第四章第2节向心力与向心加速度.docx
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第四章第2节向心力与向心加速度
第2节
向心力与向心加速度
1．向心力是效果力，方向时刻指向圆心，改变线速度的方向而不改变线速度的大小，可以由某一个力或某一个力的分力或几个力的合力充当。
2．向心力的大小与物体的质量成正比，与半径成反比，与线速度的二次方成正比，即F＝m。
3．向心加速度描述圆周运动线速度方向改变的快慢，向心加速度的方向与向心力的方向一致，大小为a＝＝rω2＝。
4．匀速圆周运动向心力和向心加速度的大小恒定，方向时刻在改变，因此匀速圆周运动是变加速运动。
一、向心力及其方向
1．向心力
做圆周运动的物体一定要受到一个始终指向圆心等效力的作用，这个力叫做向心力。
2．方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直。
3．作用效果
向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功。
4．来源
向心力是根据力的作用效果命名的。
它可能是重力、弹力、摩擦力或是它们的合力，也可以是某个力的分力。
二、向心力大小的探究
1．实验目的
探究影响向心力大小的因素。
2．实验方法
控制变量法。
3．探究过程
（1）m、r相同，改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大。
（2）m、ω相同，改变半径r，则r越大，向心力F就越大。
（3）ω、r相同，改变质量m，则m越大，向心力F就越大。
4．结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。
5．公式
F＝mrω2或F＝m。
三、向心加速度
1．定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由向心力产生的加速度。
这个加速度叫做向心加速度。
2．物理意义
描述线速度方向改变的快慢。
3．大小
a＝ω2r＝。
4．方向
总是指向圆心。
所以，不论a的大小是否变化，它都是一个变化的量。
1．自主思考——判一判
（1）做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力。
（×）
（2）向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力。
（×）
（3）向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力。
（√）
（4）匀速圆周运动是加速度不变的运动。
（×）
（5）向心加速度描述线速度大小变化的快慢。
（×）
（6）匀速圆周运动的物体所受合外力一定指向圆心。
（√）
2．合作探究——议一议
（1）做圆周运动的物体所受到的合外力一定沿半径指向圆心吗？
提示：
物体做匀速圆周运动时，合外力提供向心力，沿半径指向圆心；做非匀速圆周运动的物体，合外力不只提供向心力，则合外力不沿半径指向圆心。
（2）根据公式F＝m和F＝mω2r，物体做匀速圆周运动时，当半径比较大的时候，向心力比较大还是比较小？
提示：
依据以上公式分析向心力大小必须采用控制变量的方法，公式F＝m中，若v一定时，r越大，F越小；公式F＝mω2r中，ω一定时，r越大，F越大。
（3）由向心加速度公式a＝可知，a与运动半径r成反比；由公式a＝ω2r可知，a与运动半径r成正比，这两种说法是否矛盾？
提示：
不矛盾。
当线速度v一定时，a与运动半径r成反比；当角速度ω一定时，a与运动半径r成正比。
向心力的理解及来源的分析
向心力的来源
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。
几种常见的实例如下：
实 例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
若线的拉力为零，球的重力提供向心力，F＝G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F＝F合
[特别提醒] 向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力。
[典例] 如图4 2 1所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点不动，下列关于人的受力的说法中正确的是（ ）
图4 2 1
A．人在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变
[思路点拨] 本题可按以下思路进行分析：
（1）对人进行受力分析；
（2）分析向心力由什么力提供；
（3）根据公式，明确向心力与转速的关系。
[解析] 由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m（2πn）2r可知，所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误。
[答案] C
圆周运动向心力分析的“三点注意”
（1）向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力。
（2）物体做匀速圆周运动时，合外力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向。
（3）物体做变速圆周运动时，合外力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小。
1．关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
解析：
选B 力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，故A项错误；向心力只改变物体速度的方向，不改变速度的大小，故B项正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C项错误；只有匀速圆周运动中合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，故D项错误。
2.如图4 2 2所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一定角度后释放，让小球以O点为圆心做圆周运动，则运动中小球所需的向心力是（ ）
图4 2 2
A．绳的拉力
B．重力和绳子拉力的合力
C．重力和绳子拉力的合力沿绳方向的分力
D．重力沿绳方向分力
解析：
选C 如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力。
因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故C正确，A、B、D错误。
向心力的计算
1．作用效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小，只改变线速度的方向。
