复变函数与积分变换试题和答案.docx
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复变函数与积分变换试题和答案
一、填空（3分×10）
1．ln（-1-3i）的模.幅角。
2．-8i的三个单根分别为：
..。
3．Lnz在的区域内连续。
4．f（z）=z的解极域为：
。
5．f（z）=x2-y2+2xyi的导数f（z）=。
7．指数函数的映照特点是：
。
8．幂函数的映照特点是：
。
9．若F（）=F[f（t）].则f（t）=F-1f[（）]。
10．若f（t）满足拉氏积分存在条件.则L[f（t）]=
二、（10分）
已知v（x,y）=
-1x2+1y2.求函数u（x,y）使函数f（z）=u（x,y）+iv（x,y）为
解析函数.且f（0）=0。
、（10分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|=2z6（z-1）（z-3）
四、计算积分（5分×2）
dz|z|=2z（z-1）
2．c（zco-siz）3C：
绕点i一周正向任意简单闭曲线。
1．0|z-i|1
2．1|z-i|+
六、证明以下命题：
（5分×2）
（1）（t-t）与e-iwto构成一对傅氏变换对。
+
（2）+e-itdt=2pd（w）
-
ìx¢+y+z¢=1
七、（10分）应用拉氏变换求方程组x+y+z=0满足x（0）=y（0）=z（0）=0的解
y+4z¢=0
y（t）。
八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
一、1．
3.
8.
二、解：
2
4-
ln22+2.arctg3+2k
9ln2
Z不取原点和负实轴
角形域映为角形域
vu
=-x=-
xy
2.
2i3-i
、解：
四、
4.空集5.2z6．
1+
9.1+F（）eid2-
v
=y=
y
f（z）=i-x+y+xy+c
7.将常形域映为角形域
10.0+f（t）e-stdt
∵f（0）=0
c=0
∴f（z）=xy-（x-y）=-（x
2
原式=（2分）2iResk=1
4
2分）=-2iResk=3
Res
Res
3
z6（z-1）（z-3）
¥
z6（z-1）（z-3）
u
∴u=xy+cx
3分）
-y+2xyi）=
z6（z-1）（z-3）k
z6（z-1）（z-3）k
（2分）3612
=（2分）Res
5分）
-2iz2
2分）
z3
z1=0z2
=3
z4
=1
=¥
1
∴原式=（2分）2i362=-36i
2
1．解：
原式=2iResk=1
1
z（z-1）,zk
16（1-1）（1-3）z2,0
z6zz
3分）z1=0z2=1
=0
2．解：
原式=cosz
2!
z=i
=pi（-cosz）
=-icosi=-ich1
五、1．解：
f（z）（1分）
（z-i）z-i+i
1分）（z1-i）
11
i1+z-i
i
n=0
1分）z1-i×1i
n-1
n
=i（z-i）n-1=i（z-i）n
2分）
n=0
n=-1
2．
解：
f（z）
1分）=（z1-i）
i+（z-i）
1分）
1
1+
1分）
1（z-i）2n=0
11
=1n（z-1i）n+2
n=0in
-
in（z-i）n-2（2分）n=0
六、1．
+
+（t-t）e-itdt=e
-0
-it
t=t=e-it0
3分）∴结论成立
1+
2）解：
∵1+2pd（w）e-itdw=e-it
2p-
+
+e-itdt=2（）-
（2分）
sX（s）+Y（s）+sZ（s）=1
S
（1）
X（s）+sY（s）+Z（s）=0
（2）（3分）
Y（s）+4sZ（s）=0
（3）
∴2（w）与1构成傅氏对
七、解：
∵
S
（2）-
（1）：
∴Y（s）=s21-1
s2-1=s-2ès-1+s+1
3分）
∴Y（t）=1-12et-12e-t=1-cht
一、填空（3分×10）
7．若z0为f（z）的m级极点.则Res[f（z）,z]=（）。
8．若F（）=Ff（t）（）。
9．2（t-t）与（）构成一个付立叶变换对。
10．已知L[sint]=1.则L[sint]=（）。
s2+1t
二、计算题（7分×7）
1．求p.m.n的值使得函数f（z）=my3+nx2y+i（x3+pxy2）为解析函数。
2．计
算|z|=3
3．已知调和函数u=2（x-1）y.求解析函数f（z）=u+iv使得f
（2）=i。
4．把函数1在1|z|2内展开成罗朗级数。
（z2+1）（z-2）1|z|2
z-1
5．指出函数f（z）=z-1在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留z2-2z
数。
6．计算|z|=2zz2e-1dz
、积分变换（7分×3）
1．设f（t）=sintcost（为常数）.求F[f（t）]。
2．设f（t）以2为周期.且在一个周期内的表达式为
f（t）=
cost0t2
cost0t2求L[f（t）]。
0t2
3．求方程y+2y-3y=e-t满足条件y（0）=0,y（0）=1的解。
L[e-t]=s1+1）。
一、1．
充要条件
2.2
-5i
3.4e6
4.i
5.
