数学建模综合题影院座位设计问题.docx
《数学建模综合题影院座位设计问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模综合题影院座位设计问题.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模综合题影院座位设计问题
数学模型
张峰华
材料学院
材料成型及控制工程
04班
20123631
刘泽
材料学院
材料成型及控制工程
04班
20123627
杨海鹏
材料学院
冶金工程03班
20123203
Word资料.
一、问题重述
影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过300;记影院的屏幕高为h，上
边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏
幕水平距离分别为d,D，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8.H=5，d4.5,D19，c=1.1（单位m）。
求解以下问题：
（1）地板线的倾角100时，求最佳座位的所在位置。
（2）地板线的倾角一般超过200，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析
电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解;
针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角;
在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设
1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度;
2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性;
3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性;
4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘;
5•相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m;
6.对于同一排座位，观众的满意程度相同;
7.所有观众的座位等高为平均座高；
8.影院的的地板成阶梯状。
四、符号说明
水平视角
视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离
仰角
S
观众对水平视角为的满意程度
地板线与水平线的倾角
S
观众对仰角为的满意程度
d
第一排离屏幕水平距离
S
平均满意程度
D
最后一排离屏幕水平距离
c,c
视角、仰角在综合满意度Si中的权重
h
屏幕的高度
l
相邻两排座位间沿地板线方向的间距
H
屏幕上边缘离地面的高度
五、
模型的建立与求解
5.1
问题一
每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：
水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过300。
5.1.1模型I的建立：
仰角在满足条件的围，观众满意度只取决于视角
以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：
其中，AB为屏幕，MS为地板线，0E为所有的观众的眼睛所在的直线。
则由图可设视觉线0E上任意一点P的坐标为（x,xtan），屏幕上下点的坐标分别为A（d,Hc），B（d,Hhc），AP的斜率记为kAP,BP的斜率记为kBp。
由斜率公式得：
则直线AP和BP的斜率与夹角满足如下关系:
仰角满足条件：
[0,30]
由公式（1.1）（1.2）得到模型为:
0xDd
s.t.Hc^33d
Hc
tan
■-33tan
5.1.2模型I的求解
当10时，用Matlab软件运算求解（程序见附录1）,得最大视角为13.9522,
仰角为30，x1.7274米。
即P点的坐标为（1.7274,0.3046）为最佳位置。
离屏幕的水平距离为4.51.72746.2274米。
5.1.3模型U的建立：
离散加权模型
在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l
（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为Icos，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。
对模型I进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：
tan
xtanH
c（k1）lcostanH
c
（2.1）
x（d）
（k1）lcos（d）
tan
h（（k1）lcos
d）
（（k1）lcos
2
d）（（k1）lcostanH
c）（（k1）lcostan
Hhc）
（2.2）
145
其中，k1,2,3,,n，n为地板线上的座位的总排数，且n[—]119。
lcos
一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。
本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。
由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题
意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角
、仰角的满意度函数[1]如下:
（2.3）
Sk
tanktanmin
tanmax
tanmin
Sk
‘tan
1
ktanmin
（2.4）
tan
maxtanmin
式中
k,k为第k排座位上观众视角和仰角，max,
max表示在给定的情况下最优
满意度，
min,min
表示在给疋的情况下最差满意度。
视角
、仰角
在综合满意度Sk中的权重分别为c
c，建立第k排座位综合满意
度函数如下：
CSkcSk
Sk—CC（2.5）
cc
根据地板线倾角10，通过计算可以得出5.421015.8975，
4.045140.9149，主观给定权重C0.6,C0.4，根据模型的建立，可以得出：
cSkcSk0.6Sk0.4Sk
Sk----3.1596tank0.5025tank0.1357（2.6）
cc0.60.4
将式（2.1）和式（2.2）带入公式（2.6）得到优化模型为:
3.1596*h（（k1）lcosd）
图2视角和仰角随变化的变化曲线
