《概率论与数理统计》第02章习题解答docx.docx

资源描述

《概率论与数理统计》第02章习题解答docx.docx

《《概率论与数理统计》第02章习题解答docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》第02章习题解答docx.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《概率论与数理统计》第02章习题解答docx.docx

《概率论与数理统计》第02章习题解答docx

1、设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机的选人来验血，肓至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。

解：

叩=£}=（1一0矿xO.4£=1,2,…

2、解：

用4表示第，个阀门开（心1,2,3）,且4,血，人相互独立，P（A）=0.8（z=l,2,3）

P{X=0}=p[a（4u4）]=p（瓦）[P（石）+p（瓦）-P（4）P（4）]

=0.2（0.2+0.2-0.2x0.2）=0.072

P{X=1}=P[人（瓦U瓦）U孔A]=0.8（0.2+0.2-0.04）+0.2x（0.8）2

=0.416

P{X=2}=P（£%為）=（0.8）3=0.512

3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X服从什么分布，写出X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率

（1）恰有3人；

（2）至少有两人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：

X〜B（15,0.2）

P{X=k}=C]；（0.2『x（0・8）gRO,1,2,……,15

（1）P{X=3}=G；（0.2）3x（0.8严=0.2501

（2）P{X>2]=]-C,5（0.2）°x（0.8）15-C,'50.2x（0.8）14=0.8329

（3）P{1

（4）P{X>5}=1-》G；（0.2）*x（O.8）z=0.0611

k=0

4、解：

用X表示5个元件中正常工作的元件个数

P（XX3）=C；（0.9）3x（0.1尸+C；（0.9）4X0.1+（0.9）5=0.9914

5、某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以致产品成为次品，设次品率为〃=0.001,现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。

解：

设X表示8000件产品中的次品数，则X〜8（8000,0.001）

近似地「=县孙

由于咒很大，P很小，利用X〜龙（8）,所以p{x<7}=£—=0.3134

A=0k'・

6、解：

（1）X〜龙（10）

（2）VX〜龙仇）

・・・|=P{x>o}=l-p{x=o}=1-爸

・・・p{x

二0}=丄

.e~A=

丄Z=In2=0.7

或p{x»2}=l—p{x=o}—p{x=1}=1-*一一=*_*ln2

（2）设Y表示一分钟内，5个讯息员屮未接到讯息的人数，贝IJY〜3（5疋一2）

•••P{y=4}=C；（八『（1_-2）=000145

OOOO—2Ck

（3）

工（P{X胡心工（〒）5k=0k=0K•

8、一教授当下课铃打响时，他述不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内,以X表示响铃至结束讲解的时间，设X的概率密度为

△=（2X）2_4（5X-4）>0

—J?

f（x）tZx"—J23%-^Zv—x

9、解：

方程r2+2Xr+5X-4=0有实根，即

得X>4^X<1,所以有实根的概率为

P{（X>4）U（X<1）}=P{X>4}+P{X<1}

=J；0.003兀2〃+£'°0.003x2^=0.937

r2■

fXJ__l_

10、解“

（1）P{Xvl}=Jf{x）dx=£-^f^dx==\-e^-0.005

其概率密度为

11、设实验室的温度X（以°Cit）为随机变量,

-l

其它

（1）某种化学反应在温度X>1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；

（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律；

（3）

288415

=1=—

i92792727

求p{r=2},p{y>2}o

解:

（1）P{X>1}=f（x）dx=j"-（4-x2）dr=（-X-—X3）

"9927

（2）―叫刃’叩沟心］刃

10-R

£二0丄2,…，10

27■■

592

（3）P{y=2}=C^（—）2x（—）8=0.2998

s99s9?

p{r>2}=1-p{r=0}-p{y=1}=1-（—）°x（―）10-^0（—）J（—）9=0.5778

12、

（1）设随机变量丫的概率密度为

0.2

/（y）=0.2+Cy

-1

试确定常数c,求分布函数F（y）,并求p{oo.5|r>o.i]

（2）设随机变量X的概率密度为

f（x）=\x/8

其它

求分布函数F（y）,P{11|X<3}

解:

（1）由］=匸/（y）〃y=J：

0・2dy+j：

（0・2+Cy）dy

+（0.2y+-/）

-iz

0.2

•・J（y）=0.2+1.2y

Fy（y）=if（t）dt=<

J—oo

=0-4+f

-1<<0

其它

Odt

Q.2dt

J-l

匸0.2dy+J（：

（0.2+1.2y）dy

J；（0.2+1.2y）dy

—oo

yv_1

-1

0.2y+0.2

0.6/+0.2j+0.2

y<-1

沖1

P{0

P{y>0.1}=1-F（0」）=1一0.2-0.2x0」一0.6x0=0.774

P{Y>0.5}=1-F（0.5）=1-0.24-0.2x0.5-0.6x0.52=0.55

一X

—'y

x>4

「5

『丄如J

k）8J28

x<0

x>4

（2）

Q17

P{l

P{X<3}=F⑶二善

・・・p{xni|xw3}=刊：

xw3}=羊=?

1Jp{x<3}_9_

13、解：

p{x=i.Y=j}=丄x—!

—nn-1

p[x=i.Y=i}=0心j,i,j=\,2,......,n

当“3时，（x,y）联合分布律为

1/6

14、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A是加油站工作人员操作的，设备B是顾客自己操作的，〃均装有两根加油软管，随机取一时刻，〃正在使用软管数分别为x,yox,丫的联合分布律为

0」0

0.08

0.06

0.04

0.20

0.14

0.02

0.06

0.30

15、设随机变量（X,r）的概率密度为

是确定常数C；并求P{X>2}；P{X>Y}；P{X+Yvl}

解：

•・•]=（/（兀）6k=J（）£Ce~^x^y^dxdy=-

P{X+Y<1}=JJy）dxdy=j*dxXSe'（2x+4y）dy

x+y<\

=^2e~2x（-e-4y）'Xdx=^（2e-2x-2e2x-4）dx=（-e-2x-e2x'4）'=（1-^2）2

兀2

16、设随机变量（X,K）在由曲线y=x\y=—,x=］所围成的区域G均匀分布

（1）求（X,y）的概率密度；

（2）求边缘概率密度fxMJY（y）

17、

（1）在14题中求边缘概率密度;

解：

（1）

012P{X=Xi}

0」00.080.060.24

0.040.200.140.38

0.020.060.300.38

Pgi}

0.160.340.501

22、

（1）设一离散型随机变量的分布律为

・1

\-0

又岭，丫2是两个相互独立的随机变量，且K，丫2与Y有相同的分布律，求岭与丫2的联合分布律,并求P{Y[=Y2}\

（2）在14题中X与丫是否相互独立。

H4笋少）K4

且P{Z=E}=P{Z=i，W=i}+P{Z=°，W=O}+P{Z=l，W=l}

斗+（"）+宁討_2却

（2）p{x=0,y=0}=0.10又vp{x=o}-p{y=o}=0.0384p{x=o,y=0}hp{x=0}•p{y=o},・・・x与y不相互独立

23、设X,y是两个相互独立的随机变量，X〜（7（0,1）,Y的概率密度为心卜°<>叫

0其它

试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X>Y}o

fY（y）=\y°

o其它

・•・/（兀,y）=/x（兀）••Ab）n8'

O-vgy*

其它

P{X>K}=jjSydxdy=『（8y-y2）dy=（4y2-

x>y

24、设随机变量X具有分布律

-2

・1

求y=x2+i的分布律。

解：

■2

-1

y=x2+i

—

_+一

—

615

即

25、

解:

当w

当w>0H寸,Fu（u）=P（U

zi丄i

•••九（u）=伦（u）=0x（“）+0X（—U）=花=幺2+花=£2

故u=\x\的概率密度为：

九（比）=

[0u

26、解:

（1）Y=乐,・・•人（兀）二"%>,当（0,+oo）时，yG（0,+oo）

X0X<0

当）圧0时，FY（y）=P（Y

当y>OU寸，耳（y）=P（Y

fY（y）=F；（u）=2yfx（y2）=2ye-y

v+1

当0vyv1时，FY（y）=P（Y

••・人（刃=你'0）=办（2丿一1）・2=1

当八1时，的0）=1,齐（y）=o

0其他

Yii

故Y二仝尹的概率密度为：

fy（y）=

o1上

（3）Y=X2,*.*fx（X）=.——e2-oo

当ySOBt，FY（y）=P（Y

当y〉00寸，Fr（y）=P（Y

27、设一圆的半径X是一随机变量，其概率密度为

/、-（3x+l）0

/W=8V

其它

解：

>l=^X2,v/x（x）=-8（3%+1）

求圆面积A的概率密度。

当y<0时，FA（y）=P{A

/（兀,刃=fx（x）fY（y）=q^e心（x,y）wR，

Z=Vx2+r2，当X、yw（—oo,+oo）吋，ZG[0,+oo）

当z5O0寸，F7（z）=P{yJX2^Y2

/z（z）=/^'（Z）=（l_£2a?

y=-^-e2/

z-y>0

y>0n°

由卷积公式:

£（z）=匚fx（z-y）fr（y）dy

当z500寸，/z（z）=0

_2当Z>0时,£⑵=匚fx（z-y）fY（y）dy=[Ae~A{:

~y）Z2ye~Aydy=^e~A2+

故Z=X+Y的概率密度为：

£（z）=

fz>0

z<0

3K解：

fx（x）=

0其它，fAy）=

穿＜】，且X与Y相互独立

£仗）=匸/'x（z-y）/心）=

z-l

其它

32、设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

/（兀,刃=<

x>0,0<^<2

其它

（1）

求边缘概率密度fx（Q,几（y）；

（2）

求Z=max（X,Y）的分布函数;

（3）

解

（1）fx（x）=j^f（x9y）dy=

x<0

x>0

x<0

/心）=匸/（兀,刃必=

•e3a

-e~3xdxo2

其它

（2）Fx（x）=rfx（t）dt=<

J—co

你（刃'fy（t）dt=<

J—oo

A3e~3fdt

IJO

;y-dt

x<0

）72

・•・g（Z）=P{max（X,Y）

x<0

-3z

-3Z

y<0

y>2

33、解：

（1）X在（0J）上服从均匀分布，概率密度MU）=V

[2JmdXmax2222424

0<%

其它

21,2

其它

34、解：

（1）1/的可能取值是0,1,2,3

P{U=0}=P{X=0,Y=0}=右

p{f；=i}=p{x=o,y=i}+P{x=i,r=o}+p（x=i,r=i}

1112

=—I1—=—

6443

p{^=2}=p{x=2,y=o）+P{x=2,r=i}+P{x=2,r=2}+P{x=o,y=2}

111129

+P{X=l,y=2}=—+——+0+——+—二——

8202440120

P{[/=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X二3,丫=2}二丄+0+0二丄

120120或

111

-+-+-644

11n11

一+—+0+—+—8202440

1+0+0

120

E|J：

120

p{v=o}=p{x=o9y=o}+P{x=o,y=i}+P{x=o,y=2}+P{x=i,r=o}

+P‘2,"0}+P2心。

}詁+”右+*+”击

P{V=1}=P{X=1,Y=1}^P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P[X=3,Y=l}

111n13

4402040

P{V=2}=P{X=2,7=2}+P{X=3,y=2}=0+0=0

111111+++十十

1262448120

111n

一+—+—+0

44020

0+0

（3）W的可能取值是0,1,2,3,4,5

p{w=o}=P{x=o,y=o}=—p{w=i}=P{x=i,r=o}+P{x=o,y=i}=-+-=

P{W=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=1.Y=\}+P{X=0,Y=2}

1115

=—+——H=—

842412

p（w=3}=P{x=3,r=o}+P{x=2,r=i}+P{x=i,r=2}

1111

—I1—

120204012

P{W=4}=P{X=2,r=2}+P{X=3,y=l}=0+0

P{W=5}=P{X=3,y=2}=0

或

—+-

111_+_+_

8424

111++

1202040

0+0

展开阅读全文