三角形的简单证明与计算docx.docx
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三角形的简单证明与计算docx
三角形的简单证明与计算
1.与三角形有关的角度计算
在下面的问题屮，我们只需用到以下关于角度的定理：
（A）三角形的内角和定理，外角和定理；
（B）等边对等角（由线段相等关系导向角度相等关系的重要定理！
）;
（C）（凸）多边形的内角和定理，外角和定理；
例1、一些以往见过的典型问题：
两条角平分线的交角
（b）；（c）
根据条件识图：
如右图，直线DF与△ABC的边AB交于D,与BC交于E,与AC的延长线交于F,若ZABC与ZADF的角平分线相交于G,ZACB与ZAFD的角平分线相交于H,求证：
ZG=ZH.
例2、看似无关的角度Z间可能具有简单的数量关系！
如图，DC平分ZADB.EC平分ZAEB,^ZDAE=u,ZDBE=P,则ZDCE=.（用a、0表示）
分析：
当我们根据某个定理写出一个角度关系式时，其中所包含的往往不仅是要研究的角度，还有一些不会出现在最终结果里的角度，这提示我们要进行消元处理！
例3、以尽量简短的方式揭示数量关系!
如右图，线段AD、BC交于点O,ZBAD与ZBCD的平分线交于点P,试探究ZP、ZB、ZD三者之间的数量关系.
分析：
三个量Z间可能具有的关系包括彼此相等、某个量是另外两个量之和、某个量是另外两个量的平均数……等等，准确的画图和度量可以帮助我们推测出“平均数关系”是最有可能的.
现在，请你用尽量少的式子（一个定理产生一个与角度有关的关系式）证明自己的推测!
提升练习习题1
如图，在ZVIBC中，Z^=80°，点D、E、F分别在边AB.BC、CA上，BD=BE,CE=CF,求ZDEF的度数.
习题2
在△A3C中，AB=AC,D是A3边上一点，AD=CD=BC,求△4BC三个内角的度数.
习题3
/XABC中，ZCAB—ZB=90°,ZC的平分线与AB交于厶,
ZC的外角平分线与BA的延长线交于N,CL=3,求CN=2
习题4
如图，CD是Rt△斜边AB±的高，ZA的平分线4E交CD于H,交ZBCD的平分线CF于G.求证：
HF//BC.
习题5如图，已知ZVIBC,AA'平分其外角ZBAE,交CB延长线于/T点，平分其外角/CBD,交AC延长线于点，若AAf=AB=BB',则ABAC的度数是多少？
习题6
如图（a）,在AABC屮，AB=AC,过A点作线段AD=AC.
（1）若已知ZB4C=40°,求ZBDC=2
（2）请你推测ZBAC与ZBDC的数量关系，并证明自己的结论.
（b）
D
（3）如图，E为正方形ABCD外一点，AE=AD,根据你的发现，ZBED=
二、作为基本语言的全等证明
全等是论证过程中最可靠的表述方式之一，很多看似合理却难以说清楚的问题，只要选择合适的全等三角形（有时还要主动去将它们构造出来），就可以给岀清晰的论证.
1、在三角形全等判据中，“边角边”是最基本的，其他儿条可以看作是它的推论.
命题1一1在厶ABC中，若AB=AC,则ZABC=ZACB・
分析：
由于只能使用“SAS”判据，我们不得不走一条“迂回”的路.分别延长AB、AC至£＞、E,使得BD=CE,通过两次“SAS”全等完成证叽
命题1一2在厶ABC中，若ZABC=Z4CB,则AB=AC.
分析：
在只能用“SAS”的前提下，这条定理的证明是用命题1—1结合“大边对大角”用反证法來实现的，我们会在下学期具体讨论它的证明.
命题1一3三角形全等的“SSS”判据.
已知：
AB=AXB,AC=AlC,BC=BC（令一对相等的边重合）.求证：
△ABC竺△A|BC.
命题1一4三角形全等的“ASA”和“AAS”判据.（写出已知、求证，画图并完成证明）
命题1-5三角形全等的“HL”判据.
分析：
根据勾股定理，已知直角三角形的两边即可求出第三边，因此由“SSS”可以证明“HL”正确，下面我们用“SAS”证明勾股定理.为此，我们用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，再用两种方式表示其面积.
