数学教案 5升615 找次品.docx
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数学教案5升615找次品
第15讲火眼金睛辨真假
——找次品
【教学内容】
暑期激趣版，5升6第15讲“火眼金睛辨真假——找次品”。
【教学目标】
知识技能
1.让学生能够通过自己演示、借助学具摆一摆、画一画或写一写的方式对找次品问题进行分析，初步认识“找次品”这类问题的基本解决手段和方法。
2.学生通过猜测、观察、试验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
数学思考
在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受各种解题策略的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。
问题解决
体验与他人合作交流解决问题的过程，并尝试回顾解决问题的过程。
情感态度
感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
【教学重难点】
教学重点
让学生经历猜测、观察、试验、推理的活动过程，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
教学难点
观察归纳“找次品”这类问题的最优策略。
【教学准备】
动画多媒体语言课件、天平等学具。
第一课时
教学过程：
教学路径
学生活动
方案说明
一、背起行囊
工厂生产了一批零件，由于机器故障，其中一个质量稍轻，但又因失误将这个次品混进包装盒里，请大家想想如何能找出这个次品来？
师：
在生产和生活中我们经常会遇到类似的问题，因为人为失误、机器故障、甚至环境等因素的影响，出现次品是不可避免的，所以我们要对生产出来的产品进行检验。
怎样在众多的合格产品中找出次品？
这就是今天我们要面临的问题。
揭示课题：
找次品。
为了更好的学习后面的内容，我们先来复习一下找次品的方法：
复习：
1.首先要掌握称重找次品的方法。
基本方法是用天平秤，两
边放的数量要同样多。
2.还要掌握研究的思路。
首先，从最简单的3个开始，不妨
多做几种，4个、5个、6个、7个、8个、9个、10个的都要试试看。
然后，再研究稍复杂的十几个，最后再选出几个较大数量的进行研究。
3.注意研究的方法。
我们要认真观察，大胆猜测、小心实验、严密推理、勤于归纳。
通过这些方法进行有效研究，特别要注意要有科学的记录习惯。
师：
刚复习了找次品的方法，这不，主人公莉莉和芳芳遇到了这样一个问题：
提出问题：
莉莉和芳芳正在研究找次品的数学问题。
这里有27个看似一模一样的乒乓球，但有一个是次品。
如何用称重的方法快速找出这个次品呢？
她们决定对这个问题进行研究，首先从最简单的情况开始。
师：
为了解决这个问题，我们从最简单的情况分析。
（引出例1）
二、踏上征程①
（一）踏上征程例1
例1：
3个外观一样的乒乓球，其中一个是次品，质量偏轻，用天平至少称几次，才能确保找出次品？
（1）学生小组讨论
师：
要用最少的次数，而且还要保证一定能称出来，同学们有什么好的办法吗？
（2）汇报交流
师：
用列举的方法来解决这个问题，可以分类考虑：
天平的一边只放一个；引导学生用画图的方法，枚举出所有可能，画出称重过程，做好记录。
解析：
情况一：
将小球分成A、B、C（1,1,1）三份，
把A、B两份放在天平两端平衡，
次品：
C飞过来
情况二：
将小球分成A、B、C（1,1,1）三份，
把A、B两份放在天平两端A高B低，
次品：
A飞过来
答案：
答：
至少要称1次。
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4个呢？
方法一：
动画用称称出找4个中一个次品的过程。
称第一次：
分成A、B、C（2,2,0）三份，把A、B放到天平两边称1次，假如A高B低，那么次品在A组中；
称第二次:
把A组2个球分成（1,1,0），放在天平左右两边，左边翘起来，说明左边的小球是次品。
出示动画的同时对应出示表格给出分的方法。
方法二：
4个小球分为A、B、C（1,1,2）三组。
第一种情况：
称一次：
