数学教案 5升615 找次品.docx

1、数学教案 5升615 找次品第15讲 火眼金睛辨真假 找次品【教学内容】暑期激趣版，5升6第15讲“火眼金睛辨真假找次品”。【教学目标】知识技能1.让学生能够通过自己演示、借助学具摆一摆、画一画或写一写的方式对找次品问题进行分析，初步认识“找次品”这类问题的基本解决手段和方法。2.学生通过猜测、观察、试验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。数学思考在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受各种解题策略的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。问题解决 体验与他人合作交流解决问题的过程，并尝试回顾解决问题的过程。情感态度感受到数学在日常生活中的广泛应用

2、，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 【教学重难点】教学重点让学生经历猜测、观察、试验、推理的活动过程，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。教学难点观察归纳“找次品”这类问题的最优策略。【教学准备】动画多媒体语言课件、天平等学具。第一课时教学过程：教学路径 学生活动方案说明一、背起行囊工厂生产了一批零件，由于机器故障，其中一个质量稍轻，但又因失误将这个次品混进包装盒里，请大家想想如何能找出这个次品来？师：在生产和生活中我们经常会遇到类似的问题，因为人为失误、机器故障、甚至环境等因素的影响，出现次品是不可避免的，所以我们

3、要对生产出来的产品进行检验。怎样在众多的合格产品中找出次品？这就是今天我们要面临的问题。揭示课题：找次品。为了更好的学习后面的内容，我们先来复习一下找次品的方法：复习：1.首先要掌握称重找次品的方法。基本方法是用天平秤，两边放的数量要同样多。2.还要掌握研究的思路。首先，从最简单的3个开始，不妨多做几种，4个、5个、6个、7个、8个、9个、10个的都要试试看。然后，再研究稍复杂的十几个，最后再选出几个较大数量的进行研究。3.注意研究的方法。我们要认真观察，大胆猜测、小心实验、严密推理、勤于归纳。通过这些方法进行有效研究，特别要注意要有科学的记录习惯。师：刚复习了找次品的方法，这不，主人公莉莉和

4、芳芳遇到了这样一个问题：提出问题：莉莉和芳芳正在研究找次品的数学问题。这里有27个看似一模一样的乒乓球，但有一个是次品。如何用称重的方法快速找出这个次品呢？她们决定对这个问题进行研究，首先从最简单的情况开始。师：为了解决这个问题，我们从最简单的情况分析。（引出例1） 二、踏上征程（一）踏上征程例1例1：3个外观一样的乒乓球，其中一个是次品，质量偏轻，用天平至少称几次，才能确保找出次品？（1）学生小组讨论师：要用最少的次数，而且还要保证一定能称出来，同学们有什么好的办法吗？（2）汇报交流师：用列举的方法来解决这个问题，可以分类考虑：天平的一边只放一个；引导学生用画图的方法，枚举出所有可能，画出称

5、重过程，做好记录。解析：情况一：将小球分成A、B、C（1,1,1）三份， 把A、B两份放在天平两端平衡， 次品：C飞过来情况二：将小球分成A、B、C（1,1,1）三份， 把A、B两份放在天平两端A高B低， 次品：A飞过来答案：答：至少要称1次。下一页4个呢？方法一：动画用称称出找4个中一个次品的过程。称第一次：分成A、B、C（2,2,0）三份，把A、B放到天平两边称1次，假如A高B低，那么次品在A组中；称第二次:把A组2个球分成（1,1,0），放在天平左右两边，左边翘起来，说明左边的小球是次品。出示动画的同时对应出示表格给出分的方法。方法二：4个小球分为A、B、C（1,1,2） 三组。第一种情

6、况：称一次：把A、B两组各一个小球分别放在天平左右两边，结果A高B低，说明A组中的小球是次品。第二种情况：称一次：把A、B两组各一个小球分别放在天平左右两边，结果平衡，说明A、B组小球合格，次品在C组中；称第二次：把C组2个小球分成（1,1,0）放在天平的左右两边称重，左低右高，说明右边的那个小球是次品。答案：至少要称2次。（2）学生做好后，集体核对，教师请学生讲解填表思路。（3）教师总结师：想一想，3个球时，我们把球分成了3份（1、1、1）；4个球时我们也分成了3份（2、2、0）或（1、1、2）。都是分成了几份？如果是5个应该怎么分？教师引导学生思考，并适时进入例2。（二）踏上征程例2例2：

