届中考数学总复习试题第七章图形的轴对称综合测试题含答案.docx
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届中考数学总复习试题第七章图形的轴对称综合测试题含答案
图形与变换
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值(A)
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
A.角 B.等边三角形
C.平行四边形 D.圆
3.如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为(C)
A.6 B.8
C.10 D.12
(第3题图)(第4题图)
4.如图,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,设重叠部分为△EBD,则下列说法错误的是(D)
A.AB=CD B.∠BAE=∠DCE
C.EB=ED D.∠ABE一定等于30°
5.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD并沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线y=上,则a的值是(B)
A.1 B.2
C.3 D.4
(第5题图)(第6题图)
6.如图,将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连结AA′,若∠1=20°,则∠B的度数是(B)
A.70° B.65°
C.60° D.55°
7.如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=3m,则坡面AB的长度是(B)
A.9m B.6m
C.6m D.3m
(第7题图)(第8题图)
8.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为(B)
A.1 B.
C.2 D.+1
9.如图,边长为1的正方形ABCD中,点E在CB延长线上,连结ED交AB于点F,AF=x(0.2≤x≤0.8),EC=y,则在下面函数图象中,大致能反映y与x之间函数关系的是(C)
(第9题图)
10.如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2016次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(A)
(第10题图)
A.(-2014,2) B.(-2014,-2)
C.(-2015,-2) D.(-2015,2)
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示,将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后,C点的坐标是(3,0).
(第11题图)(第12题图)
12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=6,点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B,C重合),且DA=DE,则AD的取值范围是2≤AD<3.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高线,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12,则阴影部分面积为__6__.
(第13题图)(第14题图)
14.在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,==,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是__8__cm.
15.目前,我国公共自行车的建设速度、单日租骑量不断增加.某市公共自行车车桩的截面示意图如图所示,AB⊥AD,AD⊥DC,点B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=80cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,则点A到地面的距离是__80.8__cm.
(第15题图)(第16题图)
16.如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起,将三角板A′B′C′绕其直角顶点C′按逆时针方向旋转角α(0<α≤90°),有以下四个结论:
①当α=30°时,A′C与AB的交点恰好为AB中点;
②当α=60°时,A′B′恰好经过B;
③在旋转过程中,存在某一时刻,使得AA′=BB′;
④在旋转过程中,始终存在AA′⊥BB′.
其中正确的是__①②④__.
三、解答题(本题有8小题,共66分)
17.(本题6分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1.
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2;
(3)在x轴上求作一点P,使△PAB的周小最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
(第17题图)
解:
(1)△A1B1C1如解图所示;
(2)△A2B2C2如解图所示;
(3)△PAB如解图所示,P(2,0).
(第17题图解)
18.(本题6分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),C(3,0).
(1)①画出线段AC关于y轴对称的线段AB.
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角,得到对应线段CD,使得AD∥x轴,请画出线段CD.
(2)若直线y=kx平分
(1)中四边形ABCD的面积,请直接写出实数k的值.
(第18题图)
解:
(1)①线段AB如解图所示.
②线段CD如解图所示.
(第18题图解)
(2)∵A(0,4),C(3,0),
∴平行四边形ABCD的中心坐标为,
代入直线,得k=2,
解得k=.
19.(本题6分)宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感,如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?
请证明你的结论.
(第19题图)
解:
留下的矩形CDFE是黄金矩形.
证明:
∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF.
又∵=,∴=,即点F是线段AD的黄金分割点.
∴==,即=.
∴矩形CDFE是黄金矩形.
20.(本题8分)将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图①摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C.
(第20题图)
(1)求∠ADE的度数.
(2)如图②,将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′,DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,试判断的值是否随着α的变化而变化?
如果不变,请求出的值;反之,请说明理由.
解:
(1)∵∠ACB=90°,点D为AB的中点,
∴CD=AD=BD=AB,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠ADC=180°-30°×2=120°,
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°.
(2)∵∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°,
∴∠PDM=∠CDN,
∵∠B=60°,BD=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BCD=60°.
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°,
∴∠MPD=∠NCD.
在△DPM和△DCN中,
∵
∴△DPM∽△DCN,
∴=.
∵=tan∠ACD=tan30°=,
∴的值不随着α的变化而变化,是定值.
21.(本题8分)如图,已知斜坡AB长60m,坡角(即∠BAC)为45°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号).
(第21题图)
(1)若修建的斜坡BE的坡比为∶1,求休闲平台DE的长是多少米?