2i
6.原式=
2i
0
z0在C内
z0不在C内
7．
1dm-1
lim（m-1）!
z→z0dzm-1
（z-z0）f（z）
1+
8.1+F（w）ejtdw
2pi-
9.
2e-jt0
10.
1ds=-arcctgsss2+12
¶u¶v
解：
=2nxy=2nypÞn=-P
¶x¶y
u
y
=3my2+nx2
v
x
=-3x2-py2n=-3
3m=p
∴p=-3,m=1,n=-3
1分）
2．原式=（25分）|z|=3z1-1+|
dz
|z|=3z+2
（4分）=2pi+6pi（1分）=8pi
3．原式==2y=v=y2+g（x）
xy
2分）
uv
u=2（x-1）=-v=-g（x）
xx
g（x）=-x2+2x+c
2分）
∴f（z）=2（x-1）y+i（y2-x2+1）
f
（2）=ii=2yy=0+iyy=0
2分）
1分）
2分）
∴f（z）=2（x-1）y+i（y2-x2+2x+1）
2分）
111
z－22z
1－
2
=2ich1
1分）
7．解：
原式=（2分）
|
-2i
1×dz=（1分）-2idz
|z|=1z2+1iz|z|=1z2+4z+1
2+
2z
-2i
2分）
2piRes
2-2i,-2+
z2+4z+1
1分）
-2i2
2i-2+3+2+3=3
三、1．解：
++1
F[f（t）]=+f（t）e-jtdt=+1sin2te-jtdt
--20
3分）
=i[[（+2w）-（-2）]
4分）
2.解：
L[f（t）]=（2分）12f（t）e-stdt
-s20
1s
1分）=1-e1-2s1+ss2
1分）
3．解：
F（y+2y-3y）=F[e-t]
2分）
s2Y（s）-sY（s）-Y（0）+2（sY（s）-Y（0））-3Y（s）=1
s+1
1+1Y（s）=s+1
s+2
2分）
s2+2s-3（s+1）（s+3）（s-1）13
Y（t）=Res[Y（s）est],zk=-1,1,-3]=-1e-t+3et-e
48
-3t
z（1-z）
zsinz
复变函数与积分变换试题（三）
1.（5）复数z与点（x,y）对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。
2.（6）请指出指数函数w=ez、对数函数w=lnz、正切函数w=tanz的解析域.并说明它们的解析域是哪类点集。
3.（9）讨论函数f（z）=x2+iy2的可导性.并求出函数f（z）在可导点的导数。
另外.函数f（z）在可导点解析吗？
是或否请说明理由。
4.（7）已知解析函数f（z）=u+iv的实部u=y3-3x2y.求函数f（z）=u+iv的表达式.并使f（0）=0。
5.（6×2）计算积分：
dz
其中C为以z为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数；
|z|=3（z-1）2（z+2）dz
6.（5×2）分别在圆环
（1）0|z|1.
（2）0|z-1|1内将函数f（z）=展为罗朗级数。
7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。
1
（1）f（z）=z-s3inz;
（2）f（z）=21;（3）f（z）=zez-1.