2．大小
F＝ma＝m＝mω2r＝mωv。
3．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
[特别提醒] 公式F＝mω2r＝m既适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
[典例] 如图4 2 3所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，离轴心r＝20cm处放置一小物块A，其质量为m＝2kg，A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5）。
试求：
图4 2 3
（1）当圆盘转动的角速度ω1＝2rad/s时，物块A与圆盘间的静摩擦力为多大？
方向如何？
（2）欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？
（取g＝10m/s2）
[思路点拨] 解此题注意两点：
（1）物块随圆盘一起绕轴转动所需的向心力由静摩擦力提供。
（2）当静摩擦力达到最大静摩擦力时，圆盘转动的角速度最大。
[解析]
（1）根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f＝F向＝mω12r＝1.6N，方向沿半径指向圆心。
（2）欲使物块与圆盘间不发生相对滑动，物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力，所以有
mω2r≤kmg
解得ω≤＝5rad/s
即圆盘转动的最大角速度为5rad/s。
[答案]
（1）1.6N，方向沿半径指向圆心
（2）5rad/s
计算向心力的基本思路
（1）明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来。
（2）找出物体做圆周运动的轨道平面，找出圆心和半径。
（3）分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力提供向心力作用，千万不能臆想出一个向心力来。
（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为x轴的正向），将力正交分解到坐标轴方向上。
（5）在x轴方向，选用向心力公式F＝mrω2＝m＝m2r＝m（2πf）2r列方程求解，必要时再在y轴方向按F合y＝0求解。
1．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图4 2 4所示。
当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。
为达到上述目的，下列说法正确的是（ ）
图4 2 4
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：
选B 旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。
2.如图4 2 5所示，旋转木马被水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动。
若相对两个木马间的杆长为6m，木马的质量为30kg，骑木马的儿童质量为40kg，当木马旋转的速度为6m/s时，试问：
图4 2 5
（1）此时木马和儿童的向心力由哪个物体提供？
（2）此时儿童受到的向心力是多大？
解析：
（1）木马受骑在木马上的儿童和钢杆对它的作用力做匀速圆周运动。
木马受到的向心力由钢杆提供；儿童受到木马对他的作用力和重力作用，向心力由木马提供。
（2）儿童所受向心力由木马提供且指向圆心，由
F＝m得
F＝40×N＝480N。
答案：
（1）钢杆 木马
（2）480N
向心加速度的理解及应用
1．对向心加速度的理解
（1）向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与线速度方向垂直，故向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢。
（2）向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算。
要注意的是，变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某一时刻的向心加速度，此时必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。
（3）向心加速度公式中的物理量v和r，严格地说，v是相对于圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径。
2．向心加速度的大小
a＝＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv。
3．向心加速度的方向
总是沿半径指向圆心，即方向总是与圆周运动速度的方向垂直，向心加速度的方向时刻改变。
因此，圆周运动一定是变加速运动。
[典例] （多选）关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
[思路点拨] 解答本题应把握以下两点：
（1）向心加速度的方向指向做圆周运动的圆心而不是地心。
（2）北京比广州做圆周运动的半径小，但二者角速度相等。
[解析] 如图所示。
地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cosφ。
由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误。
[答案] BD
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。
在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
1.图4 2 6为甲、乙两球做圆周运动时向心加速度的大小随半径变化的图像，其中甲的图线为双曲线，由图像可知，甲球运动时，线速度大小________，角速度________；乙球运动时，线速度的大小________，角速度________。
（填“变化”或“不变”）
图4 2 6
解析：
由题图可知，甲的向心加速度与半径成反比，根据公式a＝可知，甲的线速度大小不变；由题图可知，乙的加速度与半径成正比，根据公式a＝ω2r可知，乙的角速度不变。
再由v＝ωr分别得出甲的角速度、乙的线速度的变化情况。
答案：
不变 变化 变化 不变
2．“神舟”五号飞船（图4 2 7）发射升空后，进入椭圆轨道，然后实施变轨进入距地球表面约343km的圆形轨道。
已知飞船的质量为8000kg，飞船约90min绕地球一圈，地球半径取6.37×103km，试求飞船在变轨成功后的向心加速度及其所受的向心力。
图4 2 7
解析：
由已知数据可算出飞船的角速度
ω＝＝rad/s＝1.16×10－3rad/s
飞船的向心加速度
a＝ω2r＝（1.16×10－3）2×（6370＋343）×103m/s2