7、假如这批乒乓球有5个、6个、7个、8个、9个，请你用莉莉和芳芳的方法进行研究并记录研究的过程。（1）学生小组讨论（先讨论5个、6个的情况）师：要用最少的次数，而且还要保证一定能称出来，同学们有什么好的办法吗？ （2）大家做的怎么样？谁给大家讲一讲。教师引导学生思考，给出答案。5个：动画将小球分成A、B、C(2，2，1)三份情况一： 称一次：A、B平衡，说明C是次品；情况2：称一次：首先出现天平，先把A、B两份放到天平两端，A低B高，说明次品肯定在B里面称第二次：继续称B（1,1,0），左低右高，说明右边的小球是次品。6个：将小球分成A、B、C（2、2、2）三份情况一：称一次：先把A、B两份放到

8、天平两端，A、B同样高，说明次品肯定在C里面，称第二次：把C分成（1,1,0）放在天平左右两边，就可以找出次品。情况二： 称一次：先把A、B两份放到天平两端，B高A低，说明次品肯定在B里面；称第二次：把B分成（1,1,0）放在天平左右两边，就可以找出次品。（3）教师指导学生独立完成独立思考7、8、9个球的情况（4）汇报交流7个：将小球分成A、B、C（3,2,2）三份，B、C两份个数相同的分别放在天平两端，称1次。情况一：不平衡，假如B高C低，那么次品是B份2个球中的其中一个，2个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次；情况二：平衡。那么次品是A份3个球中的其中一个，3个球中找出较轻

9、的次品只需要再称一次，所以一共要称2次。8个：将小球分成A、B、C（3,3,2）三份，AB两份个数相同的分别放在天平两端称1次，情况一：不平衡，假如A高B低，那么次品是A份3个球中的其中一个，3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次；情况二：平衡。那么次品是C份2个球中的其中一个，2个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次。9个：将小球分成A、B、C（3,3,3）三份，任意两份放在天平两边，假如放A、B两份称1次，情况一：不平衡，假如A高B低，那么次品是A份3个球中的其中一个，3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次；情况二：平衡。那么次品是C份3个球中

10、的其中一个，3个球中找出较轻的次品只需要再称一次，所以一共要称2次。（5）课件出示答案：个数初始分法次数5个球（2、2、1）2次6个球（2、2、2）2次7个球（3、2、2）2次8个球（3、3、2）2次9个球（3、3、3）2次（6）小结师：刚才这个问题，做对的同学站起来给老师看一下。哇，这么多同学都做对了，你们太聪明了。师：说一说，我们刚才是怎么找次品的？ 不管多少个小球，我们把他们分成了几份？这几份的数量有什么特点？（7）拓展延伸师：说一说，3个小球称几次？ 4个小球称几次？5个小球称几次？6个小球称几次？7个小球称几次？8个小球称几次？9个小球称几次？你发现了什么？发现：3个小球称1次；49

11、个小球称2次。最优策略：找次品的最优策略：一是要把待测物品分成3份；二是要分的尽可能的平均分，即使不能均分，也应该使多的一份与少的一份只相差1。师：那么10个、11个、12个、13个、14个、15个、小球又要称几次呢？大家猜一猜？师进一步说：大家猜的对不对呢？我们来研究一下，出示例3。（三）踏上征程例3例3：假如这批乒乓球有10个、11个、12个、13个、14个、15个，你能推算出至少称多少次就能找出次品吗？推算之后再实践操作验证一下你的推算是否正确。（1）学生读题。（2）小组讨论交流师点拨：使用画图的方法，利用我们称7、8、9个球的思路，你能像前面一样画一画，写一写吗？（3）学生独立做题。（

12、4）集体核对，同时请学困生讲解解题思路。解析：分步出示个数初始分法次数10（4、3、3）311（4、4、3）312（4、4、4）313（5、4、4）314（5、5、4）315（5、5、5）3答案：答：至少需要称3次。（5）课堂激励师：刚才这个问题，做对的同学站起来给老师看一下。哇，这么多同学都做对了，你们太聪明了。（四）踏上征程例4例4：假如这批乒乓球有27个，你能推算出至少称多少次就能找出次品吗？推算之后再实践操作验证一下你的推算是否正确。（1）分一分师：说一说，27个小球分成几份？每份分几个？（2）小组讨论交流师点拨：使用画图的方法，利用我们称7、8、9个球的思路，你能像前面一样画一画，写