把A、B两组各一个小球分别放在天平左右两边，结果A高B低，说明A组中的小球是次品。
②
第二种情况：
称一次：
把A、B两组各一个小球分别放在天平左右两边，结果平衡，说明A、B组小球合格，次品在C组中；
称第二次：
把C组2个小球分成（1,1,0）放在天平的左右两边称重，左低右高，说明右边的那个小球是次品。
答案：
至少要称2次。
（2）学生做好后，集体核对，教师请学生讲解填表思路。
（3）教师总结
师：
想一想，3个球时，我们把球分成了3份（1、1、1）；4个球时我们也分成了3份（2、2、0）或（1、1、2）。
都是分成了几份？
如果是5个应该怎么分？
教师引导学生思考，并适时进入例2。
（二）踏上征程例2
例2：
假如这批乒乓球有5个、6个、7个、8个、9个，请你用莉莉和芳芳的方法进行研究并记录研究的过程。
（1）学生小组讨论（先讨论5个、6个的情况）
师：
要用最少的次数，而且还要保证一定能称出来，同学们有什么好的办法吗？
（2）大家做的怎么样？
谁给大家讲一讲。
教师引导学生思考，给出答案。
5个：
动画将小球分成A、B、C（2，2，1）三份
情况一：
称一次：
A、B平衡，说明C是次品；③
情况2：
称一次：
首先出现天平，先把A、B两份放到天平两端，A低B高，说明次品肯定在B里面
称第二次：
继续称B（1,1,0），左低右高，说明右边的小球是次品。
6个：
将小球分成A、B、C（2、2、2）三份
情况一：
称一次：
先把A、B两份放到天平两端，A、B同样高，说明次品肯定在C里面，
称第二次：
把C分成（1,1,0）放在天平左右两边，就可以找出次品。
情况二：
称一次：
先把A、B两份放到天平两端，B高A低，说明次品肯定在B里面；
称第二次：
把B分成（1,1,0）放在天平左右两边，就可以找出次品。
（3）教师指导学生独立完成独立思考7、8、9个球的情况
（4）汇报交流
7个：
将小球分成A、B、C（3,2,2）三份，B、C两份个数相同的分别放在天平两端，称1次。
情况一：
不平衡，假如B高C低，那么次品是B份2个球中的其中一个，2个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次；
情况二：
平衡。
那么次品是A份3个球中的其中一个，
3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次。
8个：
将小球分成A、B、C（3,3,2）三份，AB两份个数相同的分别放在天平两端称1次，
情况一：
不平衡，假如A高B低，那么次品是A份3个球中的其中一个，3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次；
情况二：
平衡。
那么次品是C份2个球中的其中一个，
2个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次。
9个：
将小球分成A、B、C（3,3,3）三份，任意两份放在天平两边，假如放A、B两份称1次，
情况一：
不平衡，假如A高B低，那么次品是A份3个球中的其中一个，3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次；
情况二：
平衡。
那么次品是C份3个球中的其中一个，
3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次。
（5）课件出示答案：
个数
初始分法
次数
5个球
（2、2、1）
2次
6个球
（2、2、2）
2次
7个球
（3、2、2）
2次
8个球
（3、3、2）
2次
9个球
（3、3、3）
2次
（6）小结
师：
刚才这个问题，做对的同学站起来给老师看一下。
哇，这么多同学都做对了，你们太聪明了。
师：
说一说，我们刚才是怎么找次品的？
不管多少个小球，我们把他们分成了几份？
这几份的数量有什么特点？
（7）拓展延伸
师：
说一说，3个小球称几次？
4个小球称几次？
5个小球称几次？
6个小球称几次？
7个小球称几次？
8个小球称几次？
9个小球称几次？
④
你发现了什么？
⑤
发现：
3个小球称1次；4～9个小球称2次。
最优策略：
找次品的最优策略：
一是要把待测物品分成3份；
