北师大版八年级数学下册应用题方案优化专项训练《一元一次不等式》解析版.docx

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北师大版八年级数学下册应用题方案优化专项训练《一元一次不等式》解析版

应用题方案优化专项训练：

《一元一次不等式》

解题步骤：

1.列方程组

2.列不等

式求未知量范围

3.列方案所需费用/利润的一次函数表达式

4.讨论最优的方案

1．某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台．

（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？

（2）设购进B型手机n部，销售手机的总利润为y元，怎么进货才能使销售总利润最大？

（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．

解：

（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，

根据题意，得：

，

解得：

，

答：

每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；

（2）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，

则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，

其中，110﹣n≤2n，即n≥36

，

∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500（36

≤n≤50）；

∵﹣50＜0，

∴y随n的增大而减小，

∵n≥36

，且n为整数，

∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为﹣50×37+16500＝14650（元），

答：

购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；

（3）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，

根据题意，得：

y＝150（110﹣n）+（100+m）n＝（m﹣50）n+16500，

其中，36

≤n≤50（n为整数），

①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，

∴当n＝37时，y取得最大值，

即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；

②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，

即商店购进B型电脑数量满足36

≤n≤50的整数时，均获得最大利润；

③当50＜m＜70时，y随n的增大而增大，

∴当n＝50时，y取得最大值，

即购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大．

2．某班决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知需要的笔记本数量是文具盒数量的3倍，购买的总费用不低于220元，但不高于250元．

（1）商店内笔记本的售价4元/本，文具盒的售价为10元/个，设购买笔记本的数量为x，按照班级所定的费用，有几种购买方案？

每种方案中笔记本和文具盒数量各为多少？

（2）在

（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？

最少费用是多少元？

（3）经过

还价，老板同意4元/本的笔记本可打八折，10元/个的文具盒可打七折，用

（2）中的最少费用最多还可以多买多少笔记本和文具盒？

解：

（1）依题意，得：

，

解得：

30≤x≤34

．

∵x为正整数，

∴x可取30，31，32，33，34．

又∵

x也必须是整数，

∴

x可取10，11．

∴有两种购买方案，方案一：

笔记本30本，文具盒10个；方案二：

笔记本33本，文具盒11个．

（2）在

（1）中，方案一购买的总数量最少，

∴总费用最少，最少费用为：

4×30+10×10＝220（元）．

答：

方案一的总费用最少，最少费用为220元．

（3）设用

（2）中的最少费用最多还可以多买的文具盒数量为y，则笔记本数量为3y，

依题意，得：

4×80%（30+3y）+10×70%（10+y）≤220，

解得：

y≤3

，

∵y为正整数，

∴y的最大值为3，

∴3y＝9．

答：

用

（2）中的最少费用最多还可以多买9本笔记本和3个文具盒．

3．某文具店购进A、B两种文具进行销售．若每个A种文具的进价比每个B种文具的进价少2元，且用900元正好可以购进50个A种文具和50个B种文具，

（1）求每个A种文具和B种文具的进价分别为多少

元？

（2）若该文具店购进A种文具的数量比购进B种文具的数量的3倍还少5个，购进两种文具的总数量不超过95个，每个A种文具的销售价格为12元，每个B种文具的销售价格为15元，则将购进的A、B两种文具全部售出后，可使总利润超过371元，通过计算求出该文具店购进A、B两种文具有哪几种方案？

解：

（1）设每个A种文具的进价为x元，每个B种文具的进价为y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

每个A种文具的进价为8元，每个B种文具的进价为10元．

（2）设购进B种文具m个，则购进A种文具（3m﹣5）个，

依题意，得：

，

解得：

23＜m≤25．

∵m为整数，

∴m＝24或25，3m﹣5＝67或70，

∴该文具店有两种进货方案：

①购进A种文具67个，B种文具24个；②购进A种文具70个，B种文具25个．

4．我校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A、B两种规格的书柜用于放置所购图书．经市场调查发现，若购买A种书柜3个、B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元．

（1）A、B两种规格的书柜，每个的价格分别是多少？

（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，其中B种书柜的个数不少于A种书柜的个数，学校至多有4320元的资金，请设计几种购买方案供学校选择．

解：

（1）设A种书柜的单价为x元，B种书柜的单价为y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

A种书柜的单价为180元，B种书柜的单价为240元．

（2）设学校购买m个A种书柜，则购买（20﹣m）个B种书柜，

依题意，得：

，

解得：

8≤m≤10．

∵m为整数，

∴m＝8，9，10．

∴该学校有3种购买方案，方案1：

购买8个A种书柜，12个B种书柜；方案2：

购买9个A种书柜，11个B种书柜；方案3：

购买10个A种书柜，10个B种书柜．

5．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县政府部门决定，招标一工程队负责完成一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知1台A型和2台B型挖掘机同时施工1小时共挖土80立方米，2台A型和3台B型挖掘机同时施工1小时共挖土140立方米．每台A型挖掘机一个小时的施工费用是350元，每台B型挖掘机一个小时的施工费用是200元．