13、一写吗？（3）学生独立做题（4）集体核对，同时请学困生讲解解题思路解析： 个数初始分法次数27（9,9,9）3答案： 将小球分成A、B、C（9,9,9）三份。称1次：任意两份放在天平两边，假如将A、B两份放天平两边称1次。情况一：不平衡，假如A高B低，那么次品是A份9个球中的其中一个（A低B高道理相同），9个球中找出较轻的次品只需要再称2次，所以一共要称3次；情况二：平衡。那么次品是C份9个球中的其中一个，9个球中找出较轻的次品只需要再称2次，所以一共要称3次。（五）踏上征程例5例5：回顾整理研究的过程，你有什么发现？（1）总结所称次数与个数的关系师：小组讨论，说一说，你有什么发现？（2）找规

14、律师：称1次最多找出几个球中的次品？称2次最多找出几个球中的次品？称3次最多找出几个球中的次品？师：称1次最多找出3个球中的次品；称2次最多找出9个球中的次品；称3次最多找出27个球中的次品。 想一想，观察3、9、27有什么规律没？（3）师小结师：大家说得非常好。发现：在已知一个次品偏轻或偏重的情况下： 称1次最多找出3个球中的次品；称2次最多找出3个球中的次品；称3次最多找出3个球中的次品。四、全课小结同学们的聪明睿智给老师留下了深刻的印象，老师想下节课和同学们一起动脑筋，去寻求更多更好的解题策略，有信心吗？下课！3个小球称1次；4个小球称2次；5个小球称2次；6个小球称2次；7个小球称2次

15、；8个小球称2次；9个小球称2次。我发现：3个小球称1次；49个小球称2次。学生自由猜一猜。分成（9,9,9），称一次：把其中任意两份放到天平两端称一次，可以判断出次品在其中的一份之中；第二步：从9个中找出较轻次品根据前面的分析可知还需再称2次；所以一共需要称3次。学生发现：在已知次品较轻或较重情况下：23个，称1次；49个，称2次；1027个，称3次，学生根据教师提问，自由发言。称小球时，把小球一般分为3组，例如如果一共2个小球一般还是分成（1,1,0），分别表示（天平左边小球个数、天平右边小球个数、旁边剩余小球个数），后面所有题目都按此方法来分的。这只称了一次就找出了次品，但不具有一般性，

16、只是偶然情况，这种方法不能确保找出次品。这只称了一次就找出了次品，但不具有一般性，只是偶然情况，这种方法不能确保找出次品。第二课时教学过程：教学路径 学生活动方案说明一、激趣引入同学们，上一节课，我们一起学习了找次品的方法。你们掌握了找次品的策略了吗？我们一起来试一试吧！ 二、攀登高峰（一）攀登高峰第1题1.有13瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，用天平至少称几次就一定能找出来？（1）学生读题，思考，适当讨论交流（2）学生汇报思路（3）集体核对，师有针对性地指名学生复述解题思路，注意方法的多样性与最简洁的解题方法，以及分份的方法。（二）攀登高峰第2题2.有20瓶水，其

17、中19瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，用天平至少称几次就一定能找出来？（1）学生读题，思考，适当讨论交流。（2）学生汇报思路，师点拨，（3）集体核对，师有针对性地指名学生复述解题思路，注意方法的多样性与最简洁的方法，以及分份的方法。三、眺望远方（一）眺望远方第1题1.用天平找次品时（只含一个次品，且已知次品比正品重或轻），所测物品数量与测试的次数有以下关系：你有什么发现？要保证5次能测出次品，待测的物品数量在什么范围之间？发现：保证能找出次品需要测的次数为n时，可以辨别的物的范围为到个。测5次要保证5次能测出次品，待测的物品可能为82243个。（1）学生独立观察，发现规律师：同学

18、们仔细看看这个表，称1次，最多辨别出多少个？称2次最多辨别多少个？称3次最多辨别出多少个？称4次最多辨别出多少个？师：3、9、27、81这几个数同学们发现什么规律了吗？（2）解决问题师：也就是说，我们每增加一次，可辨别的个数就要扩大3倍，对吗？如果称4次最多可以辨别多少个呢？5次，最多可以辨别多少个呢？师：4个最多辨别 81个，那么5次最少辨别82个物品中的次品，最多辨别243个中的次品，所以陈5次能辨别82243中的次品。（3）找规律师：那么我们补充一个知识点： 3 33 333 3333 33333 那么表中的而规律就可以写成：保证能找出次品需要测的次数为n时，可以辨别的物的范围为到个。（

19、二）眺望远方第2题2.（选做题）12个外观一样的乒乓球，其中一个是次品，但不知道是略重还是略轻，用天平秤至少称几次就可以保证找出次品？（1）分一分把这三组乒乓球分别编号为 A组、B组、C组（4,4,4）。 （2）按步骤称一称这是一个比较难的逻辑推理题。这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻，还是重。要解出这个题目，不仅要熟练地运用各种推理形式，而且还要有一定的机灵劲呢。 用无码天平称乒乓球的重量，每称一次会有几种结果?有三种不同的结果，即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量，为了做到称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来，必须把球分成三组(各为四只球)。现在，我们为了解题的方便

