届中考数学总复习试题第七章图形的轴对称综合测试题含答案.docx

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届中考数学总复习试题第七章图形的轴对称综合测试题含答案

图形与变换

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（A）

A.不变　B.缩小为原来的

C.扩大为原来的3倍　D.不能确定

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）

A.角　　　　B.等边三角形

C.平行四边形　　D.圆

3．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（C）

A.6　　B.8

C.10　　D.12

（第3题图）（第4题图）

4．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是（D）

A.AB＝CD　　B.∠BAE＝∠DCE

C.EB＝ED　　D.∠ABE一定等于30°

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD并沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线y＝上，则a的值是（B）

A.1　　B.2

C.3　　D.4

（第5题图）（第6题图）

6．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（B）

A.70°　B.65°

C.60°　D.55°

7．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（B）

A.9m　　B.6m

C.6m　　D.3m

（第7题图）（第8题图）

8．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为（B）

A.1　　B.

C.2　　D.＋1

9．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连结ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y，则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（C）

（第9题图）

10．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2016次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（A）

（第10题图）

A.（－2014，2）　B.（－2014，－2）

C.（－2015，－2）　D.（－2015，2）

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（3，0）．

（第11题图）（第12题图）

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B，C重合），且DA＝DE，则AD的取值范围是2≤AD＜3．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高线，点E，F是AD的三等分点．若△ABC的面积为12，则阴影部分面积为__6__．

（第13题图）（第14题图）

14．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是__8__cm.

15．目前，我国公共自行车的建设速度、单日租骑量不断增加．某市公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，则点A到地面的距离是__80.8__cm.

（第15题图）（第16题图）

16．如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕其直角顶点C′按逆时针方向旋转角α（0＜α≤90°），有以下四个结论：

①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB中点；

②当α＝60°时，A′B′恰好经过B；

③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA′＝BB′；

④在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.

其中正确的是__①②④__．

三、解答题（本题有8小题，共66分）

17．（本题6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1.

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

（第17题图）

解：

（1）△A1B1C1如解图所示；

（2）△A2B2C2如解图所示；

（3）△PAB如解图所示，P（2，0）．

（第17题图解）

18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），C（3，0）．

（1）①画出线段AC关于y轴对称的线段AB.

②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD.

（2）若直线y＝kx平分

（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．

（第18题图）

解：

（1）①线段AB如解图所示．

②线段CD如解图所示．

（第18题图解）

（2）∵A（0，4），C（3，0），

∴平行四边形ABCD的中心坐标为，

代入直线，得k＝2，

解得k＝.

19．（本题6分）宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？

请证明你的结论．

（第19题图）

解：

留下的矩形CDFE是黄金矩形．

证明：

∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF.

又∵＝，∴＝，即点F是线段AD的黄金分割点．

∴＝＝，即＝.

∴矩形CDFE是黄金矩形．

20．（本题8分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.

（第20题图）

（1）求∠ADE的度数．

（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？

如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．

解：

（1）∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，

∴CD＝AD＝BD＝AB，

∴∠ACD＝∠A＝30°，

∴∠ADC＝180°－30°×2＝120°，

∴∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝120°－90°＝30°.

（2）∵∠PDM＋∠E′DF＝∠CDN＋∠E′DF＝90°，

∴∠PDM＝∠CDN，

∵∠B＝60°，BD＝CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD＝60°.

∵∠CPD＝∠A＋∠ADE＝30°＋30°＝60°，

∴∠MPD＝∠NCD.

在△DPM和△DCN中，

∵

∴△DPM∽△DCN，

∴＝.

∵＝tan∠ACD＝tan30°＝，

∴的值不随着α的变化而变化，是定值.

21．（本题8分）如图，已知斜坡AB长60m，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．

（第21题图）

（1）若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？

（2）一座建筑物GH距离A点33m远（即AG＝33m），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高多少米？

解：

（1）∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°.

