最全面初一数学规律题解题基本题型.docx

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最全面初一数学规律题解题基本题型

初中数学规律题解题基本方法

（一）、数列中的规律

主要方法：

奇偶数的表示、特殊数字的乘方、等差数列、正负号等知识的综合应用

1.观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。

（4）-1，，-，，-4，⋯，⋯，第

3579

1

2

3

n个数是

.

12

34

（5）

，，

，，⋯，那么第

7个数是

.

251017

（6）-23

，-18，-13,

;

，；

2,

8

34

5

64

（7）

1632

，，；

（8）

有一组数：

1,2,5,10,17,26,.....

，请观察这组数的构成规律，

用你发现的规律

确定第8个数为.

（二）、计算中的规律

主要方法：

通过计算、阅读、探索、总结、归纳出基本规律，并用此规律进行运算。

19952吗？

1、你能很快算出

5

5

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为

的自然数的平方，任意一个个位数为

（10n5）2

10?

n+5,即求

n

的自然数可写成

的值（

为自然数），你试

分

析

n

1,n

2,n

3,

这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格

内填上你的控索结果）。

（1）

152

252

352

452

通过计算，控索规律：

225可写成100

1（11）

25

625可写成100

2（2

1）

25

1225可写成

100

3（3

1）

25

2025可写成

100

4（4

1）

25

⋯⋯⋯⋯

752

852

（2）

5625可写成

.

7225可写成

.

5）2

从第

（1）的结果，归纳、推测得：

（10n

.

19952

根据上面的归纳、推测，请算出：

.

2、研究下列算式，你会发现有什么规律？

422；2

32

42；

2552⋯⋯

1

3

1

4

1

9

；3

5

1

16

4

6

1

.

请将你找出的规律用公式表示出来：

1

1

2

1

3

1

1

2

1

3

1

5

1

1

2

1

5

1

7

3、观察下列各式：

，

，

，⋯，根据观

1

1

3

3

5

5

7

1

1

35

1

1

1）（2n

．（n为正整数）

察计算：

＝

1

3

5

7

（2n

1）

12；1

22；1

32；

4、观察算式：

1

3

4

35

9

1642；1

52；⋯⋯

1

3

5

7

3

5

7

9

25

用代数式表示这个规律（n为正整数）：

1

3

5

7

9

（2n

1）

．

2

3

2

3

3

8

．

3

8

4

15

4

15

a

b

a

b

2

2

2

2

5、已知：

（a，b

2

2

，3

3

，4

4

，⋯，若9

9

ab

为正整数），则

6、（2010广东中山）阅读下列材料：

1（1

3

1（3

3

1（2

3

1

2

2

3

012），

2

3

3

4

1

2

3），

3

4

4

5

234），

由以上三个等式相加，可得

1

3

3

4

5

20.

1

2

2

3

3

4

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1

（2）1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

10

n

11（写出过程）；

（n

1）=

；

（3）1

2

3

2

3

4

3

4

5

7

8

9=

．

13

1，12

1

1

1

7、因为

3

1

13

13

1

2

2）

1

1，

2

3

（1

3

2

23

23

（1

9

1

33

33

23

8

9

3）2

62

2

36

1

8

27

36

43

33

4）2

102

（1

2

3

100

1

8

27

64

100

那么13

43

993

2

1003

+2=2×3

。

2

2

2

8、观察下列各式：

1+1=1×2

3+3=3×4

9、（2011湖南常德）先找规律，再填数：

1

1

1

2

1,1

1

4

1

2

1

12

1

5

1

6

1

3

1,1

307

1

8

1

4

1

56

1

23

............

1

1

1

20112012

则

+

.

20112012

10、（2009恩施市）观察数表

1

1

1

2

1

1

1

1

3

3

4

4

1

6

1

1

1

5

10

A

20

5

1

6

6

15

1

A所表示的数是.

15

根据表中数的排列规律，则字母

11、观察下列算式：

31

1,32

9,33

27,34

81,35

243,36

729,372187,38

6561,

，

32002的个位数字是.

ABC，AB=AC=BC=．6如果跳蚤开始时在

通过观察，用你所发现的规律确定

12、电子跳蚤游戏盘是如图所示的△

BC边的P0处，

BP0=2．跳蚤第一步从

P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且

CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的

P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；⋯；

n次落点为

Pn（n为正整数），则点

P2009与点P2010之间的距离

跳蚤按照上述规则一直跳下去，第

为．

A

P1

P2

12、观察下列几个算式，找出规律：

1＋2＋1=4

1＋2＋3＋2＋1=9

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25

C

B

P3

P0

⋯⋯

利用上面规律，请你迅速算出：

①1＋2＋3＋⋯＋99＋100＋99＋⋯＋3＋2＋1=

②据①你会算出1＋2＋3＋⋯＋100是多少吗？

③据上你能推导出1＋2＋3＋⋯＋n的计算公式吗？

13、研究下列算式，你会发现什么规律？

（1）

（2）

请用含n的式子表示你发现的规律：

请你用发现的规律解决下面问题

.

