九年级数学圆的综合运用专题.docx
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九年级数学圆的综合运用专题
九年级数学（）（）圆的综合运用专题
圆知识点1，圆的定义及相关概念1，圆的定义:
由平面上与固定点的距离等于固定长度的所有点组成的图形称为圆2.相关概念:
弦和直径；弧形、等弧形、上弧形、下弧形、半圆形；弦中心距离；等圆、同圆、同心圆任何两点之间的圆部分称为弧，或简称为弧。
连接圆上任意两点的线段称为弦，穿过圆心的弦称为直径，直径是最长的弦在同一个圆或相等的圆中，两个可以重合的弧称为相等的弧。
例如，如果p是≦0内的一个点，OP=3厘米，半径88o是5厘米，通过p的最短弦长是______；？
最长的弦长是______。
解答思路:
圆中最长的弦是直径，最短的弦是垂直于OP的弦，答案是10厘米，8厘米。
知识点2，平面上的点与圆之间的位置关系平面上的点与圆之间有三种位置关系:
圆外的点，圆上的点，圆内的点当点在圆外时，d>r；相反，当d>r时，该点在圆之外当点在圆上时，d=r；相反，当d=r时，点在圆上当点在圆内时，d1
圆周角定理推论2:
直径的圆周角为直角；90°圆角对着的弦是直径。
例1如图所示，在半径为5厘米的≧0°范围内，从圆的中心到弦长为3厘米，那么弦长为（a.4厘米，b.6厘米，c.8厘米，d.10厘米）。
根据垂直直径定理，有R2=d2+
（2），所以如果你知道三个量中的两个，你可以找到第三个。
答案是c情况2，如图所示，a、b、c、d是⊙0上的三个点，且⊙BAC=30，那么⊙≈BOC的大小是（）a、60b、45c、30d和15。
利用周向角和中心角之间的关系定理，答案是情况3，如图1和2所示，MN是直径≧0，弦AB与MN相交？
桌子上有一个小p？
？
∠装甲运兵车=∠装甲运兵车。
（1）基于以上条件，你认为AB和CD的大小关系是什么，请解释原因。
（2）如果交点P在≧0之外，上述结论成立吗？
如果成立，证明它；如果没有，请解释原因。
解决问题的思路:
（1）要解释AB=CD，只需证明AB和CD有相同的中心角。
只要其中一半相等，上述结论仍然有效，其证明思路与上述主题相同。
解决方案:
（1）AB=CD原因:
0表示运行经验，分别垂直于AB和CD。
根据垂直直径定理:
AB=CD
（2）作为OE⊢ab，⊢CD，垂直英尺为e，f
2
≈APM=≈CPN和OP=OP，peo=≈pfo=90∴rt易于证明的Rt△OBE≌Rt△ODF，rt△oae≌rt△ocf∴∠1+∠2=∠3+∠4∴ab=CD情况4。
如图所示，AB是直径，BD是弦，为什么？
思考:
BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰的，来证明d是BC的中点？
只要连接广告证明广告是高的或∠BAC的平分线。
解决方案:
BD=CD原因是:
如图24-30所示，连接ad\uab的是⊙O直径∴≈ad⊥bc=90，即ad⊢BC和∾AC=ab∴BD=CD知识点iv，圆与三角形1的关系，三个不在同一直线上的点确定一个圆2.三角形的圆周圆:
通过三角形三个顶点的圆3.三角形的外中心:
三角形三条边上垂直平分线的交点，即三角形外接圆的中心4.三角形内切圆:
与三角形所有三条边相切的圆5.三角形的中心:
三角形三个角平分线的交点，即三角形内切圆的中心例1如图所示，通过防治非典，人们的卫生意识增强了，街上乱扔生活垃圾的人减少了，人们自愿将生活垃圾倒入垃圾桶。
如图24-49所示，a，b，c？
对于城市中的三个居民区，环境保护公司将建造一个垃圾收集站。
为了方便起见。
如果你是一名工程师，你将如何在一个三个区相等的地方找到要建的回收站？
AODCBAC
b3
解决思路:
连接AB和BC，使线段AB和BC成垂直线。
两条垂直平分线的交点就是垃圾收集箱的位置。
图中显示了示例2。
点O是△ABC内切圆的中心。
如果∠BAC=80，那么∠BOC=（）A.130B.100C.50D.65。
解决这个问题的关键是找出三角形内切圆的中心是三角形内角平分线的交点。
答案A如图3所示。
Rt△ABC，r；另一方面，当d>r时，直线和圆分开切线的性质定理:
圆的切线垂直于切点的直径切线。
穿过直径一端并垂直于该直径的直线是圆的切线切线长度:
在通过圆外一点的圆的切线上，从该点到切点的线段长度称为从该点到圆的切线长度切线长度定理:
从圆外的一点通向圆的两条切线具有相同的切线长度，连接圆的中心和圆外的点的线平分两条切线之间的夹角例1，在十字路口？
分居？
在中，BC=6厘米，4
，88A与BC相交；当时，88A
与BC分离。
例2。
如图所示，AB是直径≦O，c是点在≦O，d是在AB的延长线上，并且dcb=？
？
∠a.