H
s.t.—J33tan
x（k1）1cos
5.1.4模型U的求解
用Matlab软件运算求解（程序见附录2）可得：
x2.3635米，k4排，最大满意度为S40.6176,最大视角为13.1282，仰角为26.9084,最佳位置离屏幕的水平
距离为4.52.36356.8635米。
5.2问题二
5.2.1模型川的建立
要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求—S的最大值。
由模型u可知，第k排观众的满意度为S,则观众平均满意程度函数为：
SSkn，平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。
所以，要使观众的满意程
度达到最大，取决于两个方面：
⑴仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平
均满意程度就越大；
（2）所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。
由式（1.1）可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改
变，且在某一座位（即x取某一定值），在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。
仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大，仰角不超过条件的
座位所占的比例越大。
40.9149，不满足仰角的条件，由模型U可知第k排座位
tan
（k1）1costanHc,,小
k1,2,3,,n（k1）lcos（d）
145
其中n为地板线上的座位的总排数：
n［—］1，随着地板线倾角的变化，相lcos
邻两排座位间的间距I不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。
由于地板线倾
角不超过20，所以19n20,并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，
即15.0543。
由模型I可求出第k排座位所对应的水平视角的正切值为:
tan
h（（k1）lcosd）
（（k1）lcosd）2（（k1）lcostanHc）（（k1）lcostanHhc）
5.2.2模型川的求解
让地板线倾角在［0,20］逐一取值,步长为0.01;让x在［0,14.5］逐一取值,步长为
0.010
对一个取定的，判断x所在的位置仰角是否超过30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座
位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。
当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出5.114315.8975，
040.9149o
所以，将式（2.1）和式（2.2）带入公式（3.1）得到平均满意度的优化模型为:
n
_Sk
maxS3——
n
19n20
s.t015.0543,k1,2,,n其中n取整数
0xDd
x（k1）lcos
用Matlab软件计算（程序见附录3）可得：
最大平均满意度为S0.6572，对应地
板线的倾角为15.0543。
5.3在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步
同理可得：
h（（k1）lcosd）
tan
（（k1）lcosd）（（k1）lcostanHc）（（k1）lcostanHhc）
h（（k1）lcosd）
nn
2
（（k1）lcosd）（lcosltan[（k1）]Hc）（lcosltan[（k1）]Hhc）
k1k1
观众平均满意程度函数为：
SnSkn
k1
可算出地板线上的座位的总排数为：
n[上丄]1，则可计算得当2.5时，
lcos
Smax0.6692。
但此时（191）2.545，根据一般习惯，要求地板线倾角20，但此时求
得最后一排座位的地板线倾角为45，这大大超过观众的心理围，因此文中将对此进
一步的修改。
当（i1）20时，令（i1）20。
当20时，即将问题转化为问
题二中所建立的模型。
由于2.5，则地板线倾角增加到第8排到达20，然后保持
不变。
对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用matlab数学软件求得：
满意度函数的最大值Smax0.66430.6572。
可以通过利用Matlab软件来描点，如图3所示：
2.5递增,当倾角增加到
从上图可以看出，报告厅座位的前8排呈折线状，以20时保持不变，且第一排应抬高1.2米。
六、模型的评价与推广
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点：
模型抓住影响观众满意程度的主要因素（仰角和视角），合理构造满意度函数，过程清晰明了，结果科学合理。
模型具有较好的通用性，实用性强,对现实有很强的指导意义。
6.1.2模型的不足以及需要改进的地方：
模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同，实际情况并非如此，这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。
模型建立的过程中，以观众眼睛所在的点为坐高点，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡，需要进一步的考虑在。
6.2模型的推广
本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，所建立的模型可用于
大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。
同时对于已知
剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:
运用该模型去解决
会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。
因此具有很强的实用性和推广性。
八、附录：
附录一
clear
clc
H=5;
h=1.8;
D=19;
d=4.5;
c=1.1;
l=0.8;
pi=3.1415926;
f=10;
forQ=0:
0.1:
20
forl=1:
floor（14.5/cos（Q/*pi）+1）
x=（l-1）*cos（Q/*pi）;
T=tan（Q/*pi）;
A=（d+x）*h/（（d+xF2+（H-c-T*x）*（H-h-c-T*x））;
iff>A
f=A;
end
