100
（1）趸缴纯保费d30诃的值。
（2）这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var（Z）。
2.设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金于被保
险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算：
（1）该保单的趸缴纯保费。
⑵该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。
（3）
（1）与⑵的结果为何不同？
为什么？
（门法一：
1000冗5：
引
k1
vkPxqx
0
1（d35
kI35（1.06
d36
1.062
d37d38d39）
345/
1.0631.0641.065
查生命表l35979738,d35
1170,d36
1248,d37
1336,d38
1437,d391549代入计算:
法二：
1000A爲1000M35M40
D35
查换算表1000冗5：
目1000M35M40
D35
1000g13590.2212857.615.747
127469.03
1000P35
1000A35：
1
1000P36
1000冗6：
1
（2）1000P37
1000忑：
1
1000P38
1000陽
1000P39
1000隔
1000（P35
P36P37
C35
1000亠
D35
1000C36
D36
C37
1000亠
D37
C38
1000』
D38
1000
D39
P38P39）
1000g143.58
127469.03
1000严二
120110.22
145.94
1000g113167.06
148.05
1000g106615.43
1000g150.55
100432.54
6.457
1.126
1.203
1.29
1.389
1.499
3）A35：
5A35:
1VP3546:
1
—1
A35:
5P35P36P37
2—13—1
vg2P35A371vgbP35A381
P38P39
3.设Ax0.25,Ax20
V4a卩35冗9:
1
0.40,Ax：
勿0.55，试计算:
（1）A為。
（2）Ax:
10。
改为求A：
1
'x：
201
4.
（1）
试证在UDD假设条件下:
5.
内的死亡,
6.
1
xm
—Ain。
（X）购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若（X）在保险期限内发生保险责任范围
则在死亡年末可得保险金1元，qx0.5,i0,Varz0.1771,试求q*1。
已知，A760.8,D76400,D77360,i0.03,求A77。
现年30岁的人，付趸缴纯保费5000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。
7.
解:
5000RA30:
20RA00
A30:
201
其中
查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据l30,d30,d31,d32Ld49带入计算即可,
或者i=0.06以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表Mso’Mso’Dso带入计算
即可。
―1i1AxnAx：
n。
例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
1
&考虑在被保险人死亡时的那个一年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效
m
1
起存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整—年的时段数。
m
求该保险的趸缴纯保费A
（m）x。
丄Ai（m）Ax。
现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：
被保险人在
额为15000元；10年后死亡，给付金额为
设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明
AXm）
9.
10年内死亡,
给付金
20000元。
试求趸缴纯保费。
趸交纯保费为15OOOa35诃2OOOOio|A35
其中
所以趸交纯保费为15000儿而20000101^5178.0518952073.05
10.年龄为40岁的人，以现金10000元购买一份寿险保单。
保单规定：
被保险人在死亡，则在其死亡的年末给付金额3000元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额
试求R值。
11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：
被保险人在70岁以前死亡,
额为3000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1500元。
试求该寿险保单的趸缴纯保费。
5年内
R元。
给付数
该趸交纯保费为：
3OOOa5O：
勿15OOA5O:
21O
其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12.设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定:
则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加费。
若（30）在第一个保单年计划内死亡，
1000元。
求此递增终身寿险的趸缴纯保
该趸交纯保费为:
4000A301OOO（IA）30
4000皿
D3O
1000-R30
D3O
其中查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13.
n年期储蓄寿险保单:
某一年龄支付下列保费将获得一个
（1）1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
（2）1000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费,
这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末,
求这个保险的趸缴纯保费。
解：
保单1）精算式为1000A^n75o£n1750A1：
n1000A^n750
保单2）精算式为
求解得Aln7/17,心1/34，即
14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：
被保险人在第一
个保单年度内死亡，则给付10000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单
年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。
试求其趸缴纯保费。
15.某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。
其中，给定lx110X,0
Wx<110。
利息力5=0.05。
Z表示保险人给付额的现值，则密度fx0.8等于（）
A.0.24B.0.27C.0.33
D.0.36
16.已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式
IAIA
—x（）
A
A.
B.
C.
D.
解:
17.在X岁投保的一年期两全保险,保险人给付额现值记为
Z,则Var（Z）=（
在个体
）
（X）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。
八2
A.PxQxV
B.
2.PxQxVb
C.PxqxV2
b2
D.
2.2
Vbqx
2
ePx
解:
第五章：
年金的精算现值
练习题
1.设随机变量
T=T（x）的概率密度函数为f（t）0.015e0.015t（t>0），利息强度为5=
0.05。
试计算精算现值
2.设ax10,
2——
ax7.375,VaraT50。
试求：
（1）；
（2）Qx。
3.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4.某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司，如中途死亡,即行停止，所缴付款额也不退还。
而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，
直至死亡为止。
试求此人每次所获得的年金额。
比2000%
解:
2000龟36R37|龜R―評
37|2&3
其中查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例541现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付
1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1）终身生存年金。
其中若查90-93年生命表换算表则
5.
250元，试在UDD
某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额假设和利率6%下，计算其精算现值。
解：
250*12a552）250*12（&2）
%2）250*12[（12）鳳（12）%2]
其中
6.
（1）
在UDD假设下，试证:
&&（m）
n|®&
（m）nl强
nEx。
«（m）
（m）跖
m（1
nEx）。
（m）
ax:
n
&-（1
m
试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：
（1）按年；
（2）按半年；
nEx）。
7.