（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时各挖土多少立方米？

（2）若A型和B型挖掘机共10台同时施工4小时，至少完成1360立方米的挖土量，且总费用不超过14000元．问施工时有哪几种调配方案？

且指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用多少元？

解：

（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

每台A型挖掘机一小时挖土40立方米，每台B型挖掘机一小时挖土20立方米．

（2）设有m台A型挖掘机参与施工，施工总费用为w元，则有（10﹣m）台B型挖掘机参与施工，

∵4小时至少完成1360立方米

的挖土量，且总费用不超过14000元，

∴

，

解得：

7≤m≤10．

∵10﹣m＞0，

∴m＜10．

又∵m为正整数，

∴m＝7，8，9．

∴共有三种调配方案，①调配7台A型、3台B型挖掘机施工；②调配8台A型、2台B型挖掘机施工；③调配9台A型、1台B型挖掘机施工．

依题意，得：

w＝350×4m+200×4（10﹣m）＝600m+8000，

∵600＞0，

∴w的值随m的增大而增大，

∴当m＝7时，即选择方案①时，w取得最小值，最小值为12200元．

6．某商店四月份购进70个篮球，由于供不应求，五月份又购进同种篮球60个，两次购进篮球的单价不同，已知四月份和五月份购进篮球的单价和为65元，并且四月份与五月份购入篮球总费用相同．

（1）求该商店四、五月份购进篮球的单价分别是多少元；

（2）由于运输不当，五月份购进的篮球中有10%损坏，不能卖售，该商店将两批篮球按同一价格全部销售后，获利不低于2000元，求每个篮球的售价至少是多少元．

解：

（1）设该商店四月份购进篮球的单价是x元，则五月份购进篮球的单价是（65﹣x）元，

依题意，得：

70x＝60（65﹣x），

解得：

x＝30，

∴65﹣x＝35．

答：

该商店四月份购进篮球的单价是30元，五月份购进篮球的单价是35元．

（2）设每个篮球的售价是y元，

依题意，得：

[70+60×（1﹣10%）]y﹣30×70﹣35×60≥2000，

解得：

y≥50．

答：

每个篮球的售价至少是50元．

7．第一届中非经贸博览会于2019年6月27日至29日在长沙举办，为了抓住商机，某服装店决定购进甲、乙两种文化衫进行销售，若购进甲种文化衫6件，乙种文化衫5件，需要1400元；若购进甲种文化衫3件，乙种文化衫6件，需要1050元．

（1）求购进甲、乙两种文化衫每件各需多少元？

（2）若该服装店决定用不超过6100元的资金购进这两种服装共50件，且用于购买甲种文化衫的资金不低于购买乙种文化衫的资金，那么该商店共有哪几种进货方案？

解：

（1）设购进甲种文化衫每件需x元，购进乙种文化衫每件需y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

购进甲种文化衫每件需150元，购进乙种文化衫每件需100元．

（2）设购进甲种文化衫m件，则购进乙种文化衫（50﹣m）件，

依题意，得：

，

解得：

20≤m≤22．

∵m为正整数，

∴m＝20，21，22，

∴该商店共有3种进货方案，方案1：

购进甲种文化衫20件，乙种文化衫30件；方案2：

购进甲种文化衫21件，乙种文化衫29件；方案3：

购进甲种文化衫22件，乙种文化衫28件．

8．2019年是中国建国70周年，作为新时期的青少年，我们应该肩负起实现粗国伟大复兴的责任，为了培养学生的爱国主义情怀，我校学生和老师在5月下旬集体乘车去抗日战争纪念馆研学，已知学生的人数是老师人数的12倍多20人，学生和老师总人数有540人．

（1）请求出去抗日战争纪念馆研学的学生和老师的人数各是多少？

（2）如果学校准备租赁A型车和B型车共14辆（其中B型车最多7辆），已知A型车每车最多可以载35人，日租金为2000元，B型车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租车方案．

解：

（1）设去去抗日战争纪念馆研学的学生有x人，老师有y人，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