endend
forQ=0:
0.1:
20
forl=1:
floor（14.5/cos（Q/*pi）+1）
x=（l-1）*cos（Q/*pi）;
T=tan（Q/*pi）;
A=（d+x）*h/（（d+xF2+（H-c-T*x）*（H-h-c-T*x））;
iff==A
fprintf（'Qis:
%d\n',Q）;
fprintf（'kis:
%d\n',l）;
end
end
end
f
附录二
clear
clc
H=5;
h=1.8;
D=19;
d=4.5;
c=1.1;
l=0.8;
pi=3.1415926;
t=10;
forQ=0:
0.1:
20
forl=1:
floor（14.5/cos（Q/*pi）+1）
x=（l-1）*cos（Q/*pi）;
T=tan（Q/*pi）;
B=（H-c-T*x）/（d+x）;
ift>B
t=B;
end
end
end
forQ=0:
0.1:
20
forl=1:
floor（14.5/cos（Q/*pi）+1）
x=（l-1）*cos（Q/*pi）;
T=tan（Q/*pi）;
B=（H-c-T*x）/（d+x）;
ift==B
fprintf（'Qis:
%d\n',Q）;
fprintf（'kis:
%d\n',l）;
endend
end
t
附录三
clear;
%clc;
H=5;
h=1.8;
D=19;
d=4.5;
c=1.1;
Q=0.1763;%tan（10/*pi）;
s=0;
forx=[2.36353.15143.93924.72715.51496.30287.0906
7.87858.66639.454210.242011.029811.817712.605513.393414.1812]
t=3.1596*（h*（x+d）/（（x+dF2+（x*Q-H+c）*（x*Q-H+h+c）））-0.5025*（-（x*Q-H+c）/（x+d））+0.1
357;
ifss=t;
end
end
forx=[2.36353.15143.93924.72715.51496.30287.0906
7.87858.66639.454210.242011.029811.817712.605513.393414.1812]
t=3.1596*（h*（x+d）/（（x+dF2+（x*Q-H+c）*（x*Q-H+h+c）））-0.5025*（-（x*Q-H+c）/（x+d））+0.1
357;
ifs==t
fprintf（'\nXis:
%d',x）;
fprintf（'\nkis:
%d',x/（0.8*cos（10/*pi））+1）;
fprintf（'\nais:
%d',（atan（h*（x+d）/（（x+dF2+（x*Q-H+c）*（x*Q-H+h+c））））/pi*）;
fprintf（'\nbis:
%d\n',（atan（-（x*Q-H+c）/（x+d）））/pi*）;
end
end
s
附录四
clear;
clc;
H=5;
h=1.8;
D=19;
d=4.5;
c=1.1;
l=0.8;
pi=3.1415926;
t=0;
fork=1:
20
forQ=0:
0.01:
20
z=h*（（k-1）*l*cos（Q/*pi）+d）/（（（k-1）*l*cos（Q/*pi）F2+（（k-1）*l*cos（Q/*pi）*tan（Q*pi/）-H+c）*（（k-1）*l*cos（Q*pi/）*tan（Q/*pi）-H+h+c））;
iftt=z;
end
end
end
fork=1:
20
forQ=0:
0.01:
20
z=h*（（k-1）*l*cos（Q/*pi）+d）/（（（k-1）*l*cos（Q/*pi））A2+（（k-1）*l*cos（Q/*pi）*tan（Q*pi/）-H+c）*（（k-1）*l*cos（Q*pi/）*tan（Q/*pi）-H+h+c））;
ift==z
fprintf（'Q为：
%d\n',Q）;
fprintf（'k为：
%d\n',k）;
end
end
end
t
附录五
clear;
clc;
H=5;
h=1.8;
D=19;
d=4.5;
c=1.1;
l=0.8;
pi=3.1415926;
t=0;
fork=1:
20
forQ=0:
0.01:
20
z=h*（（k-1）*l*cos（Q/*pi）+d）/（（（k-1）*l*cos（Q/*pi）F2+（（k-1）*l*cos（Q/*pi）*tan（Q*pi/）-H+c）*
（（k-1）*l*cos（Q*pi/）*tan（Q/*pi）-H+h+c））;
iftt=z;
end
end
end
fork=1:
20
forQ=0:
0.01:
20z=h*（（k-1）*l*cos（Q/*pi）+d）/（（（k-1）*l*cos（Q/*pi）F2+（（k-1）*l*cos（Q/*pi）*tan（Q*pi/）-H+c）*（（k-1）*l*cos（Q*pi/）*tan（Q/*pi）-H+h+c））;
ift==z
fprintf（'Q为：
％d\n',Q）;
fprintf（'k为：
%d\n',k）;
end
end
end
附录六
%A＞模型三程序
%求满意度S（双变量）
clear;
clc;
H=5;
h=1.8;
D=19;
d=4.5;
c=1.1;
l=0.8;
pi=3.1415926;
t=0;
ST=0;
forQ=0:
0.01:
20
sum=0;
fork=1:
floor（14.5/cos（Q/*pi）+1）
x=（k-1）*l*cos（Q/*pi）;
T=tan（Q/*pi）;b=（H-c-T*x）/（d+x）;%-（A*T-H+c）/（A+d）;
a=（d+x）*h/（（d+xF2+（H-c-T*x）*（H-h-c-T*x））;%h*（A+d）/（（A+dF2+（A*T-H+c）*（A*T-H+h
+c））;
%ifb>=0
s=3.1579*a-0.4259*b+0.0724;%3.0722*a-0.4274*b+0.0955;
%end
sum=sum+s;
end
ifSTST=sum;
end
end
forQ=0:
0.01:
20
sum=0;
fork=1:
floor（14.5/cos（Q/*pi）+1）
x=（k-1）*l*cos（Q/*pi）;
T=tan（Q/*pi）;b=（H-c-T*x）/（d+x）;%-（A*T-H+c）/（A+d）;
a=（d+x）*h/（（d+xF2+（H-c-T*x）*（H-h-c-T*x））;%h*（A+d）/（（A+dF2+（A*T-H+c）*（A*T-H+h
+c））;
%ifb>=0
s=3.1579*a-0.4259*b+0.0724;%3.0722*a-0.4274*b+0.0955;
%end
sum=sum+s;
end
ifST==sum
fprintf（'\nQis:
%d\n',Q）;
endend
ST/20
升级会员 