20、，把这三组乒乓球分别编号为 A组、B组、C组。 首先，选任意的两组球放在天平上称。例如，我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况: 第一种情况，天平两边平衡。那么，不合格的坏球必在C组之中。 其次，从C组中任意取出两个球 (例如C1、C2)来，分别放在左右两个盘上，称第二次。这时，又可能出现两种情况: .天平两边平衡。这样，坏球必在C3、C4中。这是因为，在12个乒乓球中，只有一个是不合格的坏球。 称第三次的时候，可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3)， 同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边，就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡，那么，坏球必是C4；

21、如果天平两边不平衡，那么，坏球必是C3。 .天平两边不平衡。这样，坏球必在C1、C2中。这是因为，只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不能平衡。这是称第二次。 称第三次的时候，可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1)， 同另外一个合格的好球(例如C3)，分别放在天平的两边，就可以推出结果。道理同上。 以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。 第二种情况，第一次称过后天平两边不平衡。这说明，C组肯定都是合格的好球，而不合格的坏球必在A组或B组之中。 我们假设:A组 (有A1、A2、A3、A4四球)重，B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候，需要将重盘中的A1取出放在一旁，将A2

22、、A3取出放在轻盘中，A4仍留在重盘中。同时，再将轻盘中的B1、 B4取出放在一旁，将B2取出放在重盘中，B3仍留在轻盘中，另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后，每盘中各有三个球: 原来的重盘中，现在放的是A4、B2、C1，原来的轻盘中，现在放的是A2、A3、B3。 这时，可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况: .天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3，亦即说明，这六只是好球，这样，坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以，A1或是好球，或是重于好球；而B1、B4或是好球，或是轻于好球。 这时候，可以把B1、B4各放在天平的一端，称第三次。这时也

23、可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡，可推知A1是不合格的坏球，这是因为12只球只有一只坏球，既然B1和B4重量相同，可见这两只球是好球，而A1为坏球；(二)B1比B4轻，则B1是坏球；(三) B4比B1轻，则B4是坏球，这是因为B1和B4或是好球，或是轻于好球，所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻，更轻的必是坏 球。 .放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。在这种情况下，则坏球必在未经交换的A4或B3之中。这是因为已交换的B2、A2、A3三个球并未影响轻重，可见这三只球都是好球。 以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。这时候，只需要

24、取A4或B3同标准球C1比较就行了。例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。这时称第三次。如果天平两边平衡，那么B3是坏球； 如果天平不平，那么A4就是坏球 (这时A4重于C1)。 .放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘 子(原来放B组)轻。在这种情况下，坏球必在刚才交换过的A2、A3、B2之中。这是因为，如果A2、A3、B2都是好球，那么坏球必在A4或B3之中，如果A4或B3是坏球，那么放A4、B2、C1的盘子一定重于放A2、A3、B3的盘子，现在的情况恰好相反，所以，并不是A2、A3、B2都是好球。 以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。这时候，只

25、需将A2同A3相比，称第三次，即推出哪一个是坏球。把A2和A3各放在天平的一端称第三次，可能出现三种情况:(一)天平两边乎衡，这可推知B2是坏球；(二)A2重于A3，可推知A2是坏球；(三)A3重于A2，可推知A3是坏球。四、全课总结同学们，愉快的两节课就要结束了，谈谈你今天学习有什么收获？我们今天学习了哪些解决问题的策略，你都会用吗？后一个数是前一个数的3倍。4次最多可以辨别333381（个）5次，最多可以辨别：5个3相乘，也就是33333243（个）。此题判断的是次品偏轻的情况；次品偏重也是用同样的方法可以判断出来的。这里没有一一赘述。本讲教材答案：踏上征程：例1：3个至少称1次；4个至少称2次。例2：59个至少称2次。 发现：49个至少称2次。例3：1015至少称3次。例4：27个至少称3次。例5：发现: 在已知一个次品偏轻或偏重的情况下： 称1次最多找出3个球中的次品；称2次最多找出3个球中的次品；称3次最多找出3个球中的次品。攀登高峰1.3次2.3次 我挑战：1发现：保证能找出次品需要测的次数为n时，可以辨别的物的范围为到个。测5次要保证5次能测出次品，待测的物品可能为82243个。23次