去抗日战争纪念馆研学的学生有500人，老师有40人．

（2）设租赁B型大巴车m辆，则租赁A型大巴车（14﹣m）辆，

依题意，得：

，

解得：

5≤m≤7．

∵m为正整数，

∴m＝5，6或7．

设租赁总租金为w元，依题意，得：

w＝3000m+2000（14﹣m）＝1000m+28000，

∵1000＞0，

∴w的值随m值的增大而增大，

∴当m＝5时，w取得最小值，

∴最经济的租赁车辆方案为：

租赁A型大巴车9辆和租赁B型大巴车5辆．

9．我市某中学组织部分学生去某地开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车

乙种客车

载客量/（人/辆）

30

42

租金/（元/辆）

300

400

学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？

（2）①既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，需租用几辆客车；②求租车费用的最小值．

解：

（1）设参加此次研学旅行活动的老师有x名，学生有y名，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名；

（2）①∵每辆客车上至少要有2

名老师，

∴汽车总数不能大于8辆；

∵要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于

（取整为8）辆，

∴需租8辆客车．

②设租用m辆乙种客车，则租用甲种客车（8﹣m）辆，

依题意，得：

，

解得：

5≤m≤7（m为整数）．

∵乙种车辆租金高，

∴租用乙种车辆越少，租车费用越低，

∴租用甲种客车3辆，乙种客车5辆时，租车费用最低，最低费用为400×5+300×3＝2900元．

10．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗5棵，B种树苗3棵，需要840元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，需要760元．

（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？

（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，现需购进这两种树苗共100棵，怎样购买所需资金最少？

解：

（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

购买A种树苗每棵需要120元，B种树苗每棵需要80元．

（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，

依题意，得：

，

解得：

30≤m≤50．

设购买树苗的总费用为w元，则w＝120m+80（100﹣m）＝40m+8000．

∵40＞0，

∴w的值随m值的增大而增大，

∴当m＝30时，w取得最小值，最小值为9200．

答：

当购买A种树苗30棵、B种树苗70棵时，所需资金最少，最少资金为9200元．

11．现有A，B两种商品，买6件A商品和3件

B商品用了108元，买5件A商品和1件B商品用了84元．

（1）求A，B两种商品每件多少元？

（2）如果小静准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？

哪种方案费用最低？

解：

（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

A商品每件16元，B商品每件4元．

（2）设小静购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，

依题意，得：

，

解得：

5≤a≤6

．

∵a取正整数，

∴a＝5或a＝6，

∴有两种购买方案，方案一：

购买A商品5件，B商品5件，购买费用为16×5+4×5＝100（元）；

方案二：

购买A商品6件，B商品4件，购买费用为16×6+4×4＝112（元）．

∵100＜112，

∴方案一费用低．

答：

有两种购买方案，方案一费用最低．

12．某学校为了改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调共需3.9万元；采购4台A型空调比采购5台B空调的费用多0.6万元．

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少万元；

（2）若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且采购总费用不少于20万元不足21万元，请求出共有那些采购方案．

解：

（1）设A型空调每台x万元，B型空调每台y万元，

依

题意，得：

，

解得：

．

答：

A型空调每台0.9万元，B型空调每台0.6万元．

（2）设采购A型空调m台，则采购B型空调（30﹣m）台，

依题意，得：

，

解得：

≤m＜10．

∵m为整数，

∴m＝7，8，9，

∴有3种采购方案：

①采购A型空调7台，B型空调23台；②采购A型空调8台，B型空调22台；③采购A型空调9台，B型空调21台．

13．某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．

（1）求A，B两种工艺品的单价；

（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？

（3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在

（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？

此时店主可获利多少元？

解：

（1）设A种工艺品的单价为x元/个，B种工艺品的单价为y元/个，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

A种工艺品的单价为80元/个，B种工艺品的单价为120元/个．

（2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品

个，

依题意，得：

，

解得：

30≤a≤36．

∵a为正整数，

∴共有7种进货方案．

（3）设总利润为w元，

依题意，得：

w＝10a+（18﹣m）×

＝（

m﹣2）a+1440﹣80m，

∵w的值与a值无关，

∴

m﹣2＝0，

∴m＝3，此时w＝1440﹣80m＝1200．

答：

m的值是3，此时店主可获利1200元．

14．某店计划购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品1件，乙种商品2件，需要160元；购进甲种商品2件，乙种商品3件，需要280元．

（1）购进甲乙两种商品每件各需要多少元？

（2）该商场决定购进甲乙商品100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些商品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该商场共有几种进货方案？

