九年级数学一元二次方程教案5篇.docx
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九年级数学一元二次方程教案5篇
九年级数学一元二次方程教案5篇
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
今天在这里整理了一些，我们一起来看看吧!
九年级数学一元二次方程教案1
教学目标
1。
知识与技能
了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题。
2。
过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。
根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。
九年级数学一元二次方程教案2
【主体知识归纳】
1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.
2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.
4.直接开平方法形如x2=a（a≥0）的方程，因为x是a的平方根，所以x=±，即x1=，x2=-
.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
5.配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）化成（x+）2=
的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：
（1）将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;
（2）将常数项移到方程右边;（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方;（4）当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.
6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=（b2-4ac≥0），这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
【基础知识讲解】
1.一元二次方程的概念包涵三个条件：
（1）整式方程;
（2）方程中只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2”.
一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?
应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.
2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.
3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.
4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.
5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公
式了.
【例题精讲】
例1：
指出下列方程中哪些是一元二次方程：
（1）5x2+6=3x（2x+1）;
（2）8x2=x;（3）y3-y-1=0;
（4）4x2-3y=0;（5）-x2=0;（6）x（5x-1）=x（x+3）+4x2.
剖析：
判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：
①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.
只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.
解：
（1）去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，
∴此方程是一元二次方程.
（2）移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.
（3）因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.
（4）∵方程中含有两个未知数，
∴它不是一元二次方程.
（5）∵a=-1≠0，
∴它是一元二次方程.
（6）整理，得4x=0
∴它不是一元二次方程.
例2：
写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）2x2=3x+5;
（2）（x+1）（x-1）=1;（3）（x+2）2-4=0.
剖析：
虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的.二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.
解：
（1）整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.
（2）整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.
（3）整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.
例3:
关于x的整式方程（m-1）x2+（2m-1）x+4=0是一元二次方程吗?
剖析：
要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：
（1）整式方程;
（2）方程中只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2.原方程显然满足
（1）、
（2）.由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足（3）.因此，需分类探讨.
解：
当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.
当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.
说明：
在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.
例4:
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2-27=0;
（2）（3x-5）2-7=0.
解：
（1）3x2-27=0，3x2=27，x2=9，
∴x=±，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.
（2）（3x-5）2-7=0，（3x-5）2=7，
∴3x-5=±，
即3x-5=或3x-5=-.
∴x1=，x2=.
例5：
用配方法解方程2x2+7x-4=0.
剖析：
此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：
（1）将二次项系数化为1;
（2）将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为（x+a）2=k的形式，然后用开平方法求解.
解：
把方程的各项都除以2，得x2+x-2=0.移项，得x2+x=2.配方，得x2+x+（）2=2+（）2=，即（x+）2=.
解这个方程，得x+=±，x+=±.即x1=，x2=-4.
说明：
配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：
2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2（x-1）2+1.
例6：
用公式法解下列方程：
（1）2x2+7x=4;
（2）x2-1=2x.
解：
（1）方程可变形为2x2+7x-4=0.
∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×（-4）=810，
∴x=.∴x1=，x2=-4.
（2）方程可变形为x2-2x-1=0.
∵a=1，b=-2，c=-1，b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=160.
∴x=.∴x1=+2，x2=-2.
说明：
在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.
例7：
一元二次方程（m-1）x2+3m2x+（m2+3m-4）=0有一根为零，求m的值及另一根.
解：
因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.
把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，
解得：
x1=0，x2=9.6，
所以方程的另一根为9.6.
说明：
方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.
【同步达纲练习】
1.选择题
（1）下列方程中是一元二次方程的是（）
A.=0B.=0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1
（2）下列方程不是一元二次方程的是（）
A.x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C.x2-3x=0D.x2-x=（x2+1）
（3）方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）
A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0
（4）一元二次方程2x2-（a+1）x=x（x-1）-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为（）
A.-1B.1C.-2D.2
（5）若方程（m2-1）x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）
A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1
（6）方程x（x+1）=0的根为（）
A.0B.-1C.0，-1D.0，1
（7）方程3x2-75=0的解是（）
A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根
（8）方程（x-5）2=6的两个根是（）
A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+
C.x1=-5+，x2=-5-D.x1=5+，x2=5-
（9）若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为（）
A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1
（10）关于x的方程3x2-2（3m-1）x+2m=15有一个根为-2，则m的值等于（）
A.2B.-C.-2D.
