数值计算线性方程迭代法实验.docx
《数值计算线性方程迭代法实验.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算线性方程迭代法实验.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数值计算线性方程迭代法实验
实验报告一
一、实验目的
理解线性方程组直接法与迭代法思想，掌握常用算法的设计，掌握用MATLAB实现的数值解法。
二、实验题目
实验一线性方程组迭代法实验
1、迭代法的收敛速度
用迭代法分别对n=20,n=200解方程组
其中
（1）选取不同的初值
和不同的右端向量b,给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；
（2）取定初值
和右端向量b,给定迭代误差，将A的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。
2、SOR迭代法松弛因子的选取
用逐次超松弛（SOR）迭代法求解方程组
其中
（1）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子
进行计算，观测得到的近似值向量并分析计算结果，给出你的结论；
（2）给定迭代误差，选取不同的低松弛因子
进行计算，观测得到的近似值向量并分析计算结果，给出你的结论。
三、实验原理
Jacobi迭代法算法：
步1取初始点
，精度要求
，最大迭代次数
，置
；
步2由
或
计算
；
步3若
，则停算，输出
作为方程组的近似解；
步4若
，则停算，输出迭代失败信息；否则置
，转布2。
Gauss-Seidel迭代法算法：
步1输入矩阵A，右端向量b,初始点
，精度要求
，最大迭代次数
，置
；
步2计算
步3若
，则停算，输出x作为方程组的近似解；否则，转步4。
步4若k=N，则停算，输出迭代失败信息；否则置
转步2
SOR迭代法算法：
步1输入矩阵A，右端向量b,初始点
，精度要求
，最大迭代次数
，置
；
步2计算
步3若
，则停算，输出x作为方程组的近似解；否则，转步4。
步4若k=N，则停算，输出迭代失败信息；否则置
转步2
4、实验内容、
1、迭代法的收敛速度
实验题目：
用迭代法分别对n=20，n=200解方程组Ax=b，其中
1、
（1）第一种：
选取初值为0，右端向量b=2。
function[A,b]=matlab1（n）
clc;
A=zeros（n,n）;b=zeros（n,1）;
fori=1:
n
A（i,i）=4;
b（i）=2;
end
fori=1:
n-1
A（i,i+1）=-1./3;
A（i+1,i）=-1./3;
end
fori=1:
n-2
A（i,i+2）=-1./5;
A（i+2,i）=-1./5;
end
n=20;
[A,b]=matlab1（n）;
x1=majacobi（A,b）;
x2=maseidel（A,b）;
x1'
x2'
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
x1=majacobi（A,b）;
x2=maseidel（A,b）;
x1'
x2'
第二种：
选取初值为（10000000000000000000），右端向量b=1。
function[A,b]=matlab1（n）
clc;
A=zeros（n,n）;b=zeros（n,1）;
fori=1:
n
A（i,i）=4;
b（i）=1;
end
fori=1:
n-1
A（i,i+1）=-1./3;
A（i+1,i）=-1./3;
end
fori=1:
n-2
A（i,i+2）=-1./5;
A（i+2,i）=-1./5;
end
n=20;
[A,b]=matlab1（n）;
x0=eye（n,1）;
x1=majacobi（A,b,xo）;
x2=maseidel（A,b,xo）;
x1'
x2'x2'
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
x0=eye（n,1）;
x1=majacobi（A,b,xo）;
x2=maseidel（A,b,xo）;
x1'
x2'
1、
（2）
第一种：
取A的主对角元为4，则
function[A,b]=matlab1（n）
clc;
A=zeros（n,n）;b=zeros（n,1）;
fori=1:
n
A（i,i）=4;
b（i）=2;
end
fori=1:
n-1
A（i,i+1）=-1./3;
A（i+1,i）=-1./3;
end
fori=1:
n-2
A（i,i+2）=-1./5;
A（i+2,i）=-1./5;
end
n=20;
[A,b]=matlab1（n）;
x=majacobi（A,b）;
x'；
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
x=majacobi（A,b）;
x'；
第二种:
取A的主对角元为8,则、
function[A,b]=matlab1（n）
clc;
A=zeros（n,n）;b=zeros（n,1）;
fori=1:
n
A（i,i）=8;
b（i）=2;
end
fori=1:
n-1
A（i,i+1）=-1./3;
A（i+1,i）=-1./3;
end
fori=1:
n-2
A（i,i+2）=-1./5;
A（i+2,i）=-1./5;
end
n=20;
[A,b]=matlab1（n）;
x=majacobi（A,b）;
x'；
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
x=majacobi（A,b）;
x'；
第三种：
取A的主对角元为12,则、
function[A,b]=matlab1（n）
clc;
A=zeros（n,n）;b=zeros（n,1）;
fori=1:
n
A（i,i）=12;
b（i）=2;
end
fori=1:
n-1
A（i,i+1）=-1./3;
A（i+1,i）=-1./3;
end
fori=1:
n-2
A（i,i+2）=-1./5;
A（i+2,i）=-1./5;
end
n=20;
[A,b]=matlab1（n）;
x=majacobi（A,b）;
x';
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
x=majacobi（A,b）;
x';
2、
（1）第一种
取
=1.01
function[A,b]=matlab1（n）
clc;
A=zeros（n,n）;b=zeros（n,1）;
fori=1:
n
A（i,i）=12;
b（i）=5;
end
fori=1:
n-1
A（i,i+1）=-2;
A（i+1,i）=-2;
end
fori=1:
n-2
A（i,i+2）=1;
A（i+2,i）=1;
end
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=1.01;
x=masor（A,b,omega）;
x';
第二种方法：
取
=1.30
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=1.30;
x=masor（A,b,omega）;
x';
第三种方法：
取
=1.91
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=1.91;
x=masor（A,b,omega）;
x';
第四种方法
取
=1.20
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=1.20;
x=masor（A,b,omega）;
x';
2、
（2）
第一种方法：
取
=0.10
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=0.10;
x=masor（A,b,omega）;
x';
第二种方法：
取
=0.89
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=0.89;
x=masor（A,b,omega）
x';
第三种方法：
取
=0.35
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=0.35;
x=masor（A,b,omega）
x';
第四种方法：
取
=0.20
n=200;
[A,b]=matlab1（n）;
omega=0.20;
x=masor（A,b,omega）;
x';
5、实验结果
1、详细结果见附录一:
得出这两种迭代法对于不同的初值和右端向量，他们得出的答案都是一致的。