二是要分的尽可能的平均分，即使不能均分，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
师：
那么10个、11个、12个、13个、14个、15个、……小球又要称几次呢？
大家猜一猜？
⑥
师进一步说：
大家猜的对不对呢？
我们来研究一下，出示例3。
（三）踏上征程例3
例3：
假如这批乒乓球有10个、11个、12个、13个、14个、15个，你能推算出至少称多少次就能找出次品吗？
推算之后再实践操作验证一下你的推算是否正确。
（1）学生读题。
（2）小组讨论交流
师点拨：
使用画图的方法，利用我们称7、8、9个球的思路，你能像前面一样画一画，写一写吗？
（3）学生独立做题。
（4）集体核对，同时请学困生讲解解题思路。
解析：
分步出示
个数
初始分法
次数
10
（4、3、3）
3
11
（4、4、3）
3
12
（4、4、4）
3
13
（5、4、4）
3
14
（5、5、4）
3
15
（5、5、5）
3
答案：
答：
至少需要称3次。
（5）课堂激励
师：
刚才这个问题，做对的同学站起来给老师看一下。
哇，这么多同学都做对了，你们太聪明了。
（四）踏上征程例4
例4：
假如这批乒乓球有27个，你能推算出至少称多少次就能找出次品吗？
推算之后再实践操作验证一下你的推算是否正确。
（1）分一分
师：
说一说，27个小球分成几份？
每份分几个？
（2）小组讨论交流
师点拨：
使用画图的方法，利用我们称7、8、9个球的思路，你能像前面一样画一画，写一写吗？
⑦
（3）学生独立做题
（4）集体核对，同时请学困生讲解解题思路
解析：
个数
初始分法
次数
27
（9,9,9）
3
答案：
将小球分成A、B、C（9,9,9）三份。
称1次：
任意两份放在天平两边，假如将A、B两份放天平两边称1次。
情况一：
不平衡，假如A高B低，那么次品是A份9个球中的其中一个（A低B高道理相同），9个球中找出较轻的次品只需要再称2次，所以一共要称3次；
情况二：
平衡。
那么次品是C份9个球中的其中一个，
9个球中找出较轻的次品只需要再称2次，所以一共要称3次。
（五）踏上征程例5
例5：
回顾整理研究的过程，你有什么发现？
（1）总结所称次数与个数的关系
师：
小组讨论，说一说，你有什么发现？
⑧
（2）找规律⑨
师：
称1次最多找出几个球中的次品？
称2次最多找出几个球中的次品？
称3次最多找出几个球中的次品？
师：
称1次最多找出3个球中的次品；
称2次最多找出9个球中的次品；
称3次最多找出27个球中的次品。
想一想，观察3、9、27有什么规律没？
（3）师小结
师：
大家说得非常好。
发现：
在已知一个次品偏轻或偏重的情况下：
称1次最多找出3个球中的次品；
称2次最多找出3²个球中的次品；
称3次最多找出3³个球中的次品。
四、全课小结
同学们的聪明睿智给老师留下了深刻的印象，老师想下节课和同学们一起动脑筋，去寻求更多更好的解题策略，有信心吗？
下课！
④
3个小球称1次；
4个小球称2次；
5个小球称2次；
6个小球称2次；
7个小球称2次；
8个小球称2次；
9个小球称2次。
⑤我发现：
3个小球称1次；4～9个小球称2次。
⑥学生自由猜一猜。
⑦分成（9,9,9），
称一次：
把其中任意两份放到天平两端称一次，可以判断出次品在其中的一份之中；
第二步：
从9个中找出较轻次品根据前面的分析可知还需再称2次；
所以一共需要称3次。
⑧学生发现：
在已知次品较轻或较重情况下：
2～3个，称1次；
4～9个，称2次；
10～27个，称3次，
⑨学生根据教师提问，自由发言。
①称小球时，把小球一般分为3组，例如如果一共2个小球一般还是分成（1,1,0），分别表示（天平左边小球个数、天平右边小球个数、旁边剩余小球个数），后面所有题目都按此方法来分的。
②这只称了一次就找出了次品，但不具有一般性，只是偶然情况，这种方法不能确保找出次品。
③这只称了一次就找出了次品，但不具有一般性，只是偶然情况，这种方法不能确保找出次品。
第二课时
教学过程：
教学路径
学生活动
方案说明
一、激趣引入
同学们，上一节课，我们一起学习了找次品的方法。
你们掌握了找次品的策略了吗？
我们一起来试一试吧！
二、攀登高峰
（一）攀登高峰第1题
1.有13瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，用天平至少称几次就一定能找出来？
