《概率论与数理统计》第02章习题解答docx.docx

1、概率论与数理统计第02章习题解答docx1、 设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机的选人来验血，肓至发现 血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。解：叩= = (1一0矿 xO.4 = 1,2,2、 解：用4表示第，个阀门开(心1,2,3),且4,血，人相互独立，P(A)= 0.8(z = l,2,3)PX=0 = pa(4 u 4) = p(瓦)P(石)+p(瓦)-P(4)P(4)=0.2(0.2 + 0.2 - 0.2 x 0.2) = 0.072P X = 1 = P人(瓦 U 瓦)U 孔 A = 0.8(0.2 + 0.2 - 0.04) + 0.2

2、x (0.8)2= 0.416PX=2 = P( % 為)=(0.8)3 =0.5123、 据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无 任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险是相互独立的)，问X服从什么分布，写出 X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率(1)恰有3人；(2)至少有两人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：X B(15,0.2)PX=k = C；(0.2x(08)g RO,1,2,15(1)PX=3 = G；(0.2)3x(0.8严=0.2501(2)PX2 = -C,5(0.2)x(0.8)15 -C,50.2x(0.

3、8)14 = 0.8329(3)P1X5 = 1 -G；(0.2)*x(O.8)z = 0.0611k=04、 解：用X表示5个元件中正常工作的元件个数P(XX3) = C； (0.9)3 x (0.1尸 + C； (0.9)4 X0.1 + (0.9)5 = 0.99145、 某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以致产品成为次品，设次 品率为 =0.001,现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。解：设X表示8000件产品中的次品数，则X8(8000,0.001)近似地 = 县孙由于咒很大，P很小，利用X龙(8),所以pxo=l-px = o= 1-爸px二

4、0=丄2:.eA =丄 Z = In 2 = 0.72或px 2=l px =opx = 1=1-*一 一 = *_*ln2(2)设Y表示一分钟内，5个讯息员屮未接到讯息的人数，贝IJY3(5疋一2) P y = 4 = C；(八(1 _ -2)= 000145OO OO 2 C k(3)工(PX胡心工()5 k=0 k=0 K 8、一教授当下课铃打响时，他述不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内, 以X表示响铃至结束讲解的时间，设X的概率密度为 = (2X)2 _4(5X-4) 0J? f (x)tZx J2 3%-Zv x3 39、解：方程r2+2Xr + 5X-4 = 0有实根

5、，即得X4X 4)U(X 4 + PX 1=J； 0.003兀2 + 0.003x2 = 0.937r 2 f X J _l_10、解“ (1) PXvl = J fx)dx = -fdx = =-e -0.005其概率密度为11、设实验室的温度X（以C it）为随机变量,-lx1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y 表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律；(3)2 8 8 4 1 5= 1 =i 9 27 9 27 27求pr = 2,py2o解:(1) PX 1 = f(x)

6、dx = j-(4-x2)dr = (-X- X3) 9 9 27（2）叫刃叩沟心刃222710-R二0丄2,，1027 5 92(3) Py = 2 = C()2x()8 = 0.2998s 99 s 9?pr 2 = 1 - pr = 0 - py = 1 = 1 - () x()10 - 0()J()9 = 0.577812、(1)设随机变量丫的概率密度为0.2/(y)= 0.2 + Cy0-1 y 0 0yl 其它试确定常数c,求分布函数F（y）,并求poyo.5|ro.i（2）设随机变量X的概率密度为f（x） = x/81 y 22y 4其它求分布函数F(y), P1X1|X3解:(

7、1)由=匸/(y)y = J：02dy + j：(02 + Cy)dyo C+ (0.2y + -/)-i z0.2J(y)= 0.2 + 1.2y0Fy(y)=i f(t)dt = J oo=0-4+f-1 00 J 1其它OdtQ.2dtJ-l匸 0.2dy + J(：(0.2 + 1.2y)dyJ；(0.2 + 1.2y)dyooy v _1-1 y 00y00.2y + 0.20.6/+0.2j + 0.21y -10yl沖1P0Y 0.1 = 1 - F(0)=1 一 0.2 - 0.2x0一 0.6x0= 0.774PY 0.5 = 1-F(0.5)= 1-0.24-0.2x0.5

8、-0.6x0.52 = 0.5510x2一Xy82x415b 8丄如Jk) 8 J2 8x00x00x22x4(2)Q 1 7PlX3 = F（3）-F（l） = - = -PX3=F 二善 px n i|x w 3=刊：x w 3=羊=?1 J px 2； PXY； PX + Yvl解： = ( /(兀)6k = J() Cexydxdy =-PX + Y1= JJ y)dxdy = j*dxXSe(2x+4y)dyx+y= 2e2x(-e-4y) Xdx = (2e-2x-2e2x-4)dx = (-e-2x-e2x4) =(1-2)2o兀216、设随机变量（X, K）在由曲线y = xy

9、 = ,x = 所围成的区域G均匀分布（1） 求（X, y）的概率密度；（2） 求边缘概率密度fxMJY（y）17、(1)在14题中求边缘概率密度;解：(1)X0 1 2 PX=Xi000 0.08 0.06 0.2410.04 0.20 0.14 0.3820.02 0.06 0.30 0.38Pgi0.16 0.34 0.50 122、(1)设一离散型随机变量的分布律为Y101Pke2-0e2又岭，丫2是两个相互独立的随机变量，且K，丫2与Y有相同的分布律，求岭与丫2的联合 分布律,并求PY=Y2(2)在14题中X与丫是否相互独立。H4笋少)K4且 PZ=E=PZ=i，W=i+PZ=，W=