已知：
ZBC中，ZACB=90Q,记三边长分别为a、b和c.
求证:
a+b2=c2.
证明：
以a+b为边长作正方形MNPQ〈四条边都相等，四个角都是直角），在各边上取点S、T、U、V,使得SN=TP=UQ=VM=a,SM=TN=UP=VQ=b,
命题1—6关于“两边一角”的补充:
如图，AABC与△DEF,AB=DE,AC=DF,ZACB=ZDFE=a（90°求证：
2、用全等语言来论证一些直观合理、逻辑上不容易解释的命题.
命题2—1平行线的判据：
同位角相等，两直线平行.
根据平行公理：
过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行.利用尺规作图可以作出相等的同位角（这一作图根据的是全等判据）,现在我们来证明：
同位角相等时,所得到的直线就是公理中所说的那条直线.
已知：
如图，直线＜3与直线A和?
2分别交于点A、B,Z1=Z2.
求证:
h//l2.
分析：
用反证法.假设直线厶和“相交于点P（不妨设卩点位于厶右侧），则可形成△ABP.但是Z1与Z2的补角也是相等的同位角，因此人左侧也可以交出一个△AB0由此导出矛盾.
证明：
设直线和乙相交于点户（不妨设P点位于＜3右侧），在厶左侧截AQ=BP,连接BQ.
则在ZVIBP与△B4Q中,
AB=BA（公共边）
＜Z2=Z3（已证）
・•・/\ABP^/\BAQ（）
BP=AQ（己作）
・•・Z4=Z5（）
又・・・Zl+Z4=180°（）,Z1=Z2（已知）
・•・Z5+Z2=180°（）,即Q、B、P三点共直线.
由此，与公理“”矛盾，否定前提假设，则有1}//12.
命题2-1两条平行线之间所夹的垂线段长度都相等.
已知：
如图，直线/i〃bA、B为b上任意两点,AP丄/i，BQ丄几求证：
AP=BQ.
（提示：
连接AQ）
命题2-2若两直线之间所夹的垂线段长度相等，则它们互相平行.
已知：
如图，A、B为直线厶同侧两点，AP丄/i，BQ丄h・求证：
AB//1\.
利用命题2—1和2-2,结合面积方法，可以得到下面两个主要定理:
AriAT
Anap命题2-4在3C中，若DE〃BC,则
命题2—3在心眈中，若-=^DE//BC.
如果将平行四边形定义为“两组对边分别平行的四边形”，那么两组对边分别相等的四边形是否也是四边形呢？
该如何说明？
命题2-5：
如图，在四边形ABCD中，若A〃=CD,AD=BC.贝iAB//CDtAD//BC.（或者说，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
命题2-6直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（我们曾在习题中见过该证明的“半成品”，现在自己写出已知、求证，画图并完成证明）
由此可以导出下面这个有趣的结果（请你给出证明）：
命题2—7直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
命题2—8若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角为30。
・
三、三角形综合练习
1、如图，在ZSABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且AN=2NC,CM与BN相交于点K.若ABCK的面积等于1,则厶ABC的面积是多少？
2、如图，已知C是的屮点，CD=CE,ZDCA=ZECB.求证：
ZDAE=kEBD.
3、如图，求Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7的度数.
4、如图，在线段AB同侧做直角△4BC和直角△ABD求证：
ZADC=ZABC.
（提示：
作边上的中线，并使用命题2—6）
*5、在ZVIBC中，ZB=100°,ZC的平分线交边AB于E,在边AC上取点Q,使得ZCBD=20。
连接QE则ZCED的度数是多少？
客6、AABC中，ZA=2ZB,CD是ZACB的平分线.求证：
BC=AC+AD.
*7、在厶ABC中，AB=AC,ZABC=40°,BD是ZB的平分线，延长至E，使DE=AD.求ZECA的度数.
*8、在△ABC的3个顶点处分别作外角平分线，其交点构成△PQR.证明：
PC丄QR.
最后一个证明使你联想到什么新的结果？
请你试着就“三角形的心（内心、外心、旁心、重心）”等问题进行尝试和探索，看看能否得到一些有趣的结果？
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