⑶按季；（4）按月。
（1）
解：
1200a30
N1
D30
（2）
1000a32）
1000（騷
%）1000[⑵a&5
⑵％］
其中
1000a34）
1000（a34）
%）1000[⑷龜
⑷％］
其中
（4）
1000a302）
1000（a&2）
%2）1000[（12）甌
（12）%2]
&
试证:
（1）
豐）
i（m）
-ax
⑵
a&:
nl
i（m）
-ax:
nl
⑶
lim
m
&m）
axo
a&
1
⑷
ax
o
2
9.
很多年龄为
23岁
o
其中
，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金,
a10,
缴付到64岁为止。
到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3600元。
试求数额Ro
2&x
6,
1
i,
24
求丫的方差。
11.
某人将期末延期终身生存年金
1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求
此年金的精算现值。
12.
某人现年
35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、
8元、6元、4
元、
2元、
4兀、6兀、8兀、10兀，试求其精算现值。
13.
给定&17.287,Ax
0.1025o已知在每一年龄年UDD假设成立，
则a&4）是（）
A.
15.48
B.15.51
C.15.75D.15.82
14.
给定Var（aT）
100,.+及xt
9
k,t0,利息强度4k，则k=（）
A.
0.005
B.0.010
C.0.015D.0.020
15.
对于个体
（X）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次
1元，给定：
xt
0.01,i
0.04，臥4.524,年金给付总额为S元（不计利息），贝y
P（
S51
a&）值为
（）
C.0.80
B.0.81
D.0.83
A.0.82
10.Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知
第六章：
期缴纯保费与营业保费
练习题
1.设xt
t0，利息强度为常数5,求
PAx与Var（L）o
2.有两份寿险保单，一份为（40）购买的保额2000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为（40）购买的保额1500元、年缴保费P的完全离散型终身寿险保单。
已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%,求P的值。
3.已知巳0：
200.029,已闵0.005,忽0.034,i6%,求龜o
4.已知F620.0374,q620.0164,i6%,求F63o
5.已知L为（X）购买的保额为1元、年保费为Px：
n的完全离散型两全保险，在保单签发时的
0.5850，计算Var（L）。
保险人亏损随机变量，2A：
n01774匸迥
：
nd
6.已知x岁的人服从如下生存分布:
购买的保额1000元的完全离散型终身寿险，设
>0）=0.4o求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。
105x
x（0wxw105），年利率为6%o对（50）
105
L为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P（L
9.
P10|龜
1.5,ioP2o0.04,计算P2oo
10.
p1
已知囂
（12）
—1.03,Px20O.04,计算P"20o
11.
已知X岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元,
2
d0.06,Ax0.4,Ax0.2,L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
（1）计算E:
L：
o
⑵计算Var（L）o
（3）现考察有100份同类保单的业务，
面额（元）
1
4
其面额情况如下:
保单数（份）
80
20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18000元的概率。
12.（x）购买的n年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：
销售佣金为营
业保费的6%;税金为营业保费的4%;每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n年的费用各
为5元；理赔费用为15
丿元。
且a0.3,A11：
n0.1,A
n0.4,i
0.6，保额b以万元为单位,
7.已知Ax0.19,2Ax0.064,d0.057,x0.019,，其中x为保险人对1单位终身
寿险按年收取的营业保费。
求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05o［这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr（ZW1.645）=0.95,
Z为标准正态随机变量。
1000卩20:
40
7.00,aX16.72,a&o：
4015.72,计算1OOOp，oo
求保险费率函数R（b）o
13.
设PAso
0.014,人00.17,则利息强度
=（）o
a.
0.070
B.0.071
C.0.073
D.
0.076
14.
已知i0.05,Px10.022,Px
0.99,则px
a.
0.0189
B.0.0203
C.0.0211
D.
0.0245
15.设15P450.038,比词0.056,人00.625，则P；诃=（）
A.0.005
B.0.006
C.0.007
D.0.008
练习题
1.对于（X）购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t时保险人的未来亏损随机变量为：
2.
计算E（tL）和Var（tL）。
2a&k：
E计算kVxk:
和°
3.
已知
0.474,VAx0.510,Vx0.500,计算tV（Ax）°
4.
（1）
假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确:
-kVx：
n
1000qxkV
Axn
5.
4
10V35:
201
6.
kVA
—kVx
kV心
丄kVX：
ni
假设在每
0.40,F35:
200.039,a&5：
201
10V35:
20°
已知1FX0.01212,2
龄内的死亡服从均匀分布
12.OO,1OV35：
2O
O.30,10V35：
20
0.20,a&爲11.70，求
20巳0.01508,3巳:
席0.0694240.11430
7.一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为
加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率i=6%,qxk
1000元，每年的死亡给付为1000元
k
0.11.1（k=0,1）。
计算年缴均衡纯
保费P。
已知卩45:
刃
0.03,A45150.06,d0.054,15k45
0.15，求15V45'20°
VarL
25岁投保的完全连续终身寿险，L为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知
0.70,2A250.30,计算20VA25°
10.
已知tkx
0.30,tEx0.45,Axt0.52,计算VAx°
11.
已知AxFl
0.20,d0.08,计算nV询°
0.20,入5
12.已知a&t10.0,tVx0.100,tVx0.127,0.043，求d的值。
13.对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L为保单签发时的保险人亏损随机变量,
且入00.7,2入00.3,VarL0.2，计算20VA。
14.
一种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：
lx
75
x（075）,利率i
0,且保费连续支付
20年。
设投保年龄为35岁，计算此年金在第
10年年末的纯保
费准备金。
15.
已知q310.002,a&213
9,i5%，求V爲。
16.
对于完全离散型保额，
1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，
已知
2
vPx
qx1，求。
17.
个体（x）的缴费期为
10年的完全离散终身寿险保单，保额为
1000元，
已知
升级会员 