福建省福州市八县市协作校高二上学期期末联考数学理试题.docx
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福建省福州市八县市协作校高二上学期期末联考数学理试题
福州市八县（市）协作校2016—2017学年第一学期期末联考
高二理科数学试卷
【完卷时间：
120分钟满分：
150分】
命题：
长乐七中陈鸿轩谢星恩
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线
的焦距为（）
A．
B．
C．
D．
2.“
”是“
”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
3.已知向量
分别是直线
的方向向量，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.对抛物线
，下列描述正确的是（）
A.开口向上，焦点为
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为
D.开口向右，焦点为
5.下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若
”的否命题为：
“若
”
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．命题“
”的否定是：
“
”
D．命题“若
”的逆否命题为真命题
6.已知两点
，
，且
是
与
的等差中项，则动点
的轨迹方程是（）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成的角为（）
A．
B．
C．
D．
8.斜率为
的直线经过抛物线
的焦点，且与抛物线相交于A,B两点,则
=（）
P
A.8B.6C.12D.
9.在四面体
中，点
为棱
的中点.设
，
，那么向量
用基底
可表示为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
10.下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，
、
是多边形的顶点，椭圆过
且均以图中的
为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为
，则（）
A．
B.
C.
D.
11.设
、
是双曲线
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使
（
为坐标原点）且
则
的值为（）
A．
B．2C．
D．3
12
．如右图，在四棱锥
中，侧面
为正三角形，底面
为正方形，侧面
，
为底面
内的一个动点，且满足
，则点
在正方形
内的轨迹为下图中的（）
第Ⅱ卷
（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡相应横线上.
13．在空间直角坐标系中，已知
，
.若
，则
.
14．过双曲线
的右焦点且与
轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于
，
两点，则
．
15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。
四位歌手的话只有两位是真的，则获奖的歌手是_____.
16．在直角坐标系内，点
实施变换
后，对应点为
，给出以下命题：
①圆
上任意一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是圆
；
②若直线
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹方程仍是
则
；
③椭圆
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；
④曲线
：
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹是曲线
，
是曲线
上的任意一点，
是曲线
上的任意一点，则
的最小值为
.
以上正确命题的序号是（写出全部正确命题的序号）.
三、解答题:
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆
：
，直线
交椭圆
于
两点.
（Ⅰ）求椭圆
的焦点坐标及长轴长；
（Ⅱ）求以线段
为直径的圆的方程.
18（12分）已知命题
：
方程
表示焦点在y轴上的椭圆，命题
：
双曲线
的离心率
，若
只有一个为真，求实数
的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
垂直于
和
，侧棱
，且
．
（1）求四棱锥
的体积；
（2）求点
到平面
的距离。
20．（12分）平面直角坐标系
中，抛物线
的顶点在坐标原点，焦点为双曲线
的右顶点．
⑴求抛物线
的方程；
⑵经过已知双曲线的左焦点作抛物线
的切线，求切线方程．
21．（12分）如图
，
是边长为
的等边三角形，
，
分别为
，
靠近
，
的三等分点，点
为
边的中点，线段
交线段
于
点，将
沿
翻折，使平
面
⊥平面
，连接
，
，
形成如图
所示的几何体．
（Ⅰ）求证：
⊥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
22．（14分）椭圆
的离心率
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：
2m－k为定值．
参考答案
一、选择题
1、D2、B3、D4、A5、D6、C7、D8、A9、B10、C11、B12、A
二、填空题
13、
14、
15、丙16、①③④
三、解答题
17、解：
（Ⅰ）原方程等价于
.
由方程可知：
，
，
，
.……………………3分
所以椭圆
的焦点坐标为
，
，长轴长
为
.……………6分
（Ⅱ）由
可得:
.
解得：
或
.
所以点
的坐标分别为
，
.………………………8分
所以
中点坐标为
，
.……………10分
所以以线段
为直径的圆的圆心坐标为
，半径为
.
所以以线段
为直径的圆的方程为
.…………………12分
18、若P真，则
，解得
…………3分
若q真，则
，解得
…………6分
若p真q假，则
，解集为空集；…………8分
p假q真，则
，解得
…………10分
故
…………12分
19、解：
（1）
…………5分
（2）法一：
…………7分
设平面
的法向量为
则
取
…………9分
因为，
所以，点
到平面
的距离
…………12分
法二：
设点
到平面
的距离为
，
…………9分
易知，
所以，
因为，
所以，
，所以，
…………12分
20、解：
⑴依题意，设抛物线
的方程为
……1分
……3分，
所以
，抛物线
的方程为
……5分
⑵双曲线
的左焦点为
……6分
显然
不是抛物线
的切线，设所求切线为
……8分
由
及
得，
，依题意
……8分，解得
……11分
切线方程为
……12分
21、解：
（Ⅰ）证明：
在图1中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，
则DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC.
在图2中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG＝F，所以DE⊥平面AFG.
又DE∥BC，所以BC⊥平面AFG.………6分
（Ⅱ）解：
因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE＝DE，AF⊥DE，
所以，
平面
又因为DE⊥GF，
所以FA，FD，FG两两垂直．………7分
以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.则
A（0，0，2），B（，－3，0），E（0，－2，0），
所以＝（，－3，－2），＝（－，1，0）．
设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z），
则即
取x＝1，则y＝，z＝－1，则n＝（1，，－1）．………9分
显然m＝（1，0，0）为平面ADE的一个法向量，
所以cos〈m，n〉＝＝.………11分
由图形可知二面角B－AE－D为钝角，
所以，二面角B－AE－D的余弦值为－.………12分
22、
（1）解 因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.………5分
（2）证明 因为B（2,0），点P不为椭圆顶点，
则可设直线BP的方程为y＝k（x－2）（k≠0，k≠±），①………6分
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.………8分
由D（0,1），P，N（x,0）三点共线知
＝，解得N.………10分
所以MN的斜率为m＝
＝＝.………12分
则2m－k＝－k＝（定值）．………14分
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