＝9.03m/s2
飞船所受的向心力
F＝mω2r＝8000×（1.16×10－3）2×（6370＋343）×103N＝7.23×104N。
答案：
9.03m/s2 7.23×104N
1．对做圆周运动的物体所受的向心力，说法正确的是（ ）
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析：
选B 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B对；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错。
2．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（ ）
A．向心加速度表示速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
解析：
选C 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C正确；向心加速度的方向是变化的，所以D错误。
3.如图1所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是（ ）
图1
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：
选B 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。
但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。
选项B正确。
4．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是（ ）
解析：
选C 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心。
由此可知C正确。
5．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。
则两球的向心加速度之比为（ ）
A．1∶1 B.2∶1
C．4∶1D．8∶1
解析：
选D 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA：
aB＝ωA2RA∶ωB2RB＝8∶1，D正确。
6．（多选）一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为a，则（ ）
A．小球相对于圆心的位移不变
B．小球的线速度大小为
C．小球在时间t内通过的路程s＝
D．小球做圆周运动的周期T＝2π
解析：
选BD 小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变，A错；由a＝得v＝，B对；在时间t内通过的路程s＝vt＝t，C错；做圆周运动的周期T＝＝＝2π，D对。
7．（多选）关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是（ ）
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时，a与r成反比
D．由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
解析：
选CD 只有当线速度一定时，a与r成反比；只有当角速度一定时，a与r成正比，选项A、B错误，C正确。
公式ω＝2πn中，2π为常数，所以角速度ω与转速n成正比，选项D正确。
8.如图2所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为（ ）
图2
A．rA∶rBB．rB∶rA
C．rA2∶rB2D．rB2∶rA2
解析：
选A 木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2，FB＝mrBω2，解得FA∶FB＝rA∶rB。
9.（多选）如图3所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（ ）
图3
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
解析：
选AC 由a＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝rω2知，角速度不变时，加速度与半径成正比，故C正确，D错误。
10.（多选）一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子。
如图4所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则（ ）
图4
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
解析：
选AC 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。
11．一位链球运动员在水平面内旋转质量为4kg的链球，链球每1s转一圈，转动半径为1.5m，求：
图5
（1）链球的线速度大小。
（2）链球做圆周运动需要的向心力大小。
解析：
（1）链球的角速度ω＝，故线速度v＝rω＝＝3πm/s＝9.42m/s。
（2）根据向心力公式F＝m
可得F＝N＝236.6N。
答案：
（1）9.42m/s
（2）236.6N
12.如图6所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1kg的小球A，另一端连接质量M＝4kg的重物B。
（取g＝10m/s2）求：
（1）当A沿半径R＝0.1m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
（2）要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
图6
解析：
（1）对A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则
T＝mRω2＝1×0.1×102N＝10N，
对B来说，受到三个力的作用：
重力Mg，绳子的拉力T，地面的支持力N，由力的平衡条件可得T＋N＝Mg，
所以N＝Mg－T＝（4×10－10）N＝30N，由牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为30N，方向竖直向下。
（2）当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′，
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2，
则ω′＝＝rad/s＝20rad/s。
答案：
（1）30N
（2）20rad/s
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