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4x+1=9x2;
（2）（x+1）（x-3）=2x-3;
（3）（x+3）（x-3）=2（x-3）2;（4）y2-y=y2-y+.
3.当m满足什么条件时，方程（m+1）x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?
当x=0时，求m的值.
4.用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=;
（2）x2=1.96;（3）3x2-48=0;
（4）4x2-1=0;（5）（x-1）2=144;（6）（6x-7）2-9=0.
5.用配方法解下列方程：
（1）x2+12x=0;
（2）x2+12x+15=0（3）x2-7x+2=0;
（4）9x2+6x-1=0;（5）5x2-2=-x;（6）3x2-4x=2.
6.用公式法解下列方程：
（1）x2-2x+1=0;
（2）x（x+8）=16;（3）x2-x=2;（4）0.8x2+x=0.3;
（5）4x2-1=0;（6）x2=7x;（7）3x2+1=2x;（8）12x2+7x+1=0.
7.
（1）当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?
（2）当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?
8.已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，解方程ax2+bx+c=0.
9.已知a+b+c=0.求证：
1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
10.用配方法证明：
（1）3y2-6y+11的值恒大于零;
（2）-10x2-7x-4的值恒小于零.
11.证明：
关于x的方程（a2-8a+20）x2+2ax+1=0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程.
九年级数学一元二次方程教案3
教学目标
1.了解整式方程和一元二次方程的概念;
2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：
重点：
一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：
对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：
1.教材分析：
1）知识结构：
本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2）重点、难点分析
理解一元二次方程的定义：
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且
，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：
（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了
的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：
“关于的方程”，这就有两种可能，当
时，它是一元一次方程;当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
教学目的
1.了解整式方程和一元二次方程的概念;
2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点:
重点:
1.一元二次方程的有关概念
2.会把一元二次方程化成一般形式
难点:
一元二次方程的含义.
教学过程设计
一、引入新课
引例：
剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?
分析：
1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决?
（间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程（x（x十5）=150）
深入引导：
方程x（x十5）=150有人会解吗?
你能叫出这个方程的名字吗?
二、新课
1.从上面的引例我们有这样一个感觉：
在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程（板书课题）
2.什么是—元二次方程呢?
现在我们来观察上面这个方程：
它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程.（板书一元二次方程的定义）
3.强化一元二次方程的概念
下列方程都是整式方程吗?
其中哪些是一元一次方程?
哪些是一元二次方程?
（1）3x十2=5x—3：
（2）x2=4
（2）（x十3）（3x·4）=（x十2）2;（4）（x—1）（x—2）=x2十8
从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
4.一元二次方程概念的延伸
提问：
一元二次方程很多吗?
你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?
引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的#39;一般形式
ax2+bx+c=0（a≠0）
1）.提问a=0时方程还是一无二次方程吗?
为什么?
（如果a=0、b≠就成了一元一次方程了）。
2）.讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称.
3）.强调：
一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：
特别注意的是“=”的右边必须整理成0。
强化概念（课本P6）
1.说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）x2十3x十2=O
（2）x2—3x十4=0;（3）3x2-5=0
（4）4x2十3x—2=0;（5）3x2—5=0;（6）6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）6x2=3-7x;（3）3x（x-1）=2（x十2）—4;（5）（3x十2）2=4（x-3）2
课堂小节
（1）本节课主要介绍了一类很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元一二次方程）;
（2）要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c=0（a≠0）并且注意一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。
特别注意的是“=”的右边必须整理成0;
（3）要很熟练地说出随便一个一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：
二次项系数、一次项系数.