(2)一座建筑物GH距离A点33m远(即AG=33m),小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B,C,A,G,H在同一个平面内,点C,A,G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高多少米?
解:
(1)∵FM∥CG,∴∠BDF=∠BAC=45°.
∵斜坡AB长60m,D是AB的中点,
∴BD=30m,
∴DF=BD·cos∠BDF=30×=30(m),
BF=DF=DP=AP=30m.
∵斜坡BE的坡比为∶1,∴=,
解得EF=10m,
∴DE=DF-EF=(30-10)m.
答:
休闲平台DE的长是(30-10)m.
(2)设GH=xm,则MH=GH-GM=x-30(m),DM=AG+AP=33+30=63(m).
在Rt△DMH中,tan30°=,即=,
解得x=30+21.
答:
建筑物GH的高为(30+21)m.
22.(本题10分)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(2)若E,F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E,F的坐标.
(第22题图)
解:
(1)如解图①,作点D关于x轴的对称点D′,连结CD′与x轴交于点E,连结DE.
若在边OA上任取点E′(与点E不重合),连结CE′,DE′,D′E′.
由DE′+CE′=D′E′+CE′>CD′=D′E+CE=DE+CE,
可知△CDE的周长最小.
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D′O=DO=2,D′B=6.
∵OE∥BC,
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC,有=.
∴OE===1.
∴点E的坐标为(1,0).
(第22题图解)
(2)如解图②,作点D关于x轴的对称点D′,在CB边上截取CG=2,连结D′G与x轴交于点E在EA上截取EF=2.
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,∴GE=CF.
又∵DC,EF的长为定值,
∴此时得到的点E,F使四边形CDEF的周长最小.
∵OE∥BC,
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG,有=.
∴OE====.
∴OF=OE+EF=+2=.
∴点E的坐标为(,0),点F的坐标为(,0).
23.(本题10分)如图①,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,连结AE,BF,交点为G.
(1)求证:
AE⊥BF.
(2)将△BCF沿BF对折,得到△BPF(如图②),延长FP交BA的延长线于点Q,求sin∠BQP的值.
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,得到△AHM(如图③),若AM和BF相交于点N,当正方形ABCD的面积为4时,求四边形GHMN的面积.
(第23题图)
解:
(1)证明:
∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,∴CF=BE.
在Rt△ABE和Rt△BCF中,
∵
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF.
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,∴AE⊥BF.
(2)根据题意,得FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°.
∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,∴QF=QB.
令PF=k(k>0),则PB=2k.
在Rt△BPQ中,设QB=x,
∴x2=(x-k)2+4k2,∴x=.
∴sin∠BQP===.
(3)∵正方形ABCD的面积为4,
∴边长为2.∴AE==.
∵∠BAE=∠EAM,AE⊥BF,
∴AN=AB=2.
∵∠AHM=90°,∴GN∥HM,∴=,
∴=,
∴S△AGN=,
∴S四边形GHMN=S△AHM-S△AGN=1-=,
∴四边形GHMN的面积是.
24.(本题12分)如图,抛物线y=-x2+x-2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两平行线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连结BF.
(1)求点B,C所在直线的函数表达式.
(2)求△BCF的面积.
(3)在线段BC上是否存在点P,使得以点P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(第24题图)
解:
(1)当y=0时,-x2+x-2=0,解得x1=2,x2=4,∴点A,B的坐标分别为(2,0),(4,0).
当x=0时,y=-2,∴点C的坐标为(0,-2).
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
则解得
∴直线BC的表达式为y=x-2.
(2)∵CD∥x轴,BD∥y轴,∴∠ECD=90°.
∵点B,C的坐标分别为(4,0),(0,-2),
∴BC===2.
∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到,
∴∠FCB=∠ECD=90°,CF=BC=2.
∴△BCF的面积=BC·FC=×2×2=10.
(3)存在.
分两种情况讨论:
①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1,则△BAP1∽△BOC.
∵点A的坐标为(2,0),∴点P1的横坐标是2.
∵点P1在直线BC上,
∴y=x-2=×2-2=-1,
∴点P1的坐标为(2,-1).
(第24题图解)
②如解图,过A作AP2⊥BC于点P2,过点P2作P2Q⊥x轴于点Q,则△BAP2∽△BCO.
∴==,
∴AP2=·CO=×2=.
∴BP2=·OB=×4=.
∵S△BAP2=AB·QP2=AP2·BP2,
∴QP2===.
∴点P2的纵坐标是-.
又∵点P2在BC所在直线上,∴x=.
∴点P2的坐标为.
∴满足条件的P点坐标为(2,-1)或.