（1）CD与⊙O相切吗？
如果它是相切的，请证明它。
如果不是相切的，请解释原因。
（2）如果圆与≧0相切，且≧d=30，BD=10，求半径≧0。
解决方法:
（1）要解释圆是否与≧0相切，只需解释圆是否垂直于圆，垂直脚是否为c，？
因为点c已经在圆上了。
很容易从已知的:
5
如果两个圆的半径分别为r1和r2，圆的中心之间的距离（两个圆的中心之间的距离）为D，则两个圆之间存在位置关系，D与r1和r2之间存在关系。
r1+r2外切？
D=r1+r2相交？
│R1-R2│2，9？
X2=x+1，x=4>-2，∴b（4，0），当xEB，即大树，必须位于待建池的边缘时，方案应重新设计。
≇当x=2.4，DE=5∴AD=3.2时，从圆的对称性可知另一个满足条件的设计方案，如图所示。
交流电=6，直流电=8，交流电=1.8，交流电=3.2。
这种设计既满足了条件，又避免了大树。
知识点8、弧长、扇形和锥形侧面面积n？
Rn？
R2要点:
弧长L=，扇形面积S，扇形面积S=，锥体侧向面积及其在N°定心角中的应用。
180360困难:
公式的应用。
1.弧长L=n，对中角为？
R180n？
R22..中心角为N的扇形面积为S扇形=3603。
整个面积由侧面积和底面积组成，所以整个面积=？
Rl+R2。
例1。
操作和验证:
如图所示，o是边长为a的正方形ABCD的中心。
将半径足够长且圆心成直角的扇形纸板的中心放在o处，并围绕o点旋转纸板，以证明正方形ABCD被纸板覆盖的那部分边的总长度是一个固定值a。
解决方法:
如图所示，您可以设置扇形纸板的两侧以及正方形的边AB和ad。
分别在点m和n处，连接OA和OD的四边形ABCD。
∫是∴OA=OD广场，≅AOD=90，≅Mao=∠NDO，而∠mon=90。
∠aom=∠don∴△amodno
∴am=dn∴am+an=dn+an=ad=a特别是，当点m与点a（点b）重合时，点n必须与点d（点a）重合，此时am+an仍然是固定值a。
因此，边被纸板覆盖的正方形部分的总长度是固定值a。
例2。
众所周知，扇形的圆心角是120°,面积是300°?