（1）学生读题，思考，适当讨论交流
（2）学生汇报思路
（3）集体核对，师有针对性地指名学生复述解题思路，注意方法的多样性与最简洁的解题方法，以及分份的方法。
（二）攀登高峰第2题
2.有20瓶水，其中19瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，用天平至少称几次就一定能找出来？
（1）学生读题，思考，适当讨论交流。
（2）学生汇报思路，师点拨，
（3）集体核对，师有针对性地指名学生复述解题思路，注意方法的多样性与最简洁的方法，以及分份的方法。
三、眺望远方
（一）眺望远方第1题
1.用天平找次品时（只含一个次品，且已知次品比正品重或
轻），所测物品数量与测试的次数有以下关系：
你有什么发现？
要保证5次能测出次品，待测的物品数量在什么范围之间？
发现：
保证能找出次品需要测的次数为n时，可以辨别的物的范围为到个。
测5次要保证5次能测出次品，待测的物品可能为82～243个。
（1）学生独立观察，发现规律
师：
同学们仔细看看这个表，称1次，最多辨别出多少个？
称2次最多辨别多少个？
称3次最多辨别出多少个？
称4次最多辨别出多少个？
师：
3、9、27、81这几个数同学们发现什么规律了吗？
①
（2）解决问题
师：
也就是说，我们每增加一次，可辨别的个数就要扩大3倍，对吗？
如果称4次最多可以辨别多少个呢？
5次，最多可以辨别多少个呢？
②
师：
4个最多辨别81个，那么5次最少辨别82个物品中的次品，最多辨别243个中的次品，所以陈5次能辨别82～243中的次品。
（3）找规律
师：
那么我们补充一个知识点：
3＝
3×3＝
3×3×3＝
3×3×3×3＝
3×3×3×3×3＝
＝
那么表中的而规律就可以写成：
保证能找出次品需要测的次数为n时，可以辨别的物的范围为到个。
（二）眺望远方第2题③
2.（选做题）12个外观一样的乒乓球，其中一个是次品，但不知道是略重还是略轻，用天平秤至少称几次就可以保证找出次品？
（1）分一分
把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组（4,4,4）。
（2）按步骤称一称
这是一个比较难的逻辑推理题。
这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻，还是重。
要解出这个题目，不仅要熟练地运用各种推理形式，而且还要有一定的机灵劲呢。
用无码天平称乒乓球的重量，每称一次会有几种结果?
有三种不同的结果，即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量，为了做到称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来，必须把球分成三组（各为四只球）。
现在，我们为了解题的方便，把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组。
首先，选任意的两组球放在天平上称。
例如，我们把A、B两组放在天平上称。
这就会出现两种情况:
第一种情况，天平两边平衡。
那么，不合格的坏球必在C组之中。
其次，从C组中任意取出两个球（例如C1、C2）来，分别放在左右两个盘上，称第二次。
这时，又可能出现两种情况:
.天平两边平衡。
这样，坏球必在C3、C4中。
这是因为，在12个乒乓球中，只有一个是不合格的坏球。
称第三次的时候，可以从C3、C4中任意取出一个球（例如C3），同另一个合格的好球（例如C1）分别放在天平的两边，就可以推出结果。
这时候可能有两种结果:
如果天平两边平衡，那么，坏球必是C4；如果天平两边不平衡，那么，坏球必是C3。
.天平两边不平衡。
这样，坏球必在C1、C2中。
这是因为，只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不能平衡。
这是称第二次。
称第三次的时候，可以从C1、C2中任意取出一个球（例如C1），同另外一个合格的好球（例如C3），分别放在天平的两边，就可以推出结果。
道理同上。
以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。