（3）若销售每件甲种商品可获利30元，每件乙种商品可获利12元，在第

（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？

最大利润是多少元？

解：

（1）设购进每件甲商品需要x元，每件乙商品需要y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

购进每件甲商品需要80元，每件乙商品需要40元．

（2）设购进甲商品a件，则购进乙商品（100﹣a）件，

依题意，得：

，

解得：

57

≤a≤60

．

∵a为整数，

∴a＝58或59或60，

∴该商场共有3种进货方案，方案1：

购进甲商品58件，乙商品42件；方案2：

购进甲商品59件，乙商品41件；方案3：

购进甲商品60件，乙商品40件．

（3）∵30＞12，

∴购进甲商品越多，利润越大，

∴方案3购进甲商品60件，乙商品40件获利最大，最大利润为30×60+12×40＝2280元．

15．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．

（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？

（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的

，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案？

怎样的方案使总费用最低？

并求出最低费用．

解：

（1）设购买

一套A型课桌凳需要x元，购买一套B型课桌凳需要y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

购买一套A型课桌凳需要180元，购买一套B型课桌凳需要220元．

（2）设购买a套A型课桌凳，则购买（200﹣a）套B型课桌凳，

依题意，得：

，

解得：

78≤a≤80．

∵a为整数，

∴a＝78，79，80，

∴共有3种购买方案，方案1：

购买78套A型课桌凳，122套B型课桌凳；方案2：

购买79套A型课桌凳，121套B型课桌凳；方案3：

购买80套A型课桌凳，120套B型课桌凳．

方案1所需费用78×180+122×220＝40880（元）；

方案2所需费用79×180+121×220＝40840（元）；

方案3所需费用80×180+120×220＝40800（元）．

∵40800＜40840＜40880，

∴方案3购买80套A型课桌凳，120套B型课桌凳所需总费用最低，最低费用为40800元．

16．为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球；

（1）一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元？

（2）甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：

所有商品打八折；乙商店的优惠是：

买一副羽毛球拍送n只羽毛球，通过调查发现，如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时，到甲商店更划算；若只购买一副羽毛球拍和n只羽毛球，则乙商店更划算．求n的值．

（3）在

（2）的条件下，当m＝30时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要　166　元（直接写出结果）．

解：

（1）设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，

则

．

解得

．

答：

一副羽毛球拍的价格是30元，一只羽毛球的价格是2元；

（2）依题意得：

．

解不等式组，得3.75＜n＜4.04．

因为n是正整数，

所以n＝4；

（3）当m＝30时，

甲商店消费额：

0.8×（5×30+2×30）＝166（元）

乙商店消费额：

5×30+2×（30﹣5）＝200（元）

因为166＜200

所以当m＝30时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．

故答案是：

166．

17．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价一进价）不少于750元，且甲商品的件数不能低于48件，请你帮忙求出该商场有几种进货方案？

（3）在

（2）的基础上，商场预备用2500元资金来进货．若商场选择能使总利润最大的进货方案，试判断商场预备的资金是否够？

解：

（1）设购进甲、乙两种商品分别为x件、y件，

，

解得，

，

答：

能购进甲、乙两种商品分别为40件，60件；

（2）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件，

（20﹣15）a+（45﹣35）（100﹣a）≥750，

解得，a≤50，

又∵a≥48，a为整数，

∴a＝48，49，50，

∴该商场共有三种进货方案；

（3）设设购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件，利润为w元，

w＝（20﹣15）a+（45﹣35）（100﹣a）＝﹣5a+1000，

由

（2）知a＝48，49，50，

∴当a＝48时，w取得最大值，此时100﹣a＝52，

∴当取得最大利润时，需要花费：

48×15+52×35＝2540（元），

∵2540＞2500，

∴商场预备的资金不够用．

18．武汉军运会前

夕，市园林局进行道路绿化，准备购买A、B两种树苗．已知购买1棵A树苗和2棵B树苗共需200元；购买3棵A树苗和1棵B树苗共需300元

（1）求每棵A树苗和每棵B树苗售价各为多少元；

（2）若园林局需要购买A、B两种树苗共10000棵，且购买的B树苗不少于A树苗的3倍，总的购买经费不超过64万元，则A树苗最多购买多少棵？

解：

（1）设每棵A树苗的售价为x元，每棵B树苗的售价为y元，

根据题意，得：

，

解得：

，

答：

每棵A树苗的售价为80元，每棵B树苗的售价为60元；

（2）设购买A树苗m棵，则需购买B树苗（10000﹣m）棵，

由题意知

，

解得：

m≤2000，

答：

A树苗最多购买2000棵．

19．学校准备租用一批客车运送艺术特长生往返于本部与分校，现有甲、乙两种客车，甲种客车每辆载客量48人，乙种客车每辆载客量32人．已知1辆甲种客车和2辆乙种客车每次需租金1000元，3辆甲种客车和4辆乙种客车每次需租金2400元．

（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的每次租金分别是多少元？

（2）学校计划租用甲、乙两种客车共6辆，运送240名师生，最节省的租车方案是什么？

每次费用最少是多少？

解：

（1）设1辆甲种客车每次租金为x元，1辆乙种客车的每次租金为y元，

，

解得，