姆）。
5、应变片保护：
用704硅橡胶或AB胶覆于应变片上，防止受潮。
附录二弹性常数表
表1弹性常数表
材料名称
牌号
E/GPa
ν
中碳钢
35，45
210
0.26～0.30
低合金钢
16Mn
200
0.25～0.30
合金钢
40CrNiMoA
210
0.28～0.32
铝及铝合金
LY12
72
0.33
铜及铜合金
100～110
0.31～0.36
附录三
表2不同载荷下应变片A的电阻变化数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量
（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.828
120.827
120.828
1
1
120.849
120.847
120.848
0.020
2
2
120.868
120.868
120.868
0.040
3
3
120.888
120.887
120.888
0.060
4
4
120.908
120.907
120.908
0.080
5
5
120.925
120.925
120.925
0.097
表3不同载荷下应变片A的电阻变化数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量
（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.827
120.829
120.828
1
1
120.847
120.849
120.848
0.020
2
2
120.868
120.869
120.869
0.041
3
3
120.888
120.888
120.888
0.060
4
4
120.907
120.907
120.907
0.079
5
5
120.926
120.926
120.926
0.098
表4不同载荷下应变片B的电阻变化数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量
（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.890
120.886
120.888
1
1
120.908
120.906
120.907
0.019
2
2
120.926
120.924
120.925
0.037
3
3
120.943
120.943
120.943
0.055
4
4
120.962
120.961
120.962
0.074
5
5
120.980
120.980
120.980
0.092
表5不同载荷下应变片B的电阻变化数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量
（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.885
120.886
120.886
1
1
120.906
120.906
120.906
0.020
2
2
120.924
120.923
120.924
0.038
3
3
120.943
120.942
120.943
0.047
4
4
120.961
120.960
120.961
0.065
5
5
120.978
120.978
120.978
0.082
表6不同载荷下应变片C的电阻变化数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量
（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.670
120.677
120.674
1
1
120.692
120.698
120.695
0.021
2
2
120.712
120.719
120.716
0.042
3
3
120.733
120.739
120.736
0.062
4
4
120.754
120.759
120.757
0.083
5
5
120.777
120.778
120.778
0.104
表7不同载荷下应变片C的电阻变化数据记录表
序号
（n）
所加砝码的质量
（㎏）
加载砝码
时的电阻
R1/Ω
卸载砝码时的电阻
R2/Ω
R1和R2的平均值
/Ω
单位：
Ω
0
0
120.674
120.673
120.674
1
1
120.696
120.694
120.695
0.021
2
2
120.716
120.715
120.716
0.042
3
3
120.737
120.736
120.737
0.063
4
4
120.756
120.757
120.756
0.084
5
5
120.778
120.778
120.778
0.106
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