中考数学考试知识点分析三角函数.docx

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中考数学考试知识点分析三角函数

中考数学考试知识点分析：

三角函数

　　锐角三角函数定义

锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c

余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c

正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b

余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a

正割（sec）等于斜边比邻边；secA=c/b

余割（csc）等于斜边比对边。

cscA=c/a

互余角的三角函数间的关系

sin（90-）=cos，cos（90-）=sin，

tan（90-）=cot，cot（90-）=tan。

平方关系：

sin^2（）+cos^2（）=1

tan^2（）+1=sec^2（）

cot^2（）+1=csc^2（）

积的关系：

sin=tancos

cos=cotsin

tan=sinsec

cot=coscsc

sec=tancsc

csc=seccot

倒数关系：

tancot=1

sincsc=1

cossec=1

锐角三角函数公式

两角和与差的三角函数：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB?

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）

tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

三角和的三角函数：

sin（++）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin

cos（++）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

tan（++）=（tan+tan+tan-tantantan）/（1-tantan-tantan-tantan）

辅助角公式：

Asin+Bcos=（A^2+B^2）^（1/2）sin（+t），其中

sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

tant=B/A

Asin+Bcos=（A^2+B^2）^（1/2）cos（-t），tant=A/B

倍角公式：

sin

（2）=2sincos=2/（tan+cot）

cos

（2）=cos^2（）-sin^2（）=2cos^2（）-1=1-2sin^2（）

tan

（2）=2tan/[1-tan^2（）]

三倍角公式：

sin（3）=3sin-4sin^3（）

cos（3）=4cos^3（）-3cos

半角公式：

sin（/2）=（（1-cos）/2）

cos（/2）=（（1+cos）/2）

tan（/2）=（（1-cos）/（1+cos））=sin/（1+cos）=（1-cos）/sin

降幂公式

sin^2（）=（1-cos

（2））/2=versin

（2）/2

cos^2（）=（1+cos

（2））/2=covers

（2）/2

tan^2（）=（1-cos

（2））/（1+cos

（2））

万能公式：

sin=2tan（/2）/[1+tan^2（/2）]

cos=[1-tan^2（/2）]/[1+tan^2（/2）]

tan=2tan（/2）/[1-tan^2（/2）]

积化和差公式：

sincos=（1/2）[sin（+）+sin（-）]

cossin=（1/2）[sin（+）-sin（-）]

coscos=（1/2）[cos（+）+cos（-）]

sinsin=-（1/2）[cos（+）-cos（-）]

和差化积公式：

sin+sin=2sin[（+）/2]cos[（-）/2]

sin-sin=2cos[（+）/2]sin[（-）/2]

cos+cos=2cos[（+）/2]cos[（-）/2]

cos-cos=-2sin[（+）/2]sin[（-）/2]

推导公式：

tan+cot=2/sin2

tan-cot=-2cot2

1+cos2=2cos^2

1-cos2=2sin^2

1+sin=（sin/2+cos/2）^2

其他：

sin+sin（+2/n）+sin（+2*2/n）+sin（+2*3/n）++sin[+2*（n-1）/n]=0

cos+cos（+2/n）+cos（+2*2/n）+cos（+2*3/n）++cos[+2*（n-1）/n]=0以及

sin^2（）+sin^2（-2/3）+sin^2（+2/3）=3/2

tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

函数名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

正弦函数sin=y/r

余弦函数cos=x/r

正切函数tan=y/x

余切函数cot=x/y

正割函数sec=r/x

余割函数csc=r/y

正弦（sin）：

角的对边比上斜边

余弦（cos）：

角的邻边比上斜边

正切（tan）：

角的对边比上邻边

余切（cot）：

角的邻边比上对边

正割（sec）：

角的斜边比上邻边

余割（csc）：

角的斜边比上对边

三角函数万能公式

万能公式

（1）（sin）^2+（cos）^2=1

（2）1+（tan）^2=（sec）^2

（3）1+（cot）^2=（csc）^2

证明下面两式，只需将一式，左右同除（sin）^2,第二个除（cos）^2即可

（4）对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：

A+B=-C

tan（A+B）=tan（-C）

（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tan-tanC）/（1+tantanC）

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证，当x+y+z=n（nZ）时，该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

万能公式为：

设tan（A/2）=t

sinA=2t/（1+t^2）（A+，kZ）

tanA=2t/（1-t^2）（A+，kZ）

cosA=（1-t^2）/（1+t^2）（A+，且A+（/2）kZ）

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan（A/2）来表示，当要求一串函数式最值的时候，就可以用万能公式，推导成只含有一个变量的函数，最值就很好求了。

三角函数关系

倒数关系

tancot=1

sincsc=1

cossec=1

商的关系

sin/cos=tan=sec/csc

cos/sin=cot=csc/sec

平方关系

sin^2（）+cos^2（）=1

1+tan^2（）=sec^2（）

1+cot^2（）=csc^2（）

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数；

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。

）。

由此，可得商数关系式。

平方关系

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

sin（+）=sincos+cossin

sin（-）=sincos-cossin

cos（+）=coscos-sinsin

cos（-）=coscos+sinsin

tan（+）=（tan+tan）/（1-tantan）

tan（-）=（tan-tan）/（1+tantan）

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2=2sincos

cos2=cos^2（）-sin^2（）=2cos^2（）-1=1-2sin^2（）

tan2=2tan/（1-tan^2（））

tan（1/2*）=（sin）/（1+cos）=（1-cos）/sin

半角的正弦、余弦和正切公式

sin^2（/2）=（1-cos）/2

cos^2（/2）=（1+cos）/2

tan^2（/2）=（1-cos）/（1+cos）

tan（/2）=（1cos）/sin=sin/1+cos

万能公式

sin=2tan（/2）/（1+tan^2（/2））

cos=（1-tan^2（/2））/（1+tan^2（/2））

tan=（2tan（/2））/（1-tan^2（/2））

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3=3sin-4sin^3（）

cos3=4cos^3（）-3cos

tan3=（3tan-tan^3（））/（1-3tan^2（））

诱导公式

诱导公式的本质

所谓三角函数诱导公式，就是将角n（/2）的三角函数转化为角的三角函数。

常用的诱导公式

公式一：

设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2k）=sinkz

cos（2k）=coskz

tan（2k）=tankz

cot（2k）=cotkz

公式二：

设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？

”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

sin（）=-sin

cos（）=-cos

tan（）=tan

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

cot（）=cot

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。