10、O+PZ=l，W=l斗+（）+宁討_2却(2) px=0,y = 0 = 0.10 又 v px=o-py = o = 0.0384 px = o, y = 0 h px = 0 py = o,x与y不相互独立23、设X, y是两个相互独立的随机变量，X（7（0,1） , Y的概率密度为 心卜叫0 其它试写出X, Y的联合概率密度，并求PXYofY(y) = y vK = jj Sydxdy =(8y- y2)dy = (4y2 -xy24、设随机变量X具有分布律X-21013Pk1516151151130求y = x2+i的分布律。解：X2-1013Pki516151151130y = x2

11、+i521210y = x2+i1251011 1111Pk_ + 一56 15530即25、解:当wO0t, Fv(w) = PU u = PX |0H寸,Fu(u) = P(U u) = P( Xu) = P(u Xu) = Fx(u)一Fx(-w)z i 丄 i九(u)=伦(u) = 0x(“)+0X(U)=花=幺 2 +花= 2故u = x的概率密度为：九(比)=0 u ,当 (0,+oo )时，yG (0,+oo)X 0 X0当)圧0时，FY(y) = P(Y y) = P(Vx OU 寸，耳(y) = P(Y y) = P(Vx y) = P(X y2) = Fx (y2)fY(y

12、) = F；(u) = 2yfx(y2) = 2ye-yv +1当0 v yv 1时，FY(y) = P(Y y) = P(丁 y) = P(X 2y -1) = Fx(2y-)人(刃=你0)=办(2丿一1)2 = 1当八1时，的0) = 1,齐(y) = o1 0yl0 其他Y i i故Y二仝尹的概率密度为：fy(y) =o 1 上(3)Y = X2, *.* fx(X)=.e 2 -oo x +oo ,当 xw(_oo,+oo)吋，y w 0,+x) J 2兀当 ySOBt，FY(y) = P(Yy) = P(X2y) = O,.厶(刃=0当y00寸，Fr(y) = P(Yy) = P(X

13、2y) = P(“X) = Fx)-Fx(“)27、设一圆的半径X是一随机变量，其概率密度为/、 -(3x + l) 0xl = X2,v/x(x) = -8(3% + 1)0求圆面积A的概率密度。A2,当xw(0,2)时，y = -x2G(0,4) 其它当 y0 时，FA(y) = PAy = PttX2 y = 09 /. fA(y) = O/(兀,刃=fx(x)fY(y)= qe 心 (x,y)w R，Z = Vx2 + r2，当 X、yw(oo,+oo)吋，ZG0,+oo)当z5O0寸，F7(z) = PyJX2Y2 0y0 n 0时,=匚 fx (z - y)fY(y)dy = Ae

14、A:y)Z2yeA ydy = eA2 +故Z = X + Y的概率密度为：(z) =f z0z03K 解：fx(x) =1 0xl0 其它，fAy) =穿】，且X与Y相互独立14仗)=匸/x(z-y)/心)=0 z 1lz2=z-l0其它0 z 1lz2其它32、设随机变量X, Y相互独立，它们的联合概率密度为/(兀,刃=0,02其它(1)求边缘概率密度fx (Q,几(y)；(2)求Z = max( X, Y)的分布函数;(3)解(1) fx(x) = jf(x9y)dy =x0x0/心)=匸/(兀,刃必=e 3 a-e3xdx o 200y2其它0y2其它(2) Fx(x)=r fx(t)

15、dt = Jco你(刃 fy(t)dt = J oo0A3e3fdtIJO0;y-dtb 21x0)72 g(Z) = Pmax(X, Y) Z = FX (Z) Fy(Z)=x001_y2-3z-3Zy00y 20z233、解：(1) X在(0J)上服从均匀分布，概率密度MU)= V02 J mdX max 2 2 2 2 4 2 40 % /其它0xl21,2其它34、解：(1) 1/的可能取值是0, 1, 2, 3PU = 0 = PX=0,Y = 0 =右pf； = i = px =o,y = i + Px = i,r = o + p(x = i,r = i1112=I 1=6 4 4

16、 3p = 2 = px = 2,y = o)+ Px = 2,r = i + Px = 2,r = 2 + Px =o,y = 21 1 1 1 29+ PX = l,y = 2= + + 0 + + 二8 20 24 40 120P/=3 = PX =3,Y = 0 + PX =3,Y = 1 + PX 二3,丫 = 2二丄+ 0 + 0 二丄120 120 或u0123p1121 1 1- + - + - 6 4 41 1 n 1 1一 + + 0 + + 8 20 24 401 +0+0120E|J：u0123p12291123120120pv = o = px =o9y = o +

17、Px=o,y = i + Px=o,y = 2 + Px = i,r = o2740+ P2,0 + P2 心。詁+ ”右+ * + ”击PV = 1 = PX =1,Y = 1PX = 1,Y = 2 + PX =2,Y = 1 + PX =3,Y = l1 1 1 n 134 40 20 40PV = 2 = PX = 2,7 = 2+ PX =3,y = 2 = 0 + 0 = 0V012p11111 1 + + + 十 十12 6 24 4 8 1201 1 1 n一 + + + 04 40 200+0V01p27401340(3) W的可能取值是0, 1, 2, 3, 4, 5512

18、pw = o = Px = o,y=o= pw = i = Px = i,r = o + Px=o,y = i = -+- =4 6PW = 2 = PX = 2,Y = 0 + PX =1.Y = + PX =0,Y = 21115=+ H =8 4 24 12p(w = 3 = Px =3,r = o + Px = 2,r = i + Px = i,r = 21111 I 1 120 20 40 12PW = 4 = PX=2,r = 2 + PX=3,y = l = 0 + 0PW = 5 = PX=3,y = 2 = 0或W012345P1121 1+ -4 61 1 1 _ + _ + _8 4 241 1 1 + +120 20 400+00w0123p112512512112