1

1

1

1

1

11

计算

）的值。

（1

）（1

）（1

）（1

）

（1

1

3

2

4

3

5

4

6

9

14、（2011湖南益阳）观察下列算式：

2

①1×3-2=3-4=-1

2

③3×5-4=15-16=-1

2

②2×4-3=8-9=-1

④

⋯⋯

（1）请你按以上规律写出第

4个算式；

（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为

（2）中所写出的式子一定成立吗？

并说明理由．15、观察下列各式找规律：

2

2

2

2

2

2

2

2

1＋（

3＋（

1×2）＋2＝（

1×2＋1）

2

＋（2

×3）＋3=（2×3＋1）

2

2

2

2

3×4）+4＝（3×4＋1）

（1）写出第

6个式子的值；

（2

n个式子．

）写出第

1

4

13

12

22

16、，

1

，

1

4

13

23

22

32，

9

1

4

3

1

3

2

3

3

2

3

2

4，

36

⋯⋯

⋯

1

4

13

23

33

n3

2

2

（1）猜想填空：

（）

（

）

1

4

若13

23

33

n3

2402,试求n的值.

（2）

17、先完成下列计算：

1

×9＋2＝11；12×9＋3＝；123×9+4=；⋯⋯你能说出得

20．观察：

⋯

计算：

1

3

1

5

1

7

1

5

1（1

23

1（1

25

1（1

27

1）

5

1）

7

1）

9

21、观察：

1

7

1

9

⋯⋯⋯⋯

1

2

1

4

1

4

1

6

1

6

1

8

1

18

1

20

计算：

L

＝

。

（三）、图形中的规律

1、直线上有2010个点,我们进行如下操作：

1个点,经过3次这样的操

在每相邻两点间插入

作后,直线上共有

个点.

2、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，

m的值是.

0

2

4

6

22

8

44

6

2

4

6

m

8

B

4

A．38

．52

C．66

D

．74

4个小正方形，称为第一次操作；然

7个小正方形，称为第二次操作；

3、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到

后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到

第7题图

A.669

B.670

C.671

D.672

4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；

类似地，称图2中的1，4，9，16，⋯，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是

正方形数的是

（A）15

（B）25

（C）55

（D）1225

5、如图所示的运算程序中，若开始输入的

x值为48，我们发现第一次输出的结果为

24，

12，⋯，则第2010次输出的结果为

第二次输出的结果为

1

x

2

x为偶数

输入x

输出

x＋3

x为奇数

（第11题）

3

2006

3

1003

3

1003

（A）6

（B）3

（C）

（D）

2

2

6、用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第

n个“口”字需用棋子

？

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第1个“口”

第2个“口”

第3个“口”

第n个“口”

⋯⋯

图①

图②

图③

8、如图，平面内有公共端点的六条射线

OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向

依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，⋯.则“17”在射线

上；“2007”

