递推算法是一种简单的算法，即通过已知条件，利用特定关系得出中间推论，直至得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。
相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,而直接从边界出发,直到求出函数值.
比如阶乘函数：
f（n）=n*f（n-1）
在f（3）的运算过程中,递归的数据流动过程如下:
f（3）{f（i）=f（i-1）*i}-->f
（2）-->f
（1）-->f（0）{f（0）=1}-->f
（1）-->f
（2）--f（3）{f（3）=6}
而递推如下:
f（0）-->f
（1）-->f
（2）-->f（3）
由此可见,递推的效率要高一些,在可能的情况下应尽量使用递推.但是递归作为比较基础的算法,它的作用不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。
顺推法
所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的方法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f（n）,已知f
（1）=1，f
（2）=1;f（n）=f（n-2）+f（n-1）（n>=3,n∈N）。
则我们通过顺推可以知道,f（3）=f
（1）+f
（2）=2,f（4）=f
（2）+f（3）=3……直至我们要求的解。
逆推法
所谓逆推法从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。
递推算法的经典例子
【案例】从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。
恰好走N步且不经过已走的点共有多少种走法？
样例输入：
N=2
样例输出：
result=7
样例输入：
N=3
样例输出：
result=17
解题思路：
要解决走N步共有多少种走法，我们在拿到题目的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。
。
。
。
。
N=n时对应走法的图例，由简单到复杂、由特殊到一般的推理过程，找出规律获得解题的思路。
在数学上，我们称为归纳法。
如果用编程的方法来求解这样的推理题，我们把这样的求解思路（算法）称之为递推法。
递推的精髓在于f（n）的结果一般由f（n-1）、f（n-2）…..f（n-k）的前k次结果推导出来。
我们在解决这类递推问题时，难点就是如何从简单而特殊的案例，找到问题的一般规律，写出f（n）与f（n-1）、f（n-2）…..f（n-k）之间的关系表达式，从而得出求解的结果。
在历年noip的复赛当中，参赛选手对于这类题目都有这样的感受，往往花费了大量的时间来分析题目的一般规律，写出f（n）的一般表达式，而编程实现可能只需要几分钟的时间。
所以我们在平时训练的时候，对于这样的递推题目，就必须掌握如何分析问题，从特殊推导出一般的规律，写出想要的关系表达式，问题就迎刃而解了。
下面是这道题解题的心得，供大家参考：
（1）当N=1时，绘出走法图
（图1）共有3种不同的走法，也就是黑色线条的数量，即f
（1）=3
（2）当N=2时，绘出走法图
（图2）共有7种不同的走法，也就是绿色线条的数量，即f
（2）=7
（3）当N=3时，绘出走法图
（图3）共有17种不同的走法，也就是红色线条的数量，即f（3）=17
由此，我们不难看出，对于任何一个起点，最多可以走出3种走法，但最少必须走出2种走法。
那么我们要求出f（n），实际上转换为如果我们能够得到上一步即f（n-1）有多少个终点是有3种走法的，有多少个点有2种走法的，那么问题就解决了。
a.上一步，即f（n-1）有多少个终点是有3种走法的。
对于N=3时，f（n-1）=f
（2）,有3个点A、B、C可以走出3种不同走法的，这3个点是怎么得到的呢？
它的存在与N值有没有必然的联系？
如果我们能找到它与N之间的关系，问题也就解决了。
有了这样的思路以后，我们不难找到这样的规律：
如果f（n-2）存在，即上上步存在，那么从上上步出发的线路里面必然会有一条向上走的线路，而这条向上走的线路在到达f（n-1）之后， 向f（n）出发时也必然有左、上、右这三种走法，那么我们就得出了这样的结论：
当f（n-2）存在时，f（n-2）的值实际上就等价于f（n-1）有多少个终点是有3种走法。
b. f（n-1）有多少个终点是有2种走法的
对于N=3时，有4个点D、E、F、G可以走出2种不同走法的，这4个点又是怎么得到的呢？
它与N值有什么联系呢？
实际上我们在解决了上一个问题的时候，这个问题就变得相当容易了，f（n-1）减掉刚才有3种走法的点，剩下的点不就是只有2种走法了吗？
即f（n-1）-f（n-2）。
c.得出f（n）的一般关系式
f（n）=3*f（n-2）+2*（f（n-1）-f（n-2））（n>=3）
化简：
f（n）=2*f（n-1）+f（n-2）（n>=3）
有一点需要补充的就是，任何递推题，都会有临界条件。
当N=1时，f（n）=3;,当N=2时，f（n）=7,这些都可以看成是临界条件。
只有当N>=3时，即上上步存在的情况下，就可以得出f（n）的一般通式：
f（n）=2*f（n-1）+f（n-2）
（本题还有其他的解法，同学们可以继续挖掘！
）
【参考程序】
#include
#include
intmain（）
{
intn;
inti;
intfn_1,fn_2;
printf（"pleaseinputn="）;
scanf（"%d",&n）;//输入任意n值
intfn=0;
if（n==1）
fn=3;//初始化当n=1和n=2时的临界条件
elseif（n==2）
fn=7;
else{
fn_1=7;
fn_2=3;
for（i=3;i<=n;i++）
{
fn=2*fn_1+fn_2;//当n>=3时fn的通式
fn_2=fn_1;//更新fn_1和fn_2的值
fn_1=fn;
}
}
printf（"一共有%d种走法！
\n",fn）; //输出结果
return0;
}
阿牛的EOF牛肉串
ProblemDescription