∵斜坡AB长60m，D是AB的中点，

∴BD＝30m，

∴DF＝BD·cos∠BDF＝30×＝30（m），

BF＝DF＝DP＝AP＝30m.

∵斜坡BE的坡比为∶1，∴＝，

解得EF＝10m，

∴DE＝DF－EF＝（30－10）m.

答：

休闲平台DE的长是（30－10）m.

（2）设GH＝xm，则MH＝GH－GM＝x－30（m），DM＝AG＋AP＝33＋30＝63（m）．

在Rt△DMH中，tan30°＝，即＝，

解得x＝30＋21.

答：

建筑物GH的高为（30＋21）m.

22．（本题10分）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E，F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E，F的坐标．

（第22题图）

解：

（1）如解图①，作点D关于x轴的对称点D′，连结CD′与x轴交于点E，连结DE.

若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连结CE′，DE′，D′E′.

由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′>CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE，

可知△CDE的周长最小．

∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，

∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6.

∵OE∥BC，

∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有＝.

∴OE＝＝＝1.

∴点E的坐标为（1，0）．

（第22题图解）

（2）如解图②，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2，连结D′G与x轴交于点E在EA上截取EF＝2.

∵GC∥EF，GC＝EF，

∴四边形GEFC为平行四边形，∴GE＝CF.

又∵DC，EF的长为定值，

∴此时得到的点E，F使四边形CDEF的周长最小．

∵OE∥BC，

∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有＝.

∴OE＝＝＝＝.

∴OF＝OE＋EF＝＋2＝.

∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）．

23．（本题10分）如图①，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连结AE，BF，交点为G.

（1）求证：

AE⊥BF.

（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图②），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值．

（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图③），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

（第23题图）

解：

（1）证明：

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE.

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

∵

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF.

又∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF.

（2）根据题意，得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°.

∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB.

令PF＝k（k＞0），则PB＝2k.

在Rt△BPQ中，设QB＝x，

∴x2＝（x－k）2＋4k2，∴x＝.

∴sin∠BQP＝＝＝.

（3）∵正方形ABCD的面积为4，

∴边长为2.∴AE＝＝.

∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，

∴AN＝AB＝2.

∵∠AHM＝90°，∴GN∥HM，∴＝，

∴＝，

∴S△AGN＝，

∴S四边形GHMN＝S△AHM－S△AGN＝1－＝，

∴四边形GHMN的面积是.

24．（本题12分）如图，抛物线y＝－x2＋x－2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连结BF.

（1）求点B，C所在直线的函数表达式．

（2）求△BCF的面积．

（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（第24题图）

解：

（1）当y＝0时，－x2＋x－2＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0）．

当x＝0时，y＝－2，∴点C的坐标为（0，－2）．

设直线BC的表达式为y＝kx＋b（k≠0），

则解得

∴直线BC的表达式为y＝x－2.

（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，∴∠ECD＝90°.

∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，－2），

∴BC＝＝＝2.

∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，

∴∠FCB＝∠ECD＝90°，CF＝BC＝2.

∴△BCF的面积＝BC·FC＝×2×2＝10.

（3）存在．

分两种情况讨论：

①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC.

∵点A的坐标为（2，0），∴点P1的横坐标是2.

∵点P1在直线BC上，

∴y＝x－2＝×2－2＝－1，

∴点P1的坐标为（2，－1）．

（第24题图解）

②如解图，过A作AP2⊥BC于点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q，则△BAP2∽△BCO.

∴＝＝，

∴AP2＝·CO＝×2＝.

∴BP2＝·OB＝×4＝.

∵S△BAP2＝AB·QP2＝AP2·BP2，

∴QP2＝＝＝.

∴点P2的纵坐标是－.

又∵点P2在BC所在直线上，∴x＝.

∴点P2的坐标为.

∴满足条件的P点坐标为（2，－1）或.