Cm2。
（1）计算扇形的弧长；
（2）如果扇形卷成圆锥形，圆锥的轴向横截面积是多少？
n？
Rn？
R2的想法是:
（1）从s扇区=中找出r，并将其代入L=中找出答案。
（2）如果这个扇区被卷成一个圆锥体？
扇形的弧长是180360，这是圆锥底部圆的周长，可以得到圆的半径。
它的截面是一个以直径为底的圆。
圆锥的母线是腰部的等腰三角形。
解决方案:
（1）如图所示:
120？
R2∶300？
=∴R=30360∴弧长L=120？
？
？
30=20？
（cm）180
（2）如图所示:
20？
=20？
r∴r=10,R=30AD=900？
100=202∴S轴截面==1×BC×ad21×2×10×202=2002（cm2）2因此，扇形的弧长为20？
卷成圆锥形的厘米的轴向横截面为2002平方厘米..考试的第一个目的主要是指圆的基本知识，包括圆的对称性、圆心角与圆弧和弦的相等关系、圆心角与圆心角的关系、直径与圆心角成直角、垂直直径定理等。
这部分是圆的基础知识。
学生应该学会运用相关知识进行简单的几何推理和几何计算。
例1，如图所示，AB是直径≧o，BC是弦，OD⊥BC是e，BC是d
（1）。
请写下五种不同类型的正确结论。
（2）如果BC=8，ED=2，求半径≧0。
求解思路:
用圆的垂直直径定理求解:
（1）不同类型的正确结论是:
①BE=CE；
（2）弧BD=弧CD③∠床=90④∠BOD=∠a；⑤ac∥od,⑥ac⊥bc；？
10
⑦OE2+BE2=OB2；⑧S△作业成本法=作业成本法；⑨△BOD为等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC；（∴2）∵od⊥bcbe=ce=1bc=4.2，如果o的半径是r，OE=od-de=r-2。
在Rt△OEB中，oe2+be2=来自毕达哥拉斯定理的ob2，即（r-2）2+42=R2。
解r=5。
0的半径是5×2。
如图所示，已知△ABC内接≦o，点p在下方弧形印刷电路板上，链接光盘。
（1）如图1所示，如果三角形穿过圆心，请判断三角形△PDC是什么？
并解释原因。
（2）如果AP没有通过中心o，如图2所示，δ△PDC是什么三角形？
为什么？
解决问题的思路:
（1）三角形PDC是一个等边三角形。
原因:
三角形:
△ABC是等边三角形∴AC？
BC，AAOBP图①OCBPD图②和∫in≧O？
PAC？
？
DBC也∪ap？
BD∴△APC≌△BDC.∴PC？
DC特区:
美联社穿过中央车站？
空调？
BAC？
601∴？
BAP？
？
PAC？
？
BAC？
30∴？
BAP？
？
BCP？
30？
PBC？
？
PAC？
302∴？
CPD？
？
PBC？
？
BCP？
30？
30？
60∯PDC是等边三角形。
（2）△PDC仍是等边三角形:
证明△APC≍BDC（同上）∯PC？
DC？
BAP？
？
PAC？
又是60岁？
BAP？
？
BCP？
PAC？
？
PBC∴？
CPD？
？
BCP？
？
PBC？
？
BAP？
？
PAC？
60度，电脑？
∴△PDC特区是一个等边三角形。
例3。
（1）如图OA和OB所示，是两个半径⊙O，OA⊥OB，点c是OB延长线上的任何一点:
通过点c，在点d处进行CD切割⊙O，在点e处将AD连接到DC，验证:
CD=CE
（2）如果图中半径OB的直线向上平行于OA在f处相交，在b’处相交⊙O，并且其他条件保持不变，上述结论CD=CE成立吗？
为什么？
（3）如果图中半径为OB的直线在⊙O外向上平行于CF，e点为DA和CF延长线的交点，其他条件保持不变，上述结论CD=CE是否仍然有效？
为什么
11
解决思路:
本课题主要考查圆的相关知识，考查图形运动变化中的探究能力和推理能力。
解决方案:
（1）证明:
链接OD是OD⊥CD，∲CDE+∠ODA=90在Rt△AOE，∠AEO+∠A=90在⊙O，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO和∠AEO=∠CED，√CDE=√CED∴CD=CE
（2）CE=CD仍然有效。
*原始半径OB平行向上移动，∴=⊝ao，在Rt中△AFE，√A+√AEF=90。
连接OD，有√ODA+√CDE=90。
OA=OD。
∠a=∠ODA∴∠AEF=∠CDE和∠AEF=∠ced∴∠ced=∠CDE∴CD=ce（3）ce=CD仍然有效。
*原始半径OB平行向上移动。