在射线

上。

B

A

8

7

2

1

9

3

C

6

12

O

F

4

5

10

11

D

E

n（n

2）个圆点，每个图案中圆点总数式

S，按此推断

S

9、观察正方形图案，每条边上有

与n的关系式为

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

n=2,S=4

n=3,s=8

n=4,s=12

n个图形由

n个正方形组成，通过观察可以发现：

10、下面由火柴棒拼出的一列图形中，第

n=1

n=2

n=3

n=4

；

（2）第n个图形中火柴棒的根数是

③

（1）第4个图形中火柴棒的根数是

；

11、

①

②

●

12、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每

7条折痕，那么对折四次可

条折痕．

次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到

条折痕．如果对折n次，可以得到

以得到

13、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．

n个小房子用了

观察图形的变化规律，写出第

块石子．

14、为庆祝“六

一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：

⋯⋯

①

②

③

按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数

15、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：

第一层有2

第二层有3

3听罐头，

4听罐头，

5听罐头，

4

第三层有

第8题图

听罐头（用含

⋯⋯

第n（n为正整数）层有

n的式子表示）

根据这堆罐头排列的规律，

．

16、按如下规律摆放三角形：

则第（4）堆三角形的个数为；第（n）

堆三角形的个数为

。

（3）

（2）

（1）

是

⋯⋯

n=1

n=2

n=3

18、用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加

1的规律拼成一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片

张；

（2）第n个图案中

第3个

第1个

第2个

19、先观察图形，阅读相关文字后，再回答问题。

两条直线相交，最多有1个交点；

三条直线相交，最多有3个交点；

四条直线相交，最多有6个交点；

⋯⋯

⋯⋯

问题：

10条直线相交，最多有几个交点？

n条直线最多有几个交点。

20、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到

OA的中点

A1处，

A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到

OA2的中点A3处，如此

第二次从

不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点

O的距离为

。

21、正整数按图

8的规律排列．请写出第

20行，第21列的数字

．

第一列

1

第二列

2

第三列

5

第四列

10

第五列

17

第一行

⋯

4

3

6

18

⋯

第二行

11

9

8

7

12

19

第三行

⋯

16

15

14

20

第四行

⋯

13

25

24

23

22

21

⋯

第五行

⋯⋯

22、问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？

问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子

⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐

人。

⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：

问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起

⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？

3张呢？

n张呢？

⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则

40张桌子可拼成

8

张大桌子，共可坐

人。

8张桌子拼成

1张大桌子，则共可坐

⑶在⑵中，改成每

人。

23、下面是2000年八月份的日历：

⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？

⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？

你能用代数式表示这个关系吗？

⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？

为什么？

⑸你还能提出那些问题？

24、十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（

V）、面数（F）、棱数（E）之

间存在的一个有趣的关系式，

被称为欧拉公式。

请你观察下列几种简单多面体模型，

解

答下列问题：

四面体

长方体

正八面体

正十二面体

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

V）

F）

棱数（E）

多面体

顶点数（

面数（

4

7

四面体

8

6

12

长方体

8

12

正八面体

20

12

30

正十二面体

V）、面数（

F）、棱数（

E）之间存在的关系式是

你发现顶点数（

。

（2）一个多面体的面数比顶点数大

8，且有30条棱，则这个多面体的面数是

。

（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接

x个，八

而成，且有24个顶点，每个顶点处都有

3条棱，设该多面体外表三角形的个数为

边形的个数为y个，求x

y的值。

1的矩形，接着把面积为

2

1的矩

2

25、如图，把一个面积为

1的正方形分等分成两个面积为

1的矩形，如此

8

形等分成两个面积为1的正方形，再把面积为

4

进行下去，试利用图形提示的规律计算：

1的矩形等分成两个面积为

4

1

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64

1

128

1

256

4

1

1

16

1

32

1

2

2

1

8

26、如果依次用

a1,a2,a3,a4

分别表示图

（1）、

（2）、（3）、（4）中三角形的个数，那么

a1

3,a2

8,a3

15,a4

；

a9与a8之间是：

如果按照，上述规律继续画图，那么

a9

a8

，又an

.

（四）、新定义中的规律

2

S2009

2

S1

2

S2

1、已知a≠0，S

2a，S

S

，S

，⋯，

，

1

2

3

2010

则S2010

（用含

a的代数式表示

）．

3

1

2

2

5

1

4

2

3

3

6

1

5

2

4

3

3

4

2

3

3

5

4

6

3

2、已知：

C

，C

10

，C

15，⋯，

6

C10

观察上面的计算过程，寻找规律并计算

．

3、符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1）f

（2）

（1）=0，f

（2）

=1，f（3）=2，f（4）=3，⋯⋯

f

2,f

3,f

4,f

5⋯⋯

1

1

1

1

（）

2

（）

3

（）

4

（）

5

f

f（2010）

利用以上规律计算：

1

2010

（

）

4、阅读材料，寻找共同存在的规律：

有一个运算程序

a⊕b=n

，

可以使：

（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，

如果1⊕1=2，那么2010⊕2010=

5、阅读下列一段话，并解决后面的问题

．

观察下面一列数：

1，2，4，8，,我们发现，这一列数从第

一项的比都等于2．

2项起，每一项与它前

一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一

列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．

等比数列5，-15，45，,的第4项是．

（1）

a1,a2,a3,a4,

（2）

如果一列数

q，那么根据上述的规定，有

是等比数列，且公比为

a3a2

3

a1q

a2

a1

a4

a3

2

q

q

a2

a1q

q

，

，

，所以

a3

a2q

a1q

，

，

a4

a3q

an

，

．

（3）

2项是

10，第3项是20，求它的第

1项与第4项．

一个等比数列的第

6、读一读：

式子“

1+2+3+4+⋯+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式

100

子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+?

⋯+100”表示为

n，

n1

”是求和符号．例如：

1+3+5+7+9+⋯+99，即从

1开始的

100以内的连续奇数的

这里“

50

10

3

333333333

3

（2n

1）；又如

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10可表示为

n

和，可表示为

.

通过对上以

n1

n1

材料的阅读，请解答下列问题．

（1）2+4+6+8+10+⋯+100（即从

；

2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为

5

（n2

（2）计算

1）=．（填写最后的计算结果）

n1