今年的ACM暑期集训队一共有18人，分为6支队伍。
其中有一个叫做EOF的队伍，由04级的阿牛、XC以及05级的COY组成。
在共同的集训生活中，大家建立了深厚的友谊，阿牛准备做点什么来纪念这段激情燃烧的岁月，想了一想，阿牛从家里拿来了一块上等的牛肉干，准备在上面刻下一个长度为n的只由"E""O""F"三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）,阿牛同时禁止在串中出现O相邻的情况，他认为，"OO"看起来就像发怒的眼睛，效果不好。
你，NEWACMer,EOF的崇拜者，能帮阿牛算一下一共有多少种满足要求的不同的字符串吗？
PS:
阿牛还有一个小秘密，就是准备把这个刻有EOF的牛肉干，作为神秘礼物献给杭电五十周年校庆，可以想象，当校长接过这块牛肉干的时候该有多高兴！
这里，请允许我代表杭电的ACMer向阿牛表示感谢！
再次感谢！
Input
输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数n组成，（0
Output
对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。
SampleInput
1
2
SampleOutput
3
8
设n位字符串，最后一位是O的字符串的个数为a[n],最后一位不是O的字符串的个数是b[n],
总字符串个数为x[n]，
则有
x[n]=a[n]+b[n];
a[n]=b[n-1];
b[n]=2*x[n-1];
====>x[n]=2*x[n-1]+2*x[n-2]
#include
__int64x[40]={0,3,8};
intmain（）{
intn;
for（n=3;n!
=40;++n）
x[n]=2*（x[n-1]+x[n-2]）;
while（scanf（"%d",&n）==1）
printf（"%I64d\n",x[n]）;
return0;
}
不容易系列之（4）——考新郎
ProblemDescription
国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:
首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...
看来做新郎也不是容易的事情...
假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M（1
Output
对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。
SampleInput
2
22
32
SampleOutput
1
3
错排+组合数
错排公式：
a[i]=（i-1）*（a[i-1]+a[i-2]）; 然后乘以从m个中挑出t个的排列组合
#include
intmain（）
{
inta,n,m,i;
__int64p;
__int64q;
__int64cuopai[22]={0,0,1,2};
for（i=4;i<22;i++）
{
cuopai[i]=（i-1）*（cuopai[i-1]+cuopai[i-2]）;
}
scanf（"%d",&a）;
while（a--）
{
scanf（"%d%d",&n,&m）;
p=1;q=1;
for（i=n;i>n-m;i--）
p*=i;
for（i=m;i>1;i--）
q*=i;
printf（"%I64d\n",p/q*cuopai[m]）;
}
return0;
}
折线分割平面
ProblemDescription
我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。
比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含一个整数n（0Output
对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。
SampleInput
2
1
2
SampleOutput
2
7
Author
lcy
Source
对n取任意值时，分割平面数=交点数+顶点数+1，我们假设f（n-1）已知，又f（n）每一条拆线与另一条拆线交点为4，则新加第N条拆线交点数增加4*（n-1）
顶点数比f（n-1）多一个，故f（n）=f（n-1）+4*（n-1）+1
分析：
先看N条相交的直线最多能把平面分割成多少块
当添加第N条只显示，为了使平面最多，则第N条直线要与前面的N-1条直线都相交，且没有任何三条直线教育一个点。
则第N条直线有N-1个交点。
由于每增加N个交点，就增加N+1个平面，所以用N条直线来分隔平面，最多的数是1+1+2+3+…+n=1+n*（n+1）/2;
再看每次增加两条相互平行的直线
当第N次添加时，前面已经有2N-2条直线了，所以第N次添加时，第2N-1条直线和第2N条直线都各能增加2*（n-1）+1个平面。
所以第N次添加增加的面数是2[2（n-1）+1]=4n-2个。
因此，总面数应该是
1+4n（n+1）/2-2n=2n2+1
如果把每次加进来的平行边让它们一头相交
则平面1、3已经合为一个面，因此，每一组平行线相交后，就会较少一个面，
所以所求就是平行线分割平面数减去N，为2n2-n+1
利用上述总结公式f（n）=2n2-n+1
#include
intmain（）
{
intT,n;
scanf（"%d",&T）;
while（T--&&scanf（"%d",&n）!
=EOF）
printf（"%d\n",2*n*n-n+1）;
return0;
}
或者利用公式f（n）=f（n-1）+4*（n-1）+1
#include
intmain（）
{
__int64s[10001];
inti,T,n;
scanf（"%d",&T）;
while（T--）
{
s[0]=1;
scanf（"%d",&n）;
for（i=1;i<=n;i++）
s[i]=s[i-1]+4*（i-1）+1;
printf（"%I64d\n",s[i-1]）;
}
return0;
}
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