ao⊥CF将OA扩展到CF中的g，在Rt中△AEG，∠AEG+∠GAE=90有∠CDA+∠ODA=90，OA=od∴ado=∠oad=∠gae∴CDE=∠ced∴CD=ce来考察第二个目标，它主要涉及指向与圆之间的位置关系，直线与圆之间的位置关系，以及圆与圆之间的位置关系。
学生应该学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系问题。
例1，AB是直径≦0，PA在a中切割≦0，OP在c中与≦0相交，甚至是BC。
如果。
p？
请给我30美元。
解决问题的想法:
利用切线的性质。
a。
？
？
帕切⊙o在a中，AB的直径是⊙O？
鲍？
90.采购订单？
？
p？
30？
∴？
人工臭氧层？
60？
。
∴？
b？
1？
人工臭氧层？
30？
2
B12
例2。
如图所示，四边形ABCD内接≧0，BD是≧0的直径，AE？
垂直的脚是e，DA是平分的？
BDE。
（1）验证:
声发射与≥0相切；
（2）如果？
DBC？
30，德？
1cm，找到BD的长度。
解决思路:
用切线判断
（1）证明:
连接OA，？
检察官平分了吗？
BDE？
？
BDA？
？
埃达。
提单？
华盛顿特区？
办公自动化？
外径？
？
官方发展援助？
？
OAD。
？
？
OAD？
？
埃达。
？
办公自动化。
？
AE？
德？
？
AED？
90？
什么？
OAE？
？
缉毒局？
90？
。
？
AE？
办公自动化。
？
声发射与≧o相切？
BD是直径。
？
密件抄送？
？
不好吗？
90.？
急症室？
？
DBC？
30？
什么？
BDC？
60？
什么？
？
BDE？
1XXXX中考的必修内容之一学生应该理解圆柱和它的边展开矩形、圆锥和它的边展开扇形之间的关系。
例1，如图所示，已知在⊙O，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD是f，并且⊙a=30。
（1）找出图中阴影部分的面积；
（2）如果阴影扇形OBD用于形成圆锥的一个边，则要求圆锥底部的圆的半径。
（1）方法1:
如果o在e中用作OE⊥AB，AE=？
？
？
？
1AB=23AEO2A，BAC=30，cos30=AE。
∴OA==cos30？
332o=4。
bfccd
13
和:
>OA=OB，∴≈ABO=30。
∲BOC=60。
？
？
光盘？
。
cod=≈BOC=60∶AC⊥BD，∴BC。
*生化需氧量=120。
∫s阴影=nπ？
OA=120π？
42？
16π.3603623A的方法2:
连接交流⊥BD，交流是直径，8756；交流电垂直平分线美国银行光盘？
？
光盘？
∴∠bad=2∠bac=60∴ab=ad,bf=fd,bc,∴∠bod=120。
BF=AF13AB=23，sin60=，AF=ABsin60=43×=6∴ob2=bf2+of2。
也就是说，（23）2？
（6？
OB）2？
Ob2。
∴ob=4。
∴的阴影=S圆=π33方法3:
连接BC。
∫AC是⊙O直径，∴≈ABC=90∵AB=43,∴AB43？
？
8cos30？
32BAAC？
o≈a=30，AC⊥BD，∴BOC=60，BOD=120。
fcd1216∴阴影=120πoa2=×4π=π以下33360与第一个相同
（2）如果圆锥底部的圆的半径是r，周长是2πr，∴2πr？
1204π？
4∴r？
1803A？
例2。
如图所示，从直径为2的圆形铁片上切出一个中心角为90°的扇形。
（1）找出扇区的面积（结果是否保留？
）。
①O③②B·C
（2）在剩余的三块余料中，能否从作为底面的第三块余料上切下一个圆，与该扇区形成一个圆锥体？
请解释原因。
（3）当≦0半径R（R？
当0）是任何值时，2）中的结论仍然成立吗？
请解释原因。
14
解思路:
（1）连接BC，由勾股定理得到:
n？
R21？
？
阿布？
空调？
2秒？
3602
（2）连接AO并以弧线BC和？
O到E，f，A①②B③O到ECn？
R2EF？
房颤？
AE？
2？
弧长BC:
l？
？
？
1802年？
2？
r。
22岁？
？
圆锥体底面的直径是2r？
22F？
2？
2？
2，？
不能在剩余的材料③上切一个圆作为底面，用这个扇形点形成一个圆锥吗？
R2？
？
R1802（3）是由毕达哥拉斯定理获得的:
AB？
空调？
2R弧的长度BC:
l？
？
2？
r。
2？
R22R2？
圆锥体底面的直径是2r？
英孚？
房颤？
AE？
2R？
2R？
（2？
2）R？
2？
2？
2和r？
022R2？
（2？
2）R？
也就是说，不管半径r是多少，EF？
2r？
不能在剩余的材料③中切出一个圆作为底面来与这个扇区形成一个圆锥体。
15