课外作业：
略
九年级数学一元二次方程教案4
一、选择题
1.下面关于x的方程中①ax+bx+c=0;②3（x-9）-（x+1）=1;③x+3=④（a+a+1）x-a=0
.一元二次方程的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
2.要使方程（a-3）x+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）
A.a≠0B.a≠3C.a≠1且b≠-1D.a≠3且b≠-1且c≠0
3.若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（）
A.2B.3C.-2或3D.2或-3
4.若关于x的一元二次方程3x+k=0有实数根，则（）
A.k0B.k
5.下面对于二次三项式-x+4x-5的值的判断正确的是（）
A.恒大于0B.恒小于0C.不小于0D.可能为0
6.下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：
（1）若x=a，则x=a;
（2）方程2x（x-1）=x-1的根是x=0;（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5.?
其中答案完全正确的题目个数为（
）
A.0B.1C.2D.3
7.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，?
而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）
A.500元B.400元C.300元D.200元
8.利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，?
则第二季度共生产零件（）22222222221;x
A.100万个B.160万个C.180万个D.182万个
二、填空题
9.若ax+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+60的解集是________.
10.已知关于x的方程x+3x+k=0的一个根是-1，则k=_______.
11.若
x-4x+8=________.2222
12.若（m+1）xm（m?
2）?
1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________.
13.若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax+bx+c=0必有一个定根，它是_______.
14.若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______.
15.若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________.
三、计算题
16.按要求解方程：
（1）4x-3x-1=0（用配方法）;
（2）5x（精确到0.1）22
2
17.用适当的方法解方程：
（1）（2x-1）-7=3（x+1）;
（2）（2x+1）（x-4）=5;
（3）（x-3）-3（3-x）+2=0.
2222
18.若方程x
=0的两根是a和b（ab），方程x-4=0的2
正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在.若存在，求出它的面积;若不存在，说明理由.
19.已知关于x的方程（a+c）x+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，?
其中a，b，c是△ABC的三边长.
（1）求方程的根;
（2）试判断△ABC的形状.
20.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几?
21.李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11第一文库网?
公里，应收29.10元”.出租车司机说：
“请付29.10元.”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N
222.方程x（x?
2）?
0的根是（）
Ax?
2Bx?
0Cx1?
0,x2?
?
2Dx1?
0,x2?
2
%，则平均每次降23.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81
价（）A.10%B.19%C.9.5%D.20%
24.关于x的一元二次方程x2?
mx?
?
m?
2?
?
0的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
25.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）
A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的#39;实数根
22D.有两个不相等的实数根26.关于x的一元二次方程x?
mx?
2m?
0的一个根为1，则方程的另一
根为.
27.小华在解一元二次方程x-4x=0时.只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____.
28.在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使
得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长。
29.阅读材料：
如果x1，x2是一元二次方程ax2?
bx?
c?
0的两根，那么2
bc有x1?
x2?
?
x1x2?
.这是一元二次方程根与系数的关aa
系，我们利用它可以用来解题:
2设x1,x2是方程x2?
6x?
3?
0的两根，求x12?
x2的值.
解法可以这样：
x1?
x2?
?
6,x1x2?
?
3,则
2x12?
x2?
（x1?
x2）2?
2x1x2?
（?
6）2?
2?
（?
3）?
42.请你根据以上解法解答下题：
已知x1,x2是方程x2?
4x?
2?
0的两根，求：
（1）
（x1?
x2）2的值
.
11的值;
（2）?
x1x2
答案:
一、
1.B
点拨：
方程①与a的取值有关;方程②经过整理后，二次项系数为2，?
是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+123）+.不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次24
方程;方程⑤不是整式方程.也可排除，?
故一元二次方程仅有2个.
2.B点拨：
由a-3≠0，得a≠3.
3.C点拨：
用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-2.
4.D点拨：
把原方程移项，变形为：
x=-
故-2k.由于实数的平方均为非负数，3k≥0，?
则k≤0.3
2222
225.B点拨：
-x+4x-5=-（x-4x+5）=-（x-4x+4+1）=-（x-2）=-1.
由于不论x取何值，-（x-2）≤0，所以-x+4x-5
6.A点拨：
第
（1）题的正确答案应是x=±
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