且高斯-赛德尔迭代法会比雅可比快，迭代次数与矩阵的阶数无关。
1、
（2）
第一种：
n=20:
k=10
n=200:
k=10
第二种：
n=20:
k=7
n=200
k=7
第三种：
n=20
k=5
n=200
k=5
得出，将A的主对角元成倍放大时，用Jacobi迭代法计算多次，收敛速度快。
2、
（1）第一种方法：
k=8
第二种是方法：
k=16
第三种方法：
k=198
第四种方法：
k=12
得出的结论是算出的迭代次数随着
的增大迭代次数增加。
2、
（2）
第一种方法：
k=126
第二种方法：
k=9
第三种方法：
k=35
第四种方法：
k=64
得出的结论是算出的迭代次数随着
的增大迭代次数减少。
六、实验结果分析
可出Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法，对于
=0的情况无法实现，还有就是当数值比较特殊时，计算机无法得出答案。
附录一
1、
（1）第一种：
n=20:
k=10
k=8
ans=
Columns1through16
0.58690.63900.67320.67890.68110.68160.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68160.6811
Columns17through20
0.67890.67320.63900.5869
ans=
Columns1through16
0.58690.63900.67320.67890.68110.68160.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68160.6811
Columns17through20
0.67890.67320.63900.5869
n=200:
k=10
k=8
ans=
Columns1through16
0.58690.63900.67320.67890.68110.68160.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns17through32
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns33through48
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns49through64
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns65through80
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns81through96
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns97through112
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns113through128
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns129through144
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns145through160
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns161through176
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns177through192
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns193through200
0.68180.68180.68160.68110.67890.67320.63900.5869
ans=
Columns1through16
0.58690.63900.67320.67890.68110.68160.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns17through32
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns33through48
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns49through64
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns65through80
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns81through96
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns97through112
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns113through128
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns129through144
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns145through160
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns161through176
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns177through192
0.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.68180.6818
Columns193through200
0.68180.68180.68160.68110.67890.67320.63900.5869
第二种：
n=20:
k=10
k=7
ans=
Columns1through17
0.29350.31950.33660.33940.34060.34080.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34080.34060.3394
Columns18through20
0.33660.31950.2935
ans=
Columns1through17
0.29350.31950.33660.33940.34060.34080.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34080.34060.3394
Columns18through20
0.33660.31950.2935
n=200:
k=10
k=7
ans=
Columns1through17
0.29350.31950.33660.33940.34060.34080.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns18through34
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns35through51
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns52through68
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns69through85
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns86through102
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns103through119
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns120through136
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns137through153
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
Columns154through170
0.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.34090.3409
升级会员 