8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。
9.（6分）求将上半平面Im（z）0保形映照成单位圆|w|1的分式线性函数。
10.（5×2）
（1）己知F[f（t）]=F（）.求函数f（2t-5）的傅里叶变换；
（2）求函数F（）=2的傅里叶逆变换
（3+i）（5+i）
11.（5×2）
（1）求函数f（t）=e2tu（t-2）的拉普拉斯变换；
（2）求拉普拉斯逆变换L-1[s]。
s2+4s+5
12.（6分）解微积分方程：
y'（t）+y（）d=1,y（0）=0。
复变函数与积分变换试题答案（三）
1.（5分）请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。
z=x+iy=rei=r（cos+isin）
+2k
i
z=re3
z：
r,Argz
2.（6分）请指出指数函数w=ez、对数函数w=lnz、正切函数w=tanz的解析域.并说明它们的解析域是哪类点集。
指数函数w=ez、对数函数w=lnz、正切函数w=tanz的解析域
分别为：
整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴.无界开区域.；
除去点z=k+.无界开区域。
2
3.（9分）讨论函数f（z）=x2+iy2的可导性.并求出函数f（z）在可导点的
导数。
另外.函数f（z）在可导点解析吗？
是或否请说明理由。
所以x=y时函数可导.且f（z）=2x。
因为函数在可到点的任一邻域均不可导.所以可导点处不解析。
4.（6分）已知解析函数f（z）=u+iv的实部u=y3-3x2y.求函数
f（z）=u+iv的表达式.并使f（0）=0。
Qu=y3-3x2y
uvu22v
=-6xy=,=3y2-3x2=-,
xyyx
v=x3-3xy2+c
解：
f（z）=y3-3x2y+i（x3-3xy2）+icQf（0）=0
c=0
f（z）=y3-3x2y+i（x3-3xy2）
5.
（6×2）计算积分：
其中C为以z为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数；
解
（1）设C的方程为z=z+rei（02π）,则
ez
|z-1|=12（zz-+12）2dz+|z+2|=12（zz-+12）dz
f（z）=z（1-1z）2展为罗朗级数。
解：
（1）（1-1z）2=（1-1z）'=（n=0zn）'
=nzn
n=0
（|z|1）,
11
f（z）=2z（1-z）2
n-1=nzn-1
n=1
（|z|1）.
11
（2）1z=1+1z-1=n=0（-1）n（z-1）n
（|z-1|1）,
f（z）=z（1-1z）2=
（z-11）2n=0（-1）n（z-1）n
=（-1）n（z-1）n-2（|z-1|1）.
n=0
7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。
1
（1）f（z）=z-s3inz;
（2）f（z）=21;（3）f（z）=zez-1.
z3z2sinz
解：
（1）z=0为f（z）的可去奇点,
Res[f（z）,0]=0;
（2）z=0为f（z）的三阶极点,z=kπ（k=1,2,）为f（z）的一
阶极点,
111
Res[f（z）,0]=2!
lzi→m0（z3z2s1inz）''=16,
3）z=1为f（z）的本性奇点,
1
zez-1=（z-1+1）1
n=0n!
（z-1）n
Res[f（z）,1]=c-1
3
。
2
8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。
分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点.指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点.幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。
9.（6分）求将上半平面Im（z）0保形映照成单位圆|w|1的分式线性函数。
z-z解：
w=eiz-z0（Im（z）0）
z-z00
10.
（5×2）
（1）己知F[f（t）]=F（）.求函数f（2t-5）的傅里叶变换；
b
1i
1）F[f（at+b）]=1eiaF（）,
|a|a
f（t）=F-1[3+1i]-F-1[5+1i]
e-3t-e-5t,t0,
0,t0;
iti0t
=e|=0=e
11.（5×2）
（1）求函数f（t）=e2tu（t-2）的拉普拉斯变换；
2）求拉普拉斯逆变换L-1[s]。
s2+4s+5
解
（1）F（s）=e4L[e2（t-2）u（t-2）]=e4e-2sL[e2tu（t）]
e2（2-s）
=s-2;
2）L-1[s2+4ss+5]=L-1[（ss++22）-2+21]=e-2tL-[ss2-+21]
=e-2tL-1[s2s+1]-2L-1[s21+1]
=e-2t（cost-2sint）。
12.（6分）解微积分方程：
y'（t）+y（）d=1,y（0）=0。
解：
sY（s）+1Y（s）=1,Y（s）=1,y（t）=sint。
sss2+1
达式
z-z0
1-z0z
复变函数与积分变换试题及答案（四）
一、填空题：
（每题3分共21分）
1．1（2+i2）的三角表
cos（+2k）+isin（+2k）（k=0,1,2,L）。
-（2k+）
2．ii=e2（k=0,1,2,L）。
3．设|z0|1,|z|=1,则
1。
+
4．幂级数n!