第二种情况，第一次称过后天平两边不平衡。
这说明，C组肯定都是合格的好球，而不合格的坏球必在A组或B组之中。
我们假设:
A组（有A1、A2、A3、A4四球）重，B组（有B1、B2、B3、B4四球）轻。
这时候，需要将重盘中的A1取出放在一旁，将A2、A3取出放在轻盘中，A4仍留在重盘中。
同时，再将轻盘中的B1、B4取出放在一旁，将B2取出放在重盘中，B3仍留在轻盘中，另取一个标准球C1也放在重盘中。
经过这样的交换之后，每盘中各有三个球:
原来的重盘中，现在放的是A4、B2、C1，原来的轻盘中，现在放的是A2、A3、B3。
这时，可以称第二次了。
这次称后可能出现的是三种情况:
.天平两边平衡。
这说明A4B2C1=A2A3B3，亦即说明，这六只是好球，这样，坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。
已知A盘重于B盘。
所以，A1或是好球，或是重于好球；而B1、B4或是好球，或是轻于好球。
这时候，可以把B1、B4各放在天平的一端，称第三次。
这时也可能出现三种情况:
（一）如果天平两边平衡，可推知A1是不合格的坏球，这是因为12只球只有一只坏球，既然B1和B4重量相同，可见这两只球是好球，而A1为坏球；
（二）B1比B4轻，则B1是坏球；（三）B4比B1轻，则B4是坏球，这是因为B1和B4或是好球，或是轻于好球，所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻，更轻的必是坏球。
.放着A4、B2、C1的盘子（原来放A组）比放A2、A3、B3的盘子（原来放B组）重。
在这种情况下，则坏球必在未经交换的A4或B3之中。
这是因为已交换的B2、A2、A3三个球并未影响轻重，可见这三只球都是好球。
以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。
这时候，只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。
例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。
这时称第三次。
如果天平两边平衡，那么B3是坏球；如果天平不平，那么A4就是坏球（这时A4重于C1）。
.放A4、B2、C1的盘子（原来放A组）比放在A2、A3、B3的盘子（原来放B组）轻。
在这种情况下，坏球必在刚才交换过的A2、A3、B2之中。
这是因为，如果A2、A3、B2都是好球，那么坏球必在A4或B3之中，如果A4或B3是坏球，那么放A4、B2、C1的盘子一定重于放A2、A3、B3的盘子，现在的情况恰好相反，所以，并不是A2、A3、B2都是好球。
以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。
这时候，只需将A2同A3相比，称第三次，即推出哪一个是坏球。
把A2和A3各放在天平的一端称第三次，可能出现三种情况:
（一）天平两边乎衡，这可推知B2是坏球；
（二）A2重于A3，可推知A2是坏球；（三）A3重于A2，可推知A3是坏球。
四、全课总结
同学们，愉快的两节课就要结束了，谈谈你今天学习有什么收获？
我们今天学习了哪些解决问题的策略，你都会用吗？
①后一个数是前一个数的3倍。
②4次最多可以辨别3×3×3×3＝81（个）
5次，最多可以辨别：
5个3相乘，也就是3×3×3×3×3＝243（个）。
③此题判断的是次品偏轻的情况；次品偏重也是用同样的方法可以判断出来的。
这里没有一一赘述。
本讲教材答案：
踏上征程：
例1：
3个至少称1次；4个至少称2次。
例2：
5～9个至少称2次。
发现：
4～9个至少称2次。
例3：
10～15至少称3次。
例4：
27个至少称3次。
例5：
发现:
在已知一个次品偏轻或偏重的情况下：
称1次最多找出3个球中的次品；
称2次最多找出3²个球中的次品；
称3次最多找出3³个球中的次品。
攀登高峰
1.3次
2.3次
我挑战：
1．发现：
保证能找出次品需要测的次数为n时，可以辨别的物的范围为到个。
测5次要保证5次能测出次品，待测的物品可能为82～243个。
2．3次
升级会员 