初中数学圈练习题及答案1。
众所周知，AB是直径≧0，BD？
在点C处切割≥O，在点E处与延伸线相交，如果≥O半径为2厘米，计算声发射长度。
？
？
A1opdcb2。
如图所示，在点a和点b处，点c和点d是大的⊙0字符串，同时，它们是小的⊙0字符串，连接AB和扩展的交通大学⊙0
（1）验证:
行政长官？
是吗？
空调？
体育；
（2）如果个人电脑=8，光盘=12，找到BE长度。
4.如图所示。
在ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，o，我是？
ABC的心脏:
OI⊥AK.AIBKOC16
5，如图1和图2所示，MN是直径⊙0，弦AB和CD？
与MN相交？
桌子上有一个小p？
∠装甲运兵车=∠装甲运兵车。
（1）基于以上条件，你认为AB和CD的大小关系是什么，请解释原因。
（2）如果交点P在≧0之外，上述结论成立吗？
如果成立，证明它；如果没有，请解释原因。
afmpecaebndonbpmfc
（1）
（2）6，2.众所周知，如图所示，等边△ABC内接在⊙0，点p是下弧面上的一个点（除了端点），将基点延伸到d，就成了BD？
美联社，链接光盘。
（1）如图1所示，如果三角形穿过圆心，请判断三角形△PDC是什么？
并解释原因。
（2）如果AP没有通过中心o，如图2所示，δ△PDC是什么三角形？
为什么？
Aocb
17
aocpdp图①D图②
7。
（1）图OA和OB是两个半径≦o，OA⊥OB，点c是OB延长线上的任何一点:
点c在点d交叉CD切割≦o，AD交叉点DC在点e连接。
验证:
CD=CE
（2）如果图中半径OB的直线向上移动并平行于相交OA在f，相交≦o在b’，其他条件保持不变，那么上述结论CD=CE仍然有效吗？
为什么？
（3）如果图中半径为OB的直线在⊙O外向上平行于CF，e点为DA和CF延长线的交点，其他条件保持不变，上述结论CD=CE是否仍然有效？
为什么8，如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD
（1）P是最佳圆弧CAD上的一个点（不与C和D重合）。
核实:
（2）当点P′在下弧圆上（与C和D不重合）时，≈CP′D和COB之间的定量关系是什么？
请证明你的结论。
18
9。
如图所示，在平面直角坐标系中，88c与y轴相切，点C的坐标为（1，0），直线l通过点a（-1，0），与点d相切，且≧C，从而得到直线l的解析表达式
19
答案1，a做AF⊥CE后在f因为AB是≧o直径，CE//AB切≧o在c点所以AF=OC=圆半径，BC=AC≧BAC=45因为AB的直径≧o≧bad=30因为弧BD=2倍弧CD，而∠AEF=∠BAD=30因为ab//ce；AE=2*AE=4cm2，因为AE=2厘米/易于证明:
pc=pd，pa=pb，所以:
AB∪CD，√ECD=√EFC（内角错误）和√DCE=√DPE（同弦）所以√CEA=√BPE因为:
pc=pd所以√PDC=√PCD和√PEC（同弦）所以√PEC=√PCD和√AEC=√ECD所以√ACE=√根据角平分线的性质，BE:
EC=AB:
AC=2:
3，BE+EC=5，得到如图所示的BE=2，EC=3，分别取AB和AC中点d和f，连接di、DO、df、OA、OF∫BD=AB/2=2，8756；BD=beI是心脏，∴BI是abc的平分线，所以δBDI≑δBei（角）是ID=IE根据角平分线性质，让ID=IE=x知道AI:
IE=AB:
BE=2，因此AI=2IE=2x，AE=3x∫ab:
ai=4:
（2x）=2:
x，AC:
AE=6:
（3x）=2:
x，8756ab:
AI=AC:
AE和∫Bai=≈CAE，∴≈δBai∾δCAE，∴∠ABI=∠ACB，bi:
ab=ce:
ca=1/1即，BI=2∴BI=BD=BE，≅BDI=∠bid=∠bid=873lf是AB和AC的中点，∴df≈BC，∴≈BC∴od⊥AB，类似地，OF⊥AC是a、d、o和f的四点圆。
∴∠AOD=∠AFD=∠ACB和≈aid=≈aod，∴A、d、I和o是∴≈AIO=≈ado=90的四点圆，即oi垂直于AK5，只要ab和CD的圆被证明是相等的，就应该解释AB=CD，如上解决方案:
（1）AB=CD原因:
0表示运行经验，分别垂直于AB和CD。
垂直脚是连接OD、OB和ob=od∴rt△ofd≌rt△oeb
20
的e、f∠APM=∠CPM∴1=∠2oe
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