zn的和函数的解析域n=0
集。
5．分式线性函数、指数函数的映照特点分别是：
保角性、保圆性、
保对称性、
保伸缩性
将带形域映照为角形
1bss6．若L[f（t）]=F（s）.则L[f（at+b）]=1easF（s）。
aa
二、简答题：
（每题6分共18分）
1．叙述函数f（z）在区域D内解析的几种等价定义。
答
（1）区域D内可导.则称f（z）在区域D内（2分）
（2）若f（z）的实部、虚部均为D内的可微函数.且柯西—黎曼方程成立.则称f（z）为在D内的解析函数。
（2分）
（3）若f（z）的虚部为实部的共轭调和函数.则称f（z）在区域D内解析。
（2分）
2．若z分别为f（z）及g（z）的m阶及n阶零点.则g（z）在z具有什么性质。
0f（z）0
答若nm.则z0为gf（（zz））的n-m阶零点；
（2分）
（2分）
若nm
则z0为gf（（zz））的m-n阶极点；
3．叙述将上半平面Im（z）0保形映照为单位圆盘|w|1且将z（Im（z）0）
映照为w=0的分式线性函数w=eiz-z0产生的关键步骤。
z-z0
=ei
（3分）
z=x时
（2分）
（1分）
三、计算题：
（每题7分共49分）
1．求f（z）=zRe（z）的解析点；
f（z）=（x+iy）x=x2+ixy
u=x2,v=xy,
（5分）
f（z）
3．
求积分I=|z|dz,C为沿单位圆（|z|=1）的左半圆从-i到i的曲线。
C
Qz=ei（2分）
6、求函数（t-2）f（-2t）的傅里叶变换.
解Q（t-2）f（-2t）=-1[-2tf（-2t）]-2f（-2t）]（2分）
F[（t-2）f（-2t）]=-F[tf（t）]|-2F[f（-2t）]（2分）
22=-
=1F[（-it）f（t）]|-21F（）|（2分）
4i=-2=-
=1F（-）-F（-）（1分）
4i22
7．求函数s4+52s2+4的拉普拉斯逆变换。
L-1[s4+52s2+4]=23sint-13sin2t（3分）
四、证明及解方程（每题6分共12分）
+
+eitdt=2（）。
-
+
+（t）e-itdt=1（2分）
-
1+
1+1eitd=（t）（2分）
2-
+
+eitdt=2（）（2分）
-
2．解方程：
y'（t）+y（）d=1,y（0）=0。
0
解QsY（s）+1Y（s）=1（3分）
ss
Y（s）=1（1分）
s2+1
y（t）=sint（2分）
复变函数与积分变换试题及答案（五）一、填空题（每题4分.共20分）
1k
1、41+i=82e（116+k2）i
2、|zÑ|=1e（2zz-si2n）5zdz=0
5
3、幂级数n+5zn的收敛半径2
n=12
5、设f（t）=10,,||tt||11;,.则付氏变换[f（t）]=-2sin
二、单项选择题（每题4分.共20分）
1、z=1是函数f（z）=cos的
z-1
A．极点.B.本性奇点.C.可去奇点.D.一级零点
【B】
z15
2、函数f（z）=z在复平面上的所有有限奇点处留数的和：
解答下列各题（1-2每小题6分.3-6每小题7分.共40分）
1、
设a,b是实数.函数f（z）=xy+（ax2+by2）i在复平面解析.求a,b。
解：
uv
Q=y==2by,
xy
uv
=x==-2ax,
yx
11
a=-,b=.
22
z+1
2、映射w=z+1把圆周C:
|z|=1变成什么曲线？
写出曲线的方程。
z
答：
变成圆
Qw=z+1z1
\z=
w-1又|z|=1曲线方程：
|w－1|＝1.
sinz
dz.其中C:
|z|=2。
z2+1
解：
原式=2i[Res（sinz
z2+1
i）+Res（
sinz
z2+1,
=2i[s2inii+si（n-（i-）i）]
=2sini.
4、求积分Ñ（z+i）110（z-2）dz.其中C:
|z|=32。
解：
原式＝Ñ（zz+-i2）10dz
2i
9!
1）（9）z-2）
z=-i
2i
（2+i）10.
5、求函数f（t）=e-|t|+（t）的Fourier变换。
解：
F[f（t）]=0ete-itdt++e-te-itdt++（t）e-itdt
3+
1+2
6、求函数f（t）=tsin2t的Laplace变换。
解：
L[f（t）]=-L[-tsin2t]=-{L[sin2t]}
=-（
2
s2+4
）¢
4s
（s2+4）2
四、解答下列各题（1、3每小题7分.2小题6分.共20分）
1在圆环域1|z+1|+展开成Laurent级数。
z（z+1）
解：
f（z）=
1
z（z+1）
11
（z+1）-1+z+1
11
（z+1）21-1
（z+1）
+
=（z+1）-n